第十章-函数项级数.

1、第十章函数项级数§ 1函数项级数的一致收敛性(1)一、本次课主要内容点态收敛，函数项级数收敛的一般问题。二、教学目的与要求使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数，掌握如何利用函数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。三、教学重点难点函数列一致收敛的概念、性质四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。五、作业与习题布置P68 1 （5）（7）一函数列及极限函数： 对定义在区间 I 上的函数列，介绍概念：收敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念 .1. 逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” ) 的“”定义 .例 1对定义在内的等比函数

2、列, 用“”定义验证其收敛域为,且例 2. 用“”定义验证在内.例 3考查以下函数列的收敛域与极限函数 :.（ 1）.（ 2）.（ 3） 设为区间上的全体有理数所成数列.令,.（4）.,.（5）有,.（注意.）二 .函数列的一致收敛性 :问题 :若在数集D 上,.试问 :通项的解析性质是否必遗传给极限函数?答案是否定的.上述例1、例3说明连续性未能遗传 , 而例3说明可积性未能遗传.例 3说明虽然可积性得到遗传,但.用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段.特别是表达非初等函数的一种手段 . 对这种函数 , 就是其表达式 . 于是 , 由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分

3、重要 . 那末 , 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢 ? 一个充分条件就是所谓“一致收敛” . 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果 .定义(一致收敛)一致收敛的几何意义.Th1(一致收敛的Cauchy 准则)函数列在数集D 上一致收敛,.(介绍另一种形式.)证(利用式)易见逐点收敛.设, 有.令,对D成立 ,即,，D.推论1在 D上,，.推论2设在数集D上,.若存在数列D ,使,则函数列在数集D上非一致收敛.应用系2判断函数列在数集D 上非一致收敛时,常选为函数在数集D 上的最值点.验证函数一致收敛性 :例 4.证明函数列在 R内一致收敛 .例 5证显然有,.证明

4、在R 内,在点但不一致收敛 .处取得极大值,.由系2 ,不一致收敛.例 6.证明在内,.证易见而在内成立 .由系1 ,例 7对定义在区间上的函数列证明 :证,时 ,但在只要上不一致收敛,就有.P38. 39 因此 ,例 在3,参图 13-4.上有.,.于是,在上有此,该函数列在例 8.但由于上不一致收敛 .考查函数列,在下列区间上的一致收敛性因:;.例 9考查级数从开头每两项加括号后所得级数的敛散性 .该例的结果说明什么问题?教学后记：第十章函数项级数§ 1函数项级数的一致收敛性（2）一、本次课主要内容函数项级数一致收敛性。二、教学目的与要求使学生理解函数项级数一致收敛性概念。掌握函

5、数项级数一致收敛性的判断。三、教学重点难点函数序列一致收敛性的判别方法。四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。五、作业与习题布置P68 1（9）（11），P69 5一 .函数项级数及其一致收敛性:1 函数项级数及其和函数：, 前项部分和函数列，收敛点，收敛域例 1, 和函数,定义在余项 .内的函数项级数(称为几何级数)的部分和函数列为,收敛域为.2. 一致收敛性 : 定义一致收敛性 .Th2(Cauchy准则 ) 级数在区间 D上一致收敛 ,对D成立.推论Th3级数级数在区间 D上一致收敛在区间 D上一致收敛 ,.例证2证明级数令=在 R内一致收敛 .,则时对R成立.例

6、3几何级数一致收敛 .证在区间在区间上 ,有上一致收敛；但在内非,.一致收敛 ;而在区间内,取,有,.非一致收敛 .(亦可由通项在区间内非一致收敛于零,非一致收敛.)几何级数虽然在区间内非一致收敛 ,但在包含于何闭区间上却一致收敛.我们称这种情况为“闭一致收敛”.因此级数在区间内闭一致收敛 .,内的任我们说几何二.函数项级数一致收敛判别法:1.M- 判别法:Th 4 (Weierstrass判别法 )设级数定义在区间 D 上,是收敛的正项级数 . 若当充分大时 ,对D有|,则在 D上一致收敛 .证然后用 Cauchy 准则 .亦称此判别法为优级数判别法.称满足该定理条件的正项级数是级数的一个优

7、级数 . 于是 Th 4 可以叙述为 : 若级数在区间 D 上存在优级数 ,则级数在区间 D 上一致收敛 .应用时 ,常可试取. 但应注意 ,级数在区间 D 上不存在优级数,级数在区间 D 上非一致收敛 .注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在.例 3判断函数项级数和在 R内的一致收敛性.例 4设是区间上的单调函数 .试证明 :若级数与都绝对收敛 ,则级数在区间上绝对并一致收敛 .简证 ,留为作业.2. Abel 判别法 :Th 5设 > 级数在区间上收敛 ;>对每个,数列单调;>函数列在上一致有界, 即, 使对和,有.则级数在区间上一致收敛 .(

