线性代数超强的总结(不看你会后悔的).

1、线性代数超强总结不可逆可逆AAr ( A)nr (A)nAAx有非零解Ax只有零解0是 的特征值的特征值全不为零0 AA的列（行）向量线性相关A的列（行）向量线性无关AAT是正定矩阵A A与同阶单位阵等价AAp1 p2 ps, pi 是初等阵R n , Ax总有唯一解向量组等价具有相似矩阵反身性、对称性、传递性矩阵合同 关于 e1 ,e2 , en ：称为n 的标准基，n 中的自然基，单位坐标向量； e1 ,e2 , , en 线性无关； e1, e2 , , en 1； tr( E)=n ；任意一个 n 维向量都可以用 e1 , e2 , , en 线性表示 . 行列式的计算：AAAA BB

2、BB 若 A与 B 都是方阵（不必同阶）, 则A( 1)mn A BB上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.a1 na1na2n 1a2n 1n( n 1)2 a1na2n an1关于副对角线：( 1)an1an1 逆矩阵的求法 : A 1 A A(A E)初等行变换( EA 1 )a b1dbA BTC T1ATad bc c aC DBTD Tc da11111a1a1ana21a2a21a2an1an1ana1A11A111An1A1A2A21A2A21AnAn1AnA11 方阵的幂的性质： Am AnAm n( Am) n( A)mn 设 f (x)am xmam 1xm 1a

3、1 xa0 ，对 n 阶矩阵 A 规定： f ( A)am Amam 1 Am 1a1Aa0E 为 A 的一个多项式 .设Am n , Bn s , A的列向量为1 , 2 , , n ,B的列向量为1 , 2 , , s ， AB的列向量为则： riA i ,i 1,2, s, 即 A( 1 ,2 , s) ( A 1, A 2 , , A s )r1 , r2 , , rs ,若(b1 , b2 , , bn )T ,则 Ab1 1b2 2bn n即：的第个列向量ri是 的列向量的线性组合组合系数就是ABiA,的第个行向量ri是 的行向量的线性组合组合系数就是ABiB,用 A, B中简单的

4、一个提i的各分量；高运算速度i的各分量 . 用对角矩阵左乘一个矩阵 , 相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；用对角矩阵右乘一个矩阵 , 相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量 . 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,A11B11与分块对角阵相乘类似 , 即： AA22B22, BAkkBkkA11B11A22B22ABAkkBkk 矩阵方程的解法：设法化成(I) AXB或(II)XAB当A 0时,初等行变换（当 为一列时,(I) 的解法：构造 ( A B)B(E X)即为克莱姆法则）(II) 的解法：将等式两边转置化为 AT X T BT，用(I) 的方法求出

5、 X T，再转置得 XAx和 Bx同解（ A, B 列向量个数相同） , 则： 它们的极大无关组相对应 , 从而秩相等； 它们对应的部分组有一样的线性相关性； 它们有相同的内在线性关系 .判断1,2, ,s 是 Ax0 的基础解系的条件：1, 2, s 线性无关；1, 2, s 是 Ax 0 的解； s n r ( A) 每个解向量中自由变量的个数 . 零向量是任何向量的线性组合 , 零向量与任何同维实向量正交 . 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 部分相关 , 整体必相关；整体无关 , 部分必无关 . 原向量组无关 , 接长向量组无关；接长向量组相关, 原向量组相关 . 两个向量线

6、性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.向量组 1, 2,n 中任一向量i (1 i n) 都是此向量组的线性组合 .向量组 1, 2,n 线性相关向量组中至少有一个向量可由其余n 1个向量线性表示 .向量组 1, 2,n 线性无关向量组中每一个向量 i 都不能由其余 n1个向量线性表示 .m 维列向量组1,2 ,n 线性相关r ( A)n ；m 维列向量组1,2 ,n 线性无关r ( A)n .r ( A)0A.若 1 ,2 , n 线性无关，而1, 2, n , 线性相关 , 则 可由 1 ,2 , n 线性表示 , 且表示法惟一 .? 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩 .阶

