线性代数教案-同济版.

1、线性代数课程教案学院、部系、所授课教师课程名称线性代数课程学时45 学时实验学时教材名称年月日线性代数课程教案授课类型理论课授课时间3 节授课题目（教学章节或主题）：第一章行列式§ 1二阶与三阶行列式§ 2全排列及其逆序数§ 3n 阶行列式的定义§ 4对换本授课单元教学目标或要求：1.会用对角线法则计算2 阶和 3 阶行列式。2. 知道 n 阶行列式的定义。本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容：行列式的定义1.计算排列的逆序数的方法设 p1 p2pn 是 1,2, n 这 n 个自然数的任一排列

2、，并规定由小到大为标准次序。先看有多少个比p1 大的数排在p1 前面，记为 t1 ；再看有多少个比p2 大的数排在p2 前面，记为 t2 ；最后看有多少个比pn 大的数排在pn 前面，记为 tn ；则此排列的逆序数为tt1t2tn 。2. n 阶行列式a11a12a1na21a22a2 n( 1)t a1 pa2 panpD2n( p1 p2 pn )1an1an 2ann其中 p1 p2pn 为自然数 1,2, n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数，求和符号是对所有排列( p1 p2pn ) 求和。n阶行列式 D 中所含 n2 个数叫做 D 的元素，位于第i 行第 j 列的元素 aij ，

3、叫做 D 的 (i , j ) 元。3.对角线法则：只对2 阶和 3 阶行列式适用Da11a12a11a22a12a21a21a22a11a12a13Da21a22a23a11a22a33a12a23a31a13a21a32a31a32a33a13a22a31a12a21a33a11a23a32重点和难点：理解行列式的定义行列式的定义中应注意两点：(1)和式中的任一项是取自D 中不同行、不同列的n 个元素的乘积。由排列知识可知，D 中这样的乘积共有 n! 项。( 1) t( p1 p2pn )p1 p2pn(2)和式中的任一项都带有符号的逆序数， 即当是偶排列时，t， 为排列对应的项取正号；当

4、p1 p2pn 是奇排列时，对应的项取负号。综上所述， n 阶行列式 D 恰是 D 中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的代数和，其中一半带正号，一半带负号。例：写出4 阶行列式中含有a11a23 的项。解： a11a23a32 a44 和 a11a23a34 a42 。例：试判断 aa a aa a 和 a a a a a a66是否都是6 阶行列式中的项。1423314256653243145125解： a14a23a31a42a56a65 下标的逆序数为43126501 22016 ，所以 a14a23a31a42a56a65是 6 阶行列式中的项。a32a43a14a51a25a66

5、 下标的逆序数为(341526)(234156)538，所以 a32a43a14a51a25a66 不是 6 阶行列式中的项。00010020例：计算行列式D030040000123解：D( 1)123424本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合首先通过二（三）元线性方程组的解的表达式引出二（三）阶行列式的定义。然后介绍有关全排列及其逆序数的知识，引出 n 阶行列式的定义。通过讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系，引导学生了解行列式的三种等价定义。本授课单元思考题、讨论题、作业：§ 1 P.26 1(1)(3)§ 2 2(5)(6)本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必

6、要时可列出）线性代数附册学习辅导与习题选讲（同济第四版）线性代数课程教案授课类型理论课授课时间2节授课题目（教学章节或主题）：第一章§ 5§ 6§ 7行列式行列式的性质行列式按行（列）展开克拉默法则本授课单元教学目标或要求：1知道 n 阶行列式的性质。2知道代数余子式的定义和性质。3会利用行列式的性质及按行（列）展开计算简单的4知道克拉默法则。n 阶行列式。本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）基本内容：1. 行列式的性质DT 相等。(1) 行列式 D 与它的转置行列式(2) 互换行列式的两行（列） ，行列式变号。(