8、1P43 )3. Dirichlet 判别法 :Th 6设 > 级数的部分和函数列在区间上一致有界 ;>对于每一个,数列单调 ;>在区间上函数列一致收敛于零 .则级数在区间上一致收敛 .例 5判断函数项级数在区间上的一致收敛性 .解记.则有> 级数收敛;> 对每个,；>对和成立 .由 Abel 判别法 ,在区间上一致收敛 .例 6设数列单调收敛于零 .试证明 :级数在区间上一致收敛 .证在上有.可见级数的部分和函数列在区间上一致有界 .取,.就有级数的部分和函数列在区间上一致有界 ,而函数列对每一个单调且一致收敛于零 . 由 Dirichlet判别法 , 级

9、数在区间上一致收敛 .其实 ,在数列单调收敛于零的条件下 ,级数在不包含的任何区间上都一致收敛.习题课例 1设,.且,.若对每个自然数有 |对成立 ,则函数列 在上一致收敛于函数.例 2证明函数列在区间上非一致收敛 .例 3,.讨论函数列 的一致收敛性 .解0,.|0|.可求得.函数列 在区间上非一致收敛 .例4设函数在区间上连续.定义.试证明函数列 在区间上一致收敛于零 .证法一由有界.设在区间上|.|;|;|.注意到对,.0,.证法二.有界.设在区间上|. 把函数在点展开成具 Lagrange 型余项的阶 Taylor 公式 ,注意到,就有,.所以,0,.例5设.且,.令,.试证明 :若对

10、和,有,则函数列 在区间上一致收敛.证对取,使时 ,有.于是对任何自然数和,有.由 Cauchy 收敛准则,函数列 在区间上一致收敛.在数集例 6设在数集上函数列 上有界 ,则函数列 一致收敛于函数 在数集 上一致有界.若每个证(先证函数在数集上有界)设在上有 |.对, 由函数列 在数集上一致收敛, 当时,对, 有|,|<.即函数在数集上有界.( 次证函数列 在数集上一致有界 )时,对, 有|<,|.取即函数列 在数集易见对上一致有界 .和有|.教学后记：第十章函数项级数§ 2一致收敛级数的判别与性质（1）一、本次课主要内容函数项级数的一致收敛的柯西收敛准则和一致收敛级数

11、的性质。二、教学目的与要求使学生掌握判别函数的一致收敛性。深刻理解函数项级数一致收敛的判别方法。三、教学重点难点函数项级数一致收敛的判别方法的选择与使用。四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。五、作业与习题布置P82 1 （4）（6）（8）（10）一.一致收敛函数列极限函数的解析性质:1. 连续性 :Th 1设在上, 且对, 函数在上连续 ,在上连续 .证(要证:对,在点连续.即证:对,当|时,.).估计上式右端三项 . 由一致收敛 ,第一、三两项可以任意小; 而由函数在点连续 ,第二项也可以任意小 .推论设在上. 若在上间断，则函数列在上一致收敛和所有在上连续不能同时成

12、立 .註Th1表明 :对于各项都连续且一致收敛的函数列,有.即极限次序可换.2. 可积性 :Th 2若在区间上函数列 一致收敛 ,且每个在上连续.则有.证设在上,由 Th1, 函数在区间上连续 ,因此可积 .我们要证.注意到,可见只要在上成立 .Th2 的条件可减弱为 : 用条件“在上( R ) 可积” 代替条件 “在上连续” .关于函数列逐项积分条件的减弱有一系列的工作.其中之一是 :Th设 是定义在区间上的函数列 .若 在上收敛且一致可积 ,则其极限函数在上( R) 可积 ,且有.3. 可微性：Th 3设函数列 定义在区间上 , 在某个点收敛 . 对,在上连续可导 ,且由导函数构成的函数列

13、 在上一致收敛 ,则函数列 在区间上收敛 ,且有.证设，.,.对,注意到函数连续和+,就有+（ 对第二项交换极限与积分次序）+.估计|+|+|,可证得.即.亦即求导运算与极限运算次序可换.教学后记：第十章函数项级数§ 2一致收敛级数的判别与性质（2）一、本次课主要内容函数项级数的一致收敛的连续性定理，逐项积分定理和DiNi 定理二、教学目的与要求使学生理解函数项级数的性质。三、教学重点难点函数像级数一致收敛的性质的使用。四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。五、作业与习题布置P83 8二.一致收敛函数项级数和函数的解析性质:例1P40例3例 2证明函数在区间内连