7、梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数 .? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩 , 且不改变列向量间的线性关系 .矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩 , 且不改变行向量间的线性关系 .向量组等价1 ,2 ,n 和 1 , 2 ,n 可以相互线性表示 .记作：1, 2 ,n1, 2 ,n矩阵等价 A 经过有限次初等变换化为B .记作： AB?矩阵 A与 B等价r ( A) r (B)A, B 作为向量组等价 , 即：秩相等的向量组不一定等价 .矩阵 A 与 B 作为向量组等价r (1,2 , n ) r (1,2,n )r ( 1 ,2 ,n , 1 ,2 , ,n )矩阵 A与 B等价.?向量组 1,2,

8、s 可由向量组1,2 ,n 线性表示r ( 1,2 ,n ,1 ,2 , s )r ( 1,2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s) r ( 1, 2 , , n ) .? 向量组 1,2,s 可由向量组1,2 ,n 线性表示 , 且 s n ，则 1 ,2 ,s 线性相关 .向量组 1,2, ,s 线性无关 , 且可由 1 ,2 , , n 线性表示 , 则 s n .?向量组 1,2,s 可由向量组1,2 ,n 线性表示 , 且 r ( 1,2 , s)r (1, 2, n ) , 则两向量组等价；? 任一向量组和它的极大无关组等价 .? 向量组的任意两个极大无关组等价 , 且

9、这两个组所含向量的个数相等 .? 若两个线性无关的向量组等价 , 则它们包含的向量个数相等 .?若A 是 mn 矩阵 , 则r ( A)minm, n , 若r ( A)m ，A 的行向量线性无关；若r ( A)n ， A 的列向量线性无关, 即：1,2 ,n 线性无关.线性方程组的矩阵式Ax向量式x11x2 2xn na11a12a1nx1b11 ja21a22a2nx2b22 jA, x,j, j 1,2, , nam1am2amnxnbmmjAx有无穷多解Ax有非零解n1,2 ,n 线性相关当A为方阵时A0可由1 , 2 ,n 线性表示Ax有解不可由1 ,2 ,n线性表示Ax无解Ax有唯

10、一组解Ax只有零解r ( A)r (A)n1 ,2 ,n线性无关当A为方阵时克莱姆法则r ( A)r ( A)r ( A)r ( A)r ( A)1r ( A)当A为方阵时A0矩阵转置的性质：(AT )T矩阵可逆的性质：(A1)1伴随矩阵的性质：( A )n若 r ( A)nr ( A )1若 r ( A) n 10若 r ( A)n 1A( AB)TBT AT(kA)TkATATA(A B)TATBTA(AB) 1B1A1(kA) 1k 1 A 1A 11(A 1)T(AT )1( A 1 )k( Ak ) 1A kAn 2( A1)( A )1A( AB)B A(kA)k n 1 AAn

11、1A(Ak )AA AA AEA AA(AT )(A )T( A )kAB ABkA kn AAkkA(1)1 , 2 是 Ax0的解 ,12也是它的解(2)是 Ax0的解 , 对任意 k, k也是它的解齐次方程组(3)1, 2,k是 Ax0的解 ,对任意 k个常数1, 2,k , 1 12 2kk也是它的解线性方程组解的性质： (4)是 Ax的解 ,是其导出组 Ax 0的解 ,是 Ax的解(5)1, 2是 Ax的两个解 , 12是其导出组 Ax0的解(6)2是 Ax的解 ,则1也是它的解1 2是其导出组 Ax0的解(7)1, 2,k 是 Ax的解 ,则1 12 2k k也是 Ax的解12k1

12、1 12 2k k是 Ax0的解12k0 设 A 为 mn 矩阵 , 若 r ( A)m, 则 r ( A) r ( A) , 从而 Ax一定有解 .当 m n 时, 一定不是唯一解 .方程个数未知数的个数向量维数, 则该向量组线性相关 .向量个数m 是 r ( A)和r ( A)的上限. 矩阵的秩的性质： r ( A) r ( AT ) r ( AT A)r ( AB) r ( A)r (B) r ( AB) min r ( A), r (B)r ( kA)r ( A)若 k00若k0A()()rBrArB 若A0,则 r ( A) 1 若,Bn s,且( )0,则()( ) nAm nr

