第二章-流体静力学.

1、一、学习导引1、流体静止的一般方程（ 1）流体静止微分方程f x1 p ， f y1p ， f z1 pxyz（ 2）压强微分dp( f x dxf ydyf zdz)（ 3）等压面微分方程f x dxf ydyf zdz02、液体的压强分布重力场中，液体的位置水头与压强水头之和等于常数，即pzC如果液面的压强为p0 ，则液面下深度为h 处的压强为pp0h3、 固体壁面受到的静止液体的总压力物体受到的大气压的合力为 0。计算静止液体对物面的总压力时，只需考虑大气压强的作用。（1）平面壁总压力： Phc A压力中心 yDycJ cyc A式中，坐标 y 从液面起算；下标D 表示合力作用点；C 表

2、示形心。（2）曲面壁总压力： FF x2F y2F z2分力 ： Fxhxc Ax ， F yhyc Ay ， F zV4、难点分析（ 1）连通器内不同液体的压强传递pC 和 p p0 h 。需要注意的是这流体静力学基本方程式的两种表达形式为z两个公式只适用于同一液体，如果连通器里面由若干种液体，则要注意不同液体之间的压强传递关系。（ 2）平面壁的压力中心压力中心的坐标可按式yDJ c计算，面积惯性矩 J c 可查表， 计算一般较为复ycyc A杂。求压力中心的目的是求合力矩，如果用积分法，计算往往还简便些。（ 3）复杂曲面的压力体压力体是这样一部分空间体积： 即以受压曲面为底， 过受压曲面的

3、周界， 向相对压强为零的面或其延伸面引铅垂投影线， 并以这种投影线在相对压强为零的面或其延伸面上的投影面为顶所围成的空间体积。压力体内不一定有液体。正确绘制压力体，可以很方便地算出铅垂方向的总压力。（ 4）旋转容器内液体的相对静止液体随容器作等角速度旋转时，压强分布及自由面的方程式为p2r 2z)c(2gz02 r 2c2g恰当地选取坐标原点，可以使上述表达式简化。解题时， 常常用到高等数学的这样一个定理：抛物线所围的体积等于同高圆柱体体积的一半。证明如下：设抛物线放称为z ar 2 ，当 rR 时， z H ，即 H aR 2 。HHzdz1 H21 R2HVr 2 dz00a2a2二、习题

4、详解2.1 封闭容器内水面的绝对压强p0 107.7 kN/m 2 ，当地大气压 pa98.07 kN/m 2。试求（ 1）水深 h1 0.8m 时， A 点的绝对压强。（2）若 A 点距基准面的高度Z 5 m，求 A 点测压管高度及测压管水头，并图示容器内液体各点的测压管水头线。（3）压力表 M 和酒精 (7.94 kN/m 2)测压计 h 的读数为何值？解： p107.7 0.8 90807 115.55kPapm107.7 98.079.63k P ah9.631.21m2.1 题图70942.2一潜水员在水下 15m 处工作，问潜水员在该处所受的压强是多少?解：潜水员所受为相对压强：p

5、 15 9.807 147.1kPa2.3标出图中 A 点的位置水头、压强水头和测压管水头。习题 2.3 图2.4 一封闭容器盛有2 （水银） > 1 （水）的两种不同液体，试问同一水平线上的 1、2、3、4、5 各点的压强哪点最大？哪点最小？哪些点相等？解：各点压强大小关系为p5p1p 2p3p4习题 2.4 图2.5 试求水的自由液面下5m 处的绝对压强和相对压强。分别用压强的三个度量单位Pa、mmHg 及 at 表示。解： p59.80749kPa367mmHg0.5atp49101.325150.36kPa1127mmHg1.53at2.6 若一气压表在海平面时的读数为 760m

6、mHg ，在一山顶时测得的读数为 730mmHg ，设空气的密度为 1.3 kg/m3，试计算山顶高度。(760730)133.4解： H313.8m1.39.8072.7 量测容器中 A 点压强的真空计如图所示，已知z=1m， h=2m ，当地大气压值为98kPa，求 A 点的绝对压强，相对压强和真空度。解： p AhZ9.807 (1 2)9.807kPapA989.80788.19kPaPvp A9807Pa1mH 2 O习题 2.7 图2.8计算图中各液面的相对压强。已知：h1 0.91 m，h20.61 m， h3 h40.305 m，水9789 N/m 3 ，油 900 kg/m

7、3。2.8 题图解： PA水（ h3h4 )9.789(0.305 0.305 )5.97kPapCpBh29.7890.615.97kPap Dpc油 g(h1 h2h3 )5.97 900 9.810 3(0.912.9 已知水箱真空表M 的读数为 0.98 kN/m 2，水箱与油箱的液面差 H1.5 m，水银柱差 h20.2 m， 油7.85 kN/m 3，求 h1 为多少米？解： pH 2O ( Hh1 h2 )paHg h2油 h1pvp apppa0.980.98H 2 O ( Hh1h2 )Hg h2油 h1h1Hg h20.98水（ Hh2 )133.40.2 0.989.80