7、3) 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k ，等于用数 k 乘此行列式；或者行列式的某一行（列）的各元素有公因子k ，则 k 可提到行列式记号之外。(4) 行列式中如果有两行（列）元素完全相同或成比例，则此行列式为零。(5) 若行列式的某一列（行）中各元素均为两项之和，则此行列式等于两个行列式之和。(6) 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。2. 行列式的按行（列）展开(1)把 n 阶行列式中 (i , j ) 元 aij所在的第 i 行和第 j 列划去后所成的 n 1阶行列式称为 (i , j ) 元 aij 的余子式，记作 M

8、 ij ；记 Aij( 1)i j M ij ，则称 Aij 为 (i, j ) 元 aij 的代数余子式。(2)n 阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积的和。即可以按第i 行展开：Dai1 Ai1ai 2Ai 2ain Ain (i1,2,n) ；或可以按第j 列展开：Da1 j A1 ja2j A2 janj Anj ( j1,2,n) .(3) 行列式中任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即ai1 Aj 1ai 2 Aj 2ain Ajn0,ij ，或a1i A1ja i2A j 2ani Anj0,ij .3. 克拉默法则

9、含有 n 个未知元 x1, x2 ,xn 的 n 个线性方程的方程组a11x1a12 x2a1n xnb1a21x1a22 x2a2 n xnb2an1x1an 2 x2ann xnbn当 b1 , b2 ,bn 全为零时，称为齐次线性方程组；否则，称为非齐次线性方程组。(1)如果方程组的系数行列式 D0 ，那么它有唯一解：xiDi( i 1, 2,， 其 中D,n )Di ( i 1, 2, n, )n阶行列是把 D 中第 i 列元素用方程组的右端的自由项替代后所得到的式。(2)如果线性方程组无解或有两个不同的解，那么它的系数行列式D0 。(3) 如果齐次线性方程组的系数行列式 D 0 ，那

10、么它只有零解；如果齐次线性方程组有非零解，那么它的系数行列式必定等于零。用克拉默法则解线性方程组的两个条件：(1) 方程个数等于未知元个数；(2) 系数行列式不等于零。克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.4. 一些常用的行列式(1) 上、下三角形行列式等于主对角线上的元素的乘积。即a11a12a1na11a22a2na21a22a11a22 annDannan1an2anna11特别地，对角行列式等于对角线元素的乘积，即Da22a11a22ann .anna1na2, n 1n(n1)类似地， D( 1)2a1na2, n 1an

11、1 .an1a11a1kb11b1n(2) 设 D1， D2，则ak1akkbn1bnna11a1k0ak1akkD1D2 .Dc1kb11c11b1 ncn1cnkbn1bnn(3) 范德蒙（ Vandermonde）行列式111x1x2xnVn (x1, x2 , xn ) x12x22xn2( xi xj )n ij 1x1n 1x2n 1xnn 1计算行列式常用方法： (1)利用定义； (2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。重点和难点：行列式的计算，要注重学会利用行列式性质及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的计算。例：课本P.12 例 7例 9例：课本P.2

12、1 例 13例：课本P.25 例 16本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合以从行列式的定义为切入口，引导学生探讨行列式的各种性质。通过大量的例题引导学生掌握如何利用行列式性质及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的计算。本授课单元思考题、讨论题、作业：思考题问：当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则解方程组？为什么？此时方程组的解为何？答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能否用克拉默法则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解。本授课单元思考题、讨论题、作业：§ 5P.264(1)(2)(3) ， 5(1)(2) ， 7(1)(2) (5)§ 6P.

13、265 (4)， 7 (3) (6)§ 7 P.28 8(1)， 9本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）线性代数附册学习辅导与习题选讲（同济第四版）线性代数课程教案授课类型理论课授课时间2节授课题目（教学章节或主题）：第二章矩阵及其运算§ 1 矩阵§ 2 矩阵运算§ 3 逆矩阵§ 4 矩阵分块法本授课单元教学目标或要求：掌握矩阵的定义 ,矩阵的加减法 数乘 转置 矩阵求逆 矩阵的行列式 分块矩阵等运算 ,了解矩阵多项式运算本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：本章拟分3 次课完成