14、续 .证(先证在区间内闭一致收敛.)对，有，；又，在一致收敛 .论,(次证对在区间,在点上一致收敛;连续 ) 又函数对连续 , 由上段讨在区间上连续 ,在点连续 .由点的任意性 ,在区间内连续 .例3,.计算积分.可见时,级数的部分和有界.由Dirichlet判别法推得级数收敛 .同理可得级数数收敛 .教学后记：第十章函数项级数§3幂级数一、本次课主要内容幂级数概念收敛半径以及性质。二、教学目的与要求使学生理解掌握幂级数的收敛半径了解幂级数在收敛半径内的性质与使用。三、教学重点难点幂级数的性质四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。五、作业与习题布置P92 1（6

15、）（7）（8）（9），P93 4 （1）幂级数的一般概念 .型如和的幂级数 .幂级数由系数数列唯一确定 .幂级数至少有一个收敛点.以下只讨论型如的幂级数 . 幂级数是最简单的函数项级数之一.一.幂级数的收敛域 :1. 收敛半径 、收敛区间和收敛域：Th 1（ Abel） 若幂级数在点收敛 ， 则对满足不等式的任何，幂级数收敛而且绝对收敛；若在点发散 ，则对满足不等式的任何，幂级数发散 .证收敛,有界.设|,有|,其中.2. 收敛半径 R 的求法 .Th 2对于幂级数,若,则>时,;>时;>时.证, (强调开方次数与的次数是一致的).由于,因此亦可用比值法求收敛半径.幂级数的收

16、敛区间 :.幂级数的收敛域 : 一般来说 ,收敛区间收敛域 . 幂级数的收敛域是区间、或之一.例 1求幂级数的收敛域 .例 2求幂级数的收敛域 .例 3求下列幂级数的收敛域 :;.2.复合幂级数: 令, 则化为幂级数. 设该幂级数的收敛区间为，则级数的收敛区间由不等式确定. 可相应考虑收敛域 .特称幂级数为正整数 ) 为缺项幂级数 . 其中.应注意为第项的系数 .并应注意缺项幂级数并不是复合幂级数,该级数中,为第项的系数 .例 4求幂级数的收敛域 .解是缺项幂级数 .收敛区间为.时,通项.因此 ,该幂级数的收敛域为.例 5求级数的收敛域 .解令,所论级数成为幂级数. 由几何级数的敛散性结果 ,

17、 当且仅当时级数收敛 . 因此当且仅当,即时级数收敛 .所以所论级数的收敛域为.例 6求幂级数的收敛半径 .解.二幂级数的一致收敛性：Th 3若幂级数的收敛半径为，则该幂级数在区间内闭一致收敛 .证,设,则对,有,级数绝对收敛 ,由优级数判别法 ,幂级数在上一致收敛 .因此 ,幂级数在区间内闭一致收敛 .Th 4设幂级数的收敛半径为, 且在点(或)收敛 , 则幂级数在区间( 或) 上一致收敛 .证.收敛,函数列在区间上递减且一致有界 , 由 Abel 判别法 , 幂级数在区间上一致收敛 .易见 ,当幂级数的收敛域为(时 ,该幂级数即在区间上一致收敛 .三 .幂级数的性质 :1. 逐项求导和积分

18、后的级数 :设,*)和 *)仍为幂级数 .我们有命题 1*)和 *)与有相同的收敛半径.(简证 )值得注意的是， *)和 *) 与虽有相同的收敛半径（因而有相同的收敛区间），但未必有相同的收敛域， 例如级数.2. 幂级数的运算性质 :定义两个幂级数和在点的某邻域内相等是指：它们在该邻域内收敛且有相同的和函数.命题 2,.( 由以下命题 4系 2)命题 3设幂级数和的收敛半径分别为和,则>, Const，.>+,.>()(),.3. 和函数的性质 :命题4设在(内.则>在内连续;>若级数或收敛,则在点(或)是左(或右 ) 连续的;>对,在点可微且有;>对

19、,在区间上可积,且.当级数收敛时 ,无论级数在点收敛与否 , 均有.这是因为 :由级数收敛 ,得函数在点左连续 ,因此有.推论 1和函数在区间内任意次可导 ,且有,.由系 1 可见 ,是幂级数的和函数的必要条件是任意次可导 .推论2若,则有例 7验证函数满足微分方程.验证所给幂级数的收敛域为.,代入,.教学反思：第十章函数项级数§ 4函数的幂级数展开（1）一、本次课主要内容泰勒级数与余项公式。二、教学目的与要求使学生了解函数的泰勒公式。三、教学重点难点函数泰勒公式的记忆与使用。四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。五、作业与习题布置P 106 1 （5）（9）（