8、7(1.5 0.2)水油9.8077.855.6m2.10如图所示，密闭容器上层为空气，中层为密度为0 834 kg/m 3 的原油，下层为密度G1250 kg/m 3 的甘油，测压管中的甘油表面高程为9.14m，求压力表 G 的读数。解：以石油和甘油的分界面为等压面，则pG1 (7.623.66)2 (9.14 3.66)pG34.8kPa2.10 题图2.11图为倾斜水管上测定压差的装置，测得 Z200 mm ， h 120 mm ， 当 （ 1 ）19.02 kN/m 3为油时；（ 2）1 为空气时，分别求A 、B两点的压差。解：（ 1） 19.02 kN/m 3 为油时p AH 2O

9、hpB1hH2OZp AB(h z)1h(9.81 9.02) 0.129.810.2 1.867kPa2.11 题图（ 2）1 为空气时，pApB(hz)9.807 ( 0.120.2)0.784kPa2.12如图所示，某容器中充满比重0.91 的油液，其压强由水银测压计的读数h 来确定，水银比重为 13.57。如果压强不变，而使测压计下移到a 的位置，试问测压计读数的变化是多少？习题 2.12 图习题 2.13 图解： (hh) Hgh Hg(ah )2ha 0.0694aHg12B 装的是酒精，其容重为 8 kN/m3，2.13 如图所示，两容器A 、 B ，容器 A 装的是水，容器用

10、U 形水银压差计测量A 、 B 中心点压差，已知 h1h0.3 m， h20.25 m，求其压差。解： p AH 2O (h1h h2 )p B酒 hHg h2p AB酒Hg h2水 (h h1h2 )8 0.3 133.4 .259.807 ( 0.3 0.30.25) 27.4kPa2.14 图示 U 形管压差计，水银面高差h=15cm ，求充满水的 A ，B 两圆筒内的压强差。解： pAH 2 O hpBHg hpAB( HgH 2o )h(13.61)9.807 0.1518.5kPa2.15 题图2.14 题图2.15 如图所示，试按复式水银测压计的读数算出锅炉中水面上蒸汽的绝对压强

11、。已知：H 3m， h11.4 m， h22.5 m， h31.2 m， h42.3 m。解： pH 2O (Hh1 )H 2O (h2h1 )H 2O (h2h3 )Hg (h4h3 ) pap101.3259.811.6133.41.19.811.3133.41.1366.325kPa2.16 一直立煤气管，在底部测压管中测得水柱差h1 100 mm ，在 H20m 高处的测压管测 得 水 柱 差 h2 =115mm ， 管 外 空 气 容 重气 12.64 N/m 3，求管中静止煤气的容重。习题 2.16 图习题 2.17 图解： pah煤气 H( pa空气 H ) h21(h1h2 )

12、9807(0.10.115)12.645.29 N3煤气H空气20m2.17 在直径 D=0.4m 的圆桶中盛有油和水，如图所示，用玻璃管A 和 B 确定油水分界面和油的上表面，求1)a=0.2m， b=1.2m,c=1.4m时油的重度。2) a=0.5m,b=1.6m, 油的重度为8240N/m 3 时 ,桶内水和油的体积。解： 1）1 (c a)H 2O (b a)1HO(ba)8.17kN / m32(ca)2） 1 (c a)H 2O (b a)c9.807(1.60.5)0.51.81m8.24V14D 2(ca)0.16m3V24D 2a0.0628m32.18 潜艇内的汞气压计读

13、数h1800 mm，多管汞差计读数h2500 mm，海平面上汞气压计读数为 760mm ，海水密度为 1025kg/m3，试求潜艇在海面下的深度H。解： pa(H h2 )Hg h2Hg h2Hg h1HHg (h1h2h2 )h2pa13.6 103(0.8 0.5 2)10250.5 13.6 0.76102513.3m2.18 题图2.18 题图2.19 题图2.19 为了精确测定容重为的液体中 A ，B 两点的压差，特设计图示微压机。测定时的各液面差如图示。试求与' 的关系及同一高程上A、 B 两点的压差。解： 1）bhb (ah) 01ab2） p AHHpBpp ApBH

14、()aHb2.20密封方形柱体容器中盛水，底部侧面开0.50.6 m的矩形孔，水面绝对压强p0117.7 kN/m 2，当地大气压 pa98.07 kN/m 2，求作用于闸门的水静压力及作用点。解： p011798.0719.62kN / m 2h1p02mPhc A 9.8073.1 0.50.69.15kN2.20 题图Jc1bh 3ye120.01myc Ahcbh2.21宽为 1m，长为 AB 的矩形闸门，倾角为450 ，左侧水深 h13 m，右侧水深 h2 2 m。试求作用在闸门上的水静压力及其作用点。12122h1h2解：P262.3 27.65kN1P P2sin 4534.65