14、 ,第一讲 : §1 矩阵 ,§ 2 矩阵的运算 ;第二讲 : § 3 逆矩阵 ;第三讲 : §4 矩阵分块法第一讲 : §1 矩阵 ,§2 矩阵的运算 ;基本内容 :§ 1 矩阵 :一 矩阵的定义 ,定义 1 由 M × N 个数 a(i 1,2,m; j 1,2, ,n) 组成的 m 行 n 列的数表ija11a12a1na21a22a2 nam1am2amn称为 m 行 n 列矩阵 ,简称 M × N 矩阵 ,为表示它是一个整体 ,总是加一个括弧 ,并用大写黑体字母表示它 ,记作a11a12a1na

15、21a22a2 nam1am2amn这 M ×N 个数称为菊阵A 的元素 ,简称为元 ,数 aij 位于矩阵 A 的第 i 行 j列 ,称为矩阵 A 的(I,J) 元 ,以数aij 为 (I,J) 元的矩阵可简记为(aij) 或 (aij )mn ,M × N 矩阵 A 也记着 Am n .元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵行数和列数都等于n 的矩阵称为 n 阶矩阵或 n 阶方阵 , n 阶矩阵 A也记作 An .只有一行的矩阵A (a1a2an )称为行矩阵 ,又称为行向量, 行矩阵也记作A(a1 ,a2 ,an )只有一列的矩阵Ab1b2bn称为列矩

16、阵 ,又称为列向量 .两个矩阵的行数相等 ,列数也相等 ,称它们是同型矩阵 ,如果 A= (aij ) ,B= (bij ) 是同型矩阵 ,并且它们的对应元素相等 ,即aijbij (i1,2, m, j1,2,n ),那么就称矩阵A 与矩阵 B 相等 ,级作A=B元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作 O,不同型的零矩阵是不同的.§ 2 矩阵的运算一 矩阵的加法定义 2 设有两个 mn矩阵 A= (aij ) 和 B= (bij ) ,那么矩阵 A 与 B 的和记着 A+B, 规定为a11b11a12b12a1nb1 na21b21a22 b22a2n b2 nam1bm1 am 2 b

17、m2amn bmn两个矩阵是同型矩阵时才能进行加法运算.矩阵加法满足下列运算规律(设 A,B,C 都是 mn 矩阵 ):( i ) A+B=B+A;( ii )(A+B)+C=A+(B+C)A= ( aij ) 的负矩阵记为-A= (aij )A+(-A)=O规定矩阵的减法为A-B=A+(-B)二 矩阵的数乘定义 3 数与矩阵 A 的乘积记作A或 A,规定为a11a12a1na21a22a2 nAam1am 2amn矩阵数乘满足下列运算规律(设 A,B 为 mn 矩阵 , ,为数 ):(1)() A( A);(2)() AA A(3)(AB)AB重点 ,难点 :矩阵乘矩阵 : 让学生充分理解矩

18、阵乘矩阵的定义 ,特别强调前面矩阵的列等于后面矩阵的行的原因 .说明矩阵乘法常态下不满足消去率 ,通过练习提高学生的计算准确率 .三矩阵乘矩阵定义 4 设 A=( aij )是一个 ms 矩阵 ,B=( bij )是一个 sn 矩阵 ,那么矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个 mn矩阵 C=( cij ),其中scijai1b1 jai 2 b2 jais bsjaik bkjk 1(i1,2,m; j1,2, n)把此乘积记为C=AB且有b1 jb2 js(ai1 ,ai 2 , , ais )ais bsjaik bkjcijai1b1 jai 2b2 jk1bsj例4求矩阵A=的乘积410

19、10311132102与 B01121344101031113921解 C=AB=1022011=91129134例5求矩阵2424A=与 B=1236的乘积 AB 与 BA2424=1632解 AB=2368161242400ABBA=61=0032对于两个 n 阶方阵 A,B, 若 AB=BA, 称方阵 A 与 B 可交换从上面等式可以得出结论:若 AO而A(XY ) 0 也不能得出 X=Y 的结论矩阵的乘法虽不满足交换律,满足结合律和分配律(1) (AB)C=A(BC)(2)( AB)( A)BA( B)为数(3) A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA对于单位矩阵E,有Em