20、10），2,3一.函数的幂级数展开 :1.Taylor级数 :设函数在点有任意阶导数 .Taylor公式和 Maclaurin公式 .Taylor公式：.余项的形式 :Peano 型余项 :,（ 只要求在点的某邻域内有阶导数，存在 ）Lagrange 型余项 :在与之间 .或.积分型余项 :当函数在点的某邻域内有阶连续导数时 ,有.Cauchy 余项 :在上述积分型余项的条件下,有 Cauchy 余项.特别地，时， Cauchy余项为在与之间.Taylor 级数 :Taylor 公式仅有有限项 , 是用多项式逼近函数 .项数无限增多时,得,称此级数为函数在点的 Taylor 级数 .只要函数在

21、点无限次可导,就可写出其 Taylor 级数 .称=时的 Taylor 级数为 Maclaurin级数 ,即级数.自然会有以下问题 :对于在点无限次可导的函数,在的定义域内或在点的某邻域内 ,函数和其 Taylor 级数是否相等呢?2 函数与其 Taylor级数的关系：例 1函数在点无限次可微 .求得.其 Taylor级数为.该幂级数的收敛域为.仅在区间内有=.而在其他点并不相等 ,因为级数发散 .那么 , 在 Taylor级数的收敛点 , 是否必有和其 Taylor 级数相等呢 ?回答也是否定的 .例 2函数在点无限次可导且有因此其 Taylor 级数，在内处处收敛 .但除了点外 , 函数和

22、其 Taylor 级数并不相等 .另一方面 ,由本章§ 1 命题 4 推论 2（和函数的性质）知：在点的某邻域内倘有, 则在点无限次可导且级数必为函数在点的 Taylor 级数 .综上 ,我们有如下结论 :对于在点无限次可导的函数, 其 Taylor 级数可能除点外均发散 ,即便在点的某邻域内其 Taylor级数收敛 ,和函数也未必就是.由此可见 ,不同的函数可能会有完全相同的Taylor级数 .若幂级数在点的某邻域内收敛于函数,则该幂级数就是函数在点的 Taylor 级数 .于是 , 为把函数在点的某邻域内表示为关于的幂级数，我们只能考虑其 Taylor 级数 .3 函数的 Tay

23、lor 展开式：若在点的某邻域内函数的 Taylor 级数收敛且和恰为，则称函数在点可展开成 Taylor 级数 ( 自然要附带展开区间 . 称此时的 Taylor 级数为函数在点的 Taylor 展开式或幂级数展开式 .简称函数在点可展为幂级数 .当= 0 时,称 Taylor 展开式为 Maclaurin 展开式 .通常多考虑的是 Maclaurin 展开式 .4. 可展条件 :Th 1 (必要条件 )函数在点可展 ,在点有任意阶导数 .Th 2 (充要条件 )设函数在点有任意阶导数 .则在区间内等于其 Taylor 级数 ( 即可展 ) 的充要条件是 :对, 有.其中是 Taylor 公

24、式中的余项 .证把函数展开为阶 Taylor 公式 ,有.Th 3 (充分条件 )设函数在点有任意阶导数 ,且导函数所成函数列一致有界 ,则函数可展 .证利用 Lagrange 型余项 ,设,则有.例3展开函数>按幂;>按幂.解,.所以, >.可见 ,的多项式的Maclaurin展开式就是其本身.>.教学反思：第十章函数项级数§ 4函数的幂级数展开（2）一、本次课主要内容任意连续函数的泰勒展开二、教学目的与要求使学生了解初等函数的泰勒展开。三、教学重点难点初等函数泰勒公式的记忆与使用。四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。五、作业与习题布

25、置P106 5一 . 初等函数的幂级数展开式 （初等函数的幂级数展开式才是其本质上的解析表达式 ）.为得到初等函数的幂级数展开式,或直接展开 ,或间接展开 .1.( 验证对R ，在区间( 或)上有界,得一致有界 .因此可展 ).2.,.,.可展是因为在内一致有界 .3.二项式的展开式 :为正整数时 ,为多项式 ,展开式为其自身 ;为不是正整数时 ,可在区间内展开为对余项的讨论可利用Cauchy 余项 .具体讨论参阅 1P56.时,收敛域为;时,收敛域为;时,收敛域为.利用二项式的展开式 ,可得到很多函数的展开式.例如取, 得，.时,.间接展开 : 利用已知展开式 , 进行变量代换、四则运算以及微积运算 , 可得到一些函数的展开式 . 利用微积运算时 , 要求一致收敛 . 幂级数在其收敛区间内闭一致收敛 , 总可保证这些运算畅通无阻 .4.事实上 ,利用上述的展开式 ,两端积分 ,就