15、sin 452h127.65 (2h2P1 y1P2 y262.3sin 452sin 45332.46my034.65P2.21 题图2.22 矩形平板闸门， 宽 b0.8m，高 h1m，若要求箱中水深 h1超过 2 m 时闸门即可自动开启，铰链的位置y 应设在何处 ?J c1bh3112解： ye118hc Ah (h1 h)bh2y 0.510.44m182.22 题图2.23 金属矩形平板闸门，宽1m，由两根工字钢横梁支撑。闸门高h=3m ，容器中水面与闸门顶齐平，如要求两横梁受力相等，两工字钢的位置y1 和y2 应为多少?解：作用在闸门上的液体总压力大小及作用点：P1 hbh4.52

16、2y h 2m3将水静压力分布图分为面积相等的两部分，则P1 P2P2.2522.23 题图P11 h1b h1 2.252h1322y12h123又因为总压力对水面轴之力矩等于两部分对同一轴的矩求和，即Py P1 y1P2 y22y y1y2y2 2 y y1 42 2.58m2.24 如图所示， 水箱有四个支座， 求容器底的总压力和四个支座反力， 并讨论总压力与支座反力不相等的原因。解： P(13)H 2O9353 .05kNP(3331 11)H 2 O274.68kN分析： 容器底的总压力等于底部压强乘以底面积；而支座反力等于容器中的总重，二者不是一回事。2.24 题图2.25 图示一

17、容器，上部为油，下部为水。已知 h11m，h22m，油的密度为0800 kg/m3。求作用在容器侧壁AB 单位宽度上的作用力及其作用位置。解： PP1P21 1h12 / sin 601(2 1h1h2 ) h2 / sin 6045.3kN22PyP1 y1P2 y2Py1 1h12 / sin 602h11 h1h2(h1h2)1h2h2(h12h2)23sin 60sin 60sin 602sin 602sin 60sin 603sin 60故y2.35m2.25 题图2.26 题图2.26 如图所示，圆桶直径D=1.6 m，内部装满水，套在直径d=0.8 m 的活塞上， H=2m ，a

18、 0.5 m，求压力表的读数。解： P (V1V2 )4D 2 Hd 2 ( H a)4P(D2Hd 2 Had 2 )463.8kpapAd24pmpa58.84kPa2.27 某圆柱体的直径d2 m、长 l5 m，放置于 60的斜面上，求水作用于圆柱体上的水平和铅直分压力及其方向。解： P1 h1524.5kNX21PZ( 1R2131)5120kN22120arctg 178 2024.52.27 题图2.28如图所示， 一球形容器由两个半球铆接而成，已知球的半径R=1m ，H=3m ，求作用于螺栓上的力。解：受压面左右对称 ,所以作用在曲面上的水平分力p x 0，铅直分力压力体为球体，

19、方向铅直向下。p zV4R341.06KN3所以作用在螺栓上的总压力为41.06KN ，方向铅直向下。2.28 题图2.29 图（ a ）为圆筒，图 (b) 为圆球。试分别绘出压力体图并标出力的方向。解：（略）2.30 一挡水二向曲面 AB 如图所示，已知d=1m， h1=0.5m ， h2=1.5m ，曲面宽为 b1.5 m，求总压力的大小和方向。解：PX(h1d)A1dAkN227.35因左边水体的压力体和右边液体所形成的压力体受力大小相等，方向相反，所以 PZ0 。2.30 题图2.31 如图所示，一贮水容器，容器壁上装有3 个直径为 d=0.5m的半球形圆盖 a，b，c ，设 h=2m

20、 ， H=2.5m ，试求作用在每个球盖上的静水压力。解： a 球：PX0P(h1 H )d 22R3 1.12KN ，方向Z2432.31 题图向上。b 球：PX0P( hH) R22R3 6.58kN ，方向向下。Z23c 球： PXhD 23.85kN4PZ130.32kN ，方向向下。D122.32 如图所示，左端半球的直径为1m，试确定当 yD ， D ，和 0 三种情况下作用于55图中半球形曲面上的静水压力的大小及方向。解：1）yD5PxDD 21540.5N54Pz(V1V2 )2）yD52.32 题图PxD)1540.5N(54Pz(V2 V1 )3) y 0 Px 0Pz02.33 图示为一圆柱形盛水容器，半径为R，原水深为h，今以角速度绕 z 轴旋转，试求容器底开始露出时的转速。解：水在容器静止和运动时具有相同的体积，有1R2 h H2hR2 H2时的自由面方程z2 R 22 n2h ，又602g60 gh2.33 题图从而解得 nR2.34 在 D=30cm ，高度 H=50cm 的圆柱形容器中盛水深至 h30 cm，当容器绕中心轴等角速旋转时，求使水恰好上升到H 时的转速。解：坐标原点取在自由液面的最低点。设液面最低点距容器底的距离为 h ，则1(H h) R 2