20、Am nAm n , Am n En Am n即 :EA=AE=A特殊矩阵 :1 单位矩阵 ;100010E=0012 数量矩阵0 000E003 对角矩阵a11000a22000ann4 ;三角矩阵a11a12a1na11000a22a2n或 a21a220000annan1an 2ann可以得到 :( En ) AnAnAn ( En )表明纯量矩阵跟任何矩阵可交换定义矩阵的幂为A1A, A2A1 A1 , Ak lAk Al , ( Ak )lAkl其中 k 为正整数例 6证明c o ss i nns i nnc o sns i nc o ss i nnc o sn证 用数学归纳法 ,

21、n 1时显然成立 ,设 n = k 时成立 ,即cossinksin kcosksincossin kcosk当 nk 1时 ,有cossink 1sin kcossincosksincossin kcosksincoscoskcossin ksinsin kcoscosksin=coscosksincoskcos sin ksinsin kcos(k 1)sin(k1)=1)cos(k1)sin(k等式得证 .四 矩阵的转置,叫做 A 的转置矩阵 ,记作 AT定义 5把矩阵 A 的行换成同序数的列得到一个新矩阵a11a12a1na11a21am1a21a22a2 n.则ATa12a22am

22、2A=am1am2amna1na2 namnA 的转置也是一种运算,满足(1) (AT)T A(2)( AB)TATBT(3)( A)TAT(4)(AB)TBT AT(cij ) m n , BT AT证明(4) 设 A(aij ) m s ,B=(bij ) s n ,记 AB CD ( dij )n m ,有sc jia jk bkik 1而 BT 的第 i 行为 (b1i , b2i, , bsi ) , AT的第 j 列为 (a j1, ajs )T ,因此ssdijbki a jka jk bkik 1k 1dijc ji(i1,2,n; j 1,2, m)有BT AT( AB)T例

23、7已知201171,B=423A321201求 ( AB)T解因为201171143AB4201323 =131020171所以017(AB)T1413310若 A 是 n 阶方阵 ,如果满足 ATA ,即aija ji(i , j1,2, n)那么 A 称为对称矩阵 .例设列矩阵 X= (x1, x2 , xn )T满足 XTX1,E 是 n 阶单位阵 , HE 2XX T ,证明 H 是对称矩阵,且HH TE证H T(E2XX T )TE T2XX TE2XXTH所以 H 是对称矩阵 .HH T=H2(E 2XXT)2= E 4XX T +4(XXT )(XXT )= E 4XX T +4

24、X(XTX)XT)= E 4XXT +4XXT =E五 方阵的行列式定义 6 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式 (各元素位置不变 ),称为方阵 A 的行列式 ,记作 A 或det A.A 满足下列运算规律(A,B 为 n 阶方阵 ,为数 )(1)ATA(2)An A(3)ABAB,且 ABBA例 9行列式 A 的各个元素的代数余子式Aij 所构成的如下的矩阵A11A21An1A12A22An2A1nA2 nAnn称为 A 的伴随矩阵 ,试证AAAAAE证明设A(aij ) ,记 AA(bij ) ,则bijai1 Aj1ai 2 Aj 2ain AjnA ij故AA ( A ij )

25、A ( ij ) A E类似有nA A (Aki akj )( A ij ) A( ij ) A Ek 1本授课单元教学手段与方法：讲授为主 ,练习为辅 ,主要让学生充分理解矩阵运算的定义 ,原则 ,从而掌握矩阵运算 ,并通过练习提高学生运算的准确率 .本授课单元思考题、讨论题、作业：P53:3.4(1),(2);(3),(4)本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）线性代数附册学习辅导与习题选讲（同济第四版）注： 1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习