13、ABr A r B 若P,Q可逆, 则r ( PA)r ( AQ)r ( A)若 A可逆 ,则 r ( AB)r (B)若 B可逆 , 则r ( AB)r ( A)若 r ( A)n, 则r ( AB)r ( B), 且 A 在矩阵乘法中有左消去律:AB0BABACBC标准正交基n 个 n 维线性无关的向量 , 两两正交 , 每个向量长度为 1.与正交(,) 0 .是单位向量(,) 1. 内积的性质：正定性： (,)0,且(,)0对称性： (,)( ,)双线性： (,12 )(,1 )(, 2 )( 12 , )(1,)(2,)(c,) (c,)(, c)施密特1,2 ,3 线性无关 ,11正

14、交化单位化：(2 ,1 )221)1(1(3 ,1 )(3,2 )331 )12(1(22 )123123123正交矩阵AATE.A 是正交矩阵的充要条件：A 的 n 个行（列）向量构成n 的一组标准正交基 . 正交矩阵的性质：ATA 1 ；AATATAE； A 是正交阵 , 则 AT （或 A 1 ）也是正交阵； 两个正交阵之积仍是正交阵； 正交阵的行列式等于 1 或-1.A的特征矩阵EA .A的特征多项式E Af ( ) .A的特征方程EA0 .AxxAx与 x线性相关 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素 . 若 A0 , 则0为 A 的特征值 , 且 Ax0 的

15、基础解系即为属于0的线性无关的特征向量 .ntr A A 12ni1a1 若 r ( A)1, 则 A 一定可分解为 A =a2b1,b2 ,bn、A2(a1b1a2b2anbn ) A , 从而 Aan的特征值为：1tr Aa1b1a2b2an bn ,23n 0 . 若 A 的全部特征值1 ,2 , ,n ， f ( x) 是多项式 , 则 :f ( A) 的全部特征值为 f (1 ), f (2 ), f ( n ) ； 当 A可逆时 , A 1的全部特征值为 1,1, 1,12nA的全部特征值为 A1, A2, An.kAkaAbEabA 11是 的特征值则:分别有特征值2.A,A2A

16、mmAAkAkaAbEabA11 是 关于 的特征向量 则 也是关于2的特征向量 .x A, xA2AmmAAA与 B相似 B P 1AP（ P 为可逆阵）记为：A B A 相似于对角阵的充要条件： A 恰有 n 个线性无关的特征向量 .这时 , P 为 A 的特征向量拼成的矩阵， P 1AP 为对角阵 , 主对角线上的元素为 A 的特征值 .A可对角化的充要条件：()为的重数n ri E A kikii. 若 n 阶矩阵 A 有 n 个互异的特征值 , 则 A 与对角阵相似 .A与 B 正交相似 BP 1AP（ P 为正交矩阵） 相似矩阵的性质：A 1B 1若 A,B均可逆 AT BTAkB

17、k（ k 为整数）EAEB ,从而A, B有相同的特征值, 但特征向量不一定相同.即: x 是 A 关于 0 的特征向量 , P 1x 是 B 关于 0 的特征向量 . A B从而 A, B 同时可逆或不可逆 r ( A) r ( B) tr ( A) tr ( B) 数量矩阵只与自己相似 . 对称矩阵的性质： 特征值全是实数 , 特征向量是实向量； 与对角矩阵合同； 不同特征值的特征向量必定正交； k 重特征值必定有 k 个线性无关的特征向量； 必可用正交矩阵相似对角化（一定有n 个线性无关的特征向量, A 可能有重的特征值 , 重数 = nr (EA) ） .A可以相似对角化A 与对角阵相

18、似 .记为： A（称是 A 的相似标准型） 若 A 为可对角化矩阵 , 则其非零特征值的个数（重数重复计算）r ( A) . 设i 为对应于i 的线性无关的特征向量, 则有：1A( 1 , 2 , , n ) ( A 1, A 2 , , A n ) ( 1 1 , 2 2 , , n n )1 , 2 , n2.nP若A B, CD,则： AB.CD 若 AB , 则 f (A) f ( B) , f ( A)f ( B) .二次型f ( x1, x2 , xn )XTAXA 为对称矩阵X ( x1 , x2 , xn )TA与 B合同 BCTAC.记作：A B（ A, B为对称阵 ,C为可逆阵 ） 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. 两个矩阵合同的充分条件是：AB 两个矩阵合同的必要条件是：r ( A) r (B)正交变换n f ( x1 ,