第二十二章曲面积分习题课.

1、第二十二章曲面积分习题课一 疑难问题与注意事项1. 第一型曲面积分的计算方法：答1）先把 S 的方程代入，再利用dS 为 S 的表面积；S例如x2dS, 其中 S 为柱面 x 2y2R2 被平面 z 0, zH 所截取的部分；Sy2dS1dS12RH2 H解x2y2R22.SSRR2) 利用公式（ 1）设有光滑曲面S : zz(x, y),( x, y)D ，f ( x, y, z) 为 S 上的连续函数，则f ( x, y, z)dSf (x, y, z( x, y)1zx2zy2 dxdy SD注 一投 -将曲面 S 向 xOy 面投影得 D ；二代 -将 z z(x, y) 代入到 f

2、( x, y, z) 中；三变换 -dS 变成1zx2zy2 dxdy .（ 2）类似地，如果光滑曲面S 由方程 x x( y, z),( y, z)D ，则f ( x, y, z)dSf ( x( y, z), y, z) 1xy2xz2 dydz ，SD其中 D 表示曲面 S 在 yOz 面上的投影（ 3）如果光滑曲面S 由方程 yy( x, z),( x, z)D ，则f (x, y, z)d Sf (x, y(x, z), z) 1 yx2yz2 dxdz SD其中 D 表示曲面 S 在 xOz 面上的投影3) 利用对称性（ 1）若曲面关于 xoy 坐标面对称，f x, y, z 为上

3、的连续函数，1 为位于 xoy 上0,fx, y, z为 的奇函数 ,z部的曲面，则f x, y, z dS2 fx, y, z dS,fx, y, z为 的偶函数 .z1（ 2）若曲面关于 yoz 坐标面对称，fx, y, z为上的连续函数， 1 为中 x0 的0,fx, y, z为 的奇函数 ,x那部分曲面，则fx, y, z dS2fx, y, z dS,fx, y, z为 的偶函数 .x1（ 3）若曲面关于 xoz坐标面对称，fx, y, z为上的连续函数， 1 为中 y0 的0,fx, y, z为 的奇函数 ,fx, y, z dSy那部分曲面，则2fx, y, z dS,fx, y

4、, z为 的偶函数 .y1（ 4） 若积分曲面关于 x, y, z 具有轮换对称性 , 则有f ( x, y, z)dsf ( y, z, x)dsf ( z, x, y)ds1f (x, y, z)f ( y, z, x)f (z, x, y) ds 32. 第二型曲面积分的方法：答 1）公式：（ 1）设 R 是定义在光滑曲面S : zz( x, y), (x, y) Dxy上的连续函数，以 S 的上侧为正侧，则有R(x, y, z)dxdyR( x, y, z( x, y)dxdy.SD xy注一投 -曲面 S : z z(x, y) 向 xOy 面投影得 D ；二代 - 将 zz( x,

5、 y) 代入到 R( x, y, z) 中；三定向看S 的法线方向与z 轴的夹角，若夹角为锐角，则为正，否则为负（ 2）类似地，当P 在光滑曲面S : xx y, z , y, zD yz上连续时，有P x, y, z dydzP x y, z , y, z dydz,SDyz这里 S 是以 S 的法线方向与x 轴的正向成锐角的那一侧为正侧，（ 3）当 Q 在光滑曲面S : yy z, x , z, xD zx上连续时，有Q x, y, z dzdxQ x, y z, x , z dzdx,SDzx这里 S 是以 S 的法线方向与y 轴的正向成锐角的那一侧为正侧2 ）若 z z( x, y)

6、，则(, )( , ,)dzdx(, )RPzQzdxdyPxy z dydzQ x yzRxy z dxdyxySS3 ）高斯公式PQR,注 高斯公式()的适用条件是：xyzdxdydzPdydz Qdzdx RdxdyVS1）函数 P(x, y, z) ， Q ( x, y, z) ， R(x, y, z) 在 V 上具有一阶连续的偏导数2） S封闭，若 S 不封闭需要补面，让它封闭，假如补面S 后封闭，则有Pdydz QdzdxRdxdySPdydzQdzdx RdxdyPdydzQdzdxRdxdyS SS(PQR )dxdydzPdydzQdzdxRdxdyVxyzS3） S 取外侧