26、或习题课。线性代数课程教案授课类型理论课授课时间2 节第二讲 : §3 逆矩阵基本内容 : §3逆矩阵定义 7对于 n 阶矩阵 A, 如果有一个 n 阶矩阵 B,使ABBAE则说矩阵 A 是可逆的 ,并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵 ,简称逆阵 .记为 A 1如果 A可逆 ,则 A 的逆阵是唯一的 .因为 :设 B,C 都是 A 的逆阵 ,则有B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C定理 1若矩阵 A 可逆,则 A0证A可逆 即有A1 使AA1故AA1E1所以A0 .,E ,定理 2 若 A0,则矩阵 A 可逆,且A11AA其中A为A的伴随矩阵.证由例 9可知AAAAAE

27、所以有A1AA1AA AE按照逆矩阵的定义知A 可逆 ,且有A 11 AA当 A0 时称 A 为奇异矩阵 ,否则称 A 为非奇异矩阵 ,可逆矩阵就是非奇异矩阵 .推论 若 AB E(或BAE),则 BA 1证AB E1,故A0,因而 A 1 存在 ,有BEB (A 1A)BA1(AB) A1E A1逆阵满足下列运算 :(1)若A可逆,则A1也可逆 ,且(A 1) 1A .(2)若A可逆,数0 则A可逆且A111,A(3) 若 A,B 为同阶矩阵且可逆 ,则 AB 也可逆 ,且(AB) 1B1A1证AB B1A1A BB1A1AEA1AA1E ,由推论有 :111()(AB)BA)(4) 若A可

28、逆 ,则 AT 也可逆 ,且 ( AT ) 1(A 1)T证ATA1TA1ATETE ,由推论有T11T()():( A)( A)当 A0时,定义(AT) 1(A 1)TA0E, A k( A 1 ) k , k 为正整数这样,当 A0, 为整数 ,有AAA,(A )A重点 ,难点 :逆矩阵的求法 .定理 2 说明通过求伴随矩阵的方式,让学生掌握矩阵求逆,并告知学生下一章里还有更简单的求逆方法 .例 10求二阶矩阵ab的逆阵 .cd解A ad bc , Adb, 当 A0 时,有caA 11dbadbcca例 11求方阵123A 2 2 13 4 3的逆阵 .解 A 2,知 A 可逆, A的余

29、子式M 112, M12 3,M 132M 216, M226, M232M 314, M325, M332得M 11M 21M 31264AM 12M 22M 32365M 13M 23M 33222所以132A11A335A21211例12设1232113A22120, B,C3435331求矩阵 X 使其满足AXBC解若 A 1,B 1 存在,有即例 13解而所以A1AXBB 1A1CB1132131XA 1CB 1=33532 0221235111113121=0245= 10022104设P=1 2,1 0,AP P, 求 An1402P2, P1142211A P P1,A2P 2

30、 P 1 , , AnP n P 110210,n100,022 ,0n22AnP n P 1121 0142112n 142=40 2n1 12n 21 1122 114 2n 12n 122 2n2n124 2n 22n 222 2n 12n 11定义 设( x) a a x ax 2a x m012m为 x 的 m 次多项式 ,A 为 n 阶矩阵 ,记( A)a0 E a1 A a2 A2am Am( A) 称为矩阵 A 的 m次多项式 .,可证矩阵A 的两个多项式A 和 fA 是可交换的 ,即有A fAfAAA 的多项式可以象数x 的多项式一样相乘或分解因式.例如(EA)(2EA)2E

31、 AA2(EA) 3E3A3A2A3容易证明(1)如果 A PP1,则 AkP k P 1,从而( A)a0 E a1 A a2 A2am AmPa0 EP 1Pa1 P 1Pa22 P 1PammP 1P() P 1(2) 如果d i a (g 1 , 2 , ,n ) 为对角阵 ,则kdiag ( 1k , 2k , nk ) ,从而( ) a0 E a12amma211m112ma12a0am1n( 1 )( 2 )( n )本授课单元教学手段与方法：讲授为主 ,练习为辅 ,通过逆矩阵的定义及定理 2 的证明让学生充分掌握矩阵的求逆运算知学生在下一章里还可用更简练的方法计算逆矩阵本授课单元思考题、讨论题、作业：P54:11(1),(3);12(1),(2);P55:19,22mn,并告本