等差数列与等比数列的判断与证明(以及构造数列)-2018年高考数学备考之百强校大题狂练.

1、2018届高考数学大题狂练第一篇数列专题02等差数列与等比数列的判断与证明（以及构造数列）一、解答题1已知数列是等差数列，其首项为，且公差为（ ）求证：数列是等比数列（ ）设，求数列的前项和，若【答案】（1）见解析；（ 2），又，数列是首项为4，公比为（ ）解：由（ 1）知4 的等比数列，2设数列 an 的前 n 项和为 Sn ，a1 1，且对任意正整数n，点 ( an 1， Sn) 在直线 2x y 2 0 上 .(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 是否存在实数，使得数列Sn为等差数列？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理nn2由 .【答案】（1） an12n 1（ 2） 2求出 2

2、, 经检验 2 时 , 此数列的通项公式是关于n 的一次函数 , 故满足数列为等差数列, 从而得出结论 .试题解析：(1) 由题意，可得nn2a 1 S 20.当2时， 2 nn 1 20. naS，得 2an1 2an an 0，所以 ( n2).因为 a1 1， 2a2 a1 2，所以 a2 .所以 a 是首项为1，公比为的等比数列 .n所以数列 an 的通项公式为 an.(2)n2.由(1) 知， S若为等差数列，则1 ， 2 2 ， 3 3成等差数列，则 2 1SSSSS3，即 21，解得 2. 又 2 时， S 2n 2n 2，n显然 2 n2 成等差数列，故存在实数 2，使得数列

3、Sn n 成等差数列 .3已知数列的前项和（ 为正整数）（ 1）求证：为等差数列；（ 2）求数列的前项和公式【答案】 (1) 见解析 (2)【解析】【试题分析】( I ) 利用, 可求得, 即证明了数列为等差数列.( II )由 ( I ) 求得的表达式 , 并利用错位相减求和法求其前项和.所以是以为首项，为公差的等差数列（方法二）当时，解得，设，则，当时，有代入得整理得所以即是以为首项，为公差的等差数列（ 2）由（ 1）得，依题意上式两边同乘以，得- 得，所以4设为数列的前项和，已知，.（ 1）证明：为等比数列；（ 2）求 .【答案】 (1) 见解析；（ 2）.（ 1）证明：，则，是首项为2

4、，公比为 2 的等比数列 .（ 2）解：由（1）知，则.5已知数列an的 前 n 项 和 为 Sn ,满 足 Sn2an 1 ( n N * ), 数 列 bn满 足nbn 1n 1 bnn n 1 ( n N * ), 且 b11（ 1）证明数列bn为等差数列 , 并求数列an 和 bn 的通项公式 ;n（ 2）若 cn1n14 n1, 求数列 cn的前 n项和 T2 n ;32log2 an 32log2 an 1（ 3）若 dn anbn , 数列 dn的前 n项和为 Dn , 对任意的 nN * , 都有 Dn nSna , 求实数 a 的取值范围 .【答案】（1） an2n 1 ，

5、bnn2 ；（ 2）11；（ 3） a034n3代入可求。试题解析：（ 1）由 nbn 1n 1 bnn n 1 两边同除以 n n1 ，得 bn 1bn1 ，n 1nbbn从而数列n为首项b11d1 的等差数列，所以=n，n，公差n数列bn 的通项公式为 bnn2 当 n=1 时， S1 2a1 1=a1 ，所以 a1=1当 n2 时， Sn2an1 ， Sn -12an -11，两式相减得 an2an 1 ，又 a1 =1，所以an2 ，an1从而数列an为首项 a1 =1，公比 q=2 的等比数列，从而数列an的通项公式为an 2n1 cn(4 n111(2)2n12n3n112n 12

6、n311111111T2 nc1c2c3c2n 1c2 n = 35 5 74n 1 4n 3 3 4n 3（ 3）由（ 1）得 danbn2n 1 ，nnDn1122322n 1 2n 2n2n 12Dn23n 1n 1n1222 32n 1 2n 1 2n2 ，所以，两式相减得Dn12 222n1n2n12nn2n ,12因为 dn +1 dn2n 1n 1 12nn12n1 0 ，从而数列dn 为递增数列所以当 n=1时，dn 取最小值 d1 =0 ，于是 a06已知等差数列 an 中，公差d>0，其前 n 项和为 Sn，且满足： a2a3 45， a1 a4 14.(1) 求数列

7、 an 的通项公式；(2)Sn构造一个新的数列 b 若 b 也是等差数列，求非零常数c；通过公式 b ncnnn(3)对于 (2) 中得到的数列 bn ，求 f ( n) bn( n N* ) 的最大值n 25bn 11【答案】 (1) a 4n 3 (2)n36【解析】试题分析：2nn1，故可根据基本不等式求最值f nn226n 25252 n 25 n 1n26n试题解析：(1) 数列 an 是等差数列 a2 a3 a1 a4 14，由 a2 a3 14，解得 a25或 a29a2a345a39a35公差 d>0， a2 5， a39 d a3 a24， a1 a2d 1 an14 n14n3(2) Sn na1 n( n1) d n 2n( n 1) 2n2 n， bnSn2n2n ncnc数列 bn 是等差数列， 2b2 b1 b3，2·，解得1( c0 舍去 ) c2 bn2n2n2n