7、；如果S 取内侧，则S 取外侧，则有(PQR)dxdydzPdydz QdzdxRdxdyVxyzSPdydzQdzdxRdxdyS3. 各种积分间的联系第一型第二型曲线积分曲线积分格林公式二 重积分斯托克斯公式第一型曲面积分n第二型三 重曲面积分高斯公式积分二 典型例题1. 计算第一型曲面积分(xyz)dS ，其中 S 是上半球面Sx2y2z2a2 (a 0) ， z 0 解 把 S : za2x2y2向 xoy 面投影得 D : x2y2a2( x yz)dSxya2x2y2ay2dxdySDa2x2a3 注xya2ay2dxdy0 ，因为 D : x2y2a2 关于 x, y 轴对称，且

8、Dx2xya奇a2x2y22. 计算曲面积分z2dS ，其中 S 是球面 x2y2z2a2 S解：球面 x2y2z2a2 关于 x , y ,z 具有对称性，x2dSy2dSz2dSSSSz2dS = 1(x2y2z2 ) dSS3 S= 1a2 dsa2ds3 S3S1 a2.4a24a2333计算曲面积分( z2x) dydzzdxdy，其中是旋转抛物面 z1 ( x2y 2 ) 介于2平面 z0 及 z2 之间部分的下侧解 补平面 1 : z2 的上侧，则1 为封闭曲面，在其上应用高斯公式：I( z2x)dydzzdxdy( z2x)dydz zdxdy( z2x)dydz zdxdy1

9、1(1 1)dxdydz2dxdy8 D xy4 计算第二型曲面积分xdydzydzdxzdxdy ， 其 中 曲 面 S 为 椭 球 面Sx2y2z21的上半部分，其方向为下侧a22c2b解：为求 I1xdydzydzdxzdxdy (S 取下侧 ) ，只须求SI 2xdydzydzdxzdxdy ( S 取上侧 ) ，那么 I 1I2 为求 I2，将 S与底面SS ' ( 其中 S' 是 S 在 xoy 坐标面上的投影) 组成的封闭曲面记为Stotal ，即 StotalS S'，其中 S 方向取上侧， S ' 方向取下侧设Stotal 围成的区域为Vx2y

10、2z20 ，x, y, z |22c2 1,zab由高斯公式：xdydzydzdxzdxdyI 2xdydzydzdxzdxdyStotalS'1dxdydz2 abc V3又由于xdydzydzdxzdxdy 0 ，那么I 22 abc ，从而S '3I 1xdydzydzdxzdxdy2 abc S35计算xdydzydzdxzdxdy ，其中 S 是上半球面 za2x2y2的外侧S解：曲面 S 不封闭，补上曲面S1 : z 0(x2y2a2 ) ，取下侧xdydzydzdxzdxdySòxdydzydzdx zdxdyxdydzydzdxzdxdyS SS113

11、dv0V32 a32a3.36.x3dydzy3 dzdxz3dxdy ，其中 S 是单位球面 x2y 2z21的外侧S解x3dydzy3dzdx z3 dxdy( x2y2z2 )dxdydzS3Vddr 4 sindr122100057.求I2222(x22x a,0 y a,0 z a,(yz )dx(zx )dyy )dz，其中 C 是立方体 0C的表面与平面 xyz3 a 的交线，取向从z 轴正向看去是逆时针方向2解：可见交线若分为六段积分的计算量很大，且C 也不便于表示为一个统一的参数式，因 C 为闭曲线，且Py2z2， Qz2x2， Rx2y2连续可微，故考虑用斯托克斯公式，令为 xyz3 a 被 C 所围的一块，取上侧，则C 的取向与的取侧相容，应2用斯托克斯公式得111333IxyzdSy2z2z2x2x2y214(xyz) dS43a dS23a 33 a29 a