线性代数考试复习提纲、知识点、例题.

1、线性代数考试复习提纲、知识点、例题一、行列式的计算（重点考四阶行列式）1、利用行列式的性质化成三角行列式行列式的性质可概括为五条性质、四条推论，即七种变形手段 （转置、交换、倍乘、提取、拆分、合并、倍加）；三个为 0【两行（列）相同、成比例、一行（列）全为0】2、行列式按行（列）展开定理降阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 Dai1 Ai1ai 2 Ai 2.ain Aini1, 2, .n ,Da1i A 1ia i2A i 2.ani Anii1, 2, .n ,2240例 1、计算行列式 413531232051二、解矩阵方程矩阵方程的标准形式：若系数矩

2、阵可逆，则AXBXABAXBCXA1BXBA1XA1CB1切记不能写成XA1B1C或XCAB求逆矩阵的方法：1、待定系数法2、伴随矩阵法ABE(或BAE)A11AA其中 A 叫做 A 的伴随矩阵，它是A 的每一行的元素的代数余子式排在相同序数的列上的矩阵。A11A21.An1A12A22.An2A. . . .A1nA2n.Ann3、初等变换法AE初等行变换E A 1例 2、解矩阵方程 31X561416527891001011例 3、解矩阵方程 XAXB，其中A111B 2010153三、解齐次或非齐次线性方程组设Aaijm n ， n 元齐次线性方程组AX0 有非零解r ( A)nn 元齐

3、次线性方程组AX0 只有零解r ( A)n 。当 mn 时，n 元齐次线性方程组AX0 只有零解A0 。当 mn 时，n 元齐次线性方程组AX0 有非零解A0 。当 m n 时，齐次线性方程组一定有非零解。定义：设齐次线性方程组 AX 0 的解 1 ,., t 满足：（1）1 ,.,t 线性无关，（2）AX0 的每一个解都可以由1 ,.,t 线性表示。则1 ,.,t 叫做AX0 的基础解系。定理1、设Am n ，齐次线性方程组AX0 ，若r (A)rn ，则该方程组的基础解系一定存在， 且每一个基础解系中所含解向量的个数都等于 nr 。齐次线性方程组的通解x k. kk1, . k,R1 1n

4、 r n rn r设 A aij， n 元非齐次线性方程组 AXB 有解r (A) r ( A) 。m n唯一解r (A)r ( A)n 。无数解r ( A)r ( A)n 。无解r ( A) r ( A) 。非齐次线性方程组的通解x k11.knr n r，k1 , . k,n rRx1x22x3x40例 4、求齐次线性方程组2x1x2x3x40 的通解2 x12x2x32 x40x1x23x3x41例 5、求非齐次线性方程组3x1x23x34x44 的通解。x15x29x38x40四、含参数的齐次或非齐次线性方程组的解的讨论xyz0例 6、当为何值时，齐次线性方程组xyz0 有非零解，并求

5、解。2xyz02x1x2x32例 7、已知线性方程组x12x2x3，问当为何值时，它有唯一2x1x22x3解，无解，无穷多解，并在有无穷多解时求解。五、向量组的线性相关性1 ,2 ,., s 线性相关1, 2 ,., s( s2) 中至少存在一个向量能由其余向量线性表示。存在不全为 0 的数 k1, k2 ,., ks 使得 k1 1k2 2. ks s 0。k11列k2有非零解行2有非零解1 , 2 ,., sk1 , k2 ,., ks00.kssk1/,/k2有非零解12,., s0.ksr1 ,2 ,., s sr/,/s12 ,.,s1 ,2 ,.,s 线性无关1, 2 ,., s(

6、 s 2) 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示。若 k1 1k2 2 . ks s0 ，则 k1k2.ks0 。k11列k2行21,2 ,.,0 只有零解k1 , k2 ,., ks0 只有零解s.kssk1r 1,2 ,.,s/,/,.,/k20s12s.ksr/,/s12 ,.,s1特殊的， n 个 n 维向量1, 2 ,., n 线性相关1 ,2 ,.,n0或 20 。.n1n 个 n 维向量1 , 2 ,., n 线性无关1,2,.,n0 或 20。.n例 8、已知向量组1t,2,1， 2 2,t,0， 31,1,1，讨论 t 使该向量组（1）线性相关（2）线性无关六、求向量组的秩

7、，极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示设向量组 A:1, 2 ,., s ，若从 A 中选出 r 个向量构成向量组A0 :i1 , i2 ,., ir 满足：（ 1） A0 线性无关（ 2） A 中的每一个向量都能由 A0 线性表示，条件（ 2）换一句话说A 的任意 r1 个向量（若有的话）都线性相关，或者说从A 中向 A0 任意添加一个向量（若有的话），所得的向量组都线性相关。则 A0 叫做 A 的极大线性无关向量组，简称极大无关组。向量组的极大无关组所含向量的个数叫做向量组的秩，记作 r1, 2 ,., sr求向量组的秩的方法：（1）扩充法1（2）子式法21 , 2 ,., m n

8、 m.m m n最高阶非 0 子式的阶数就是矩阵的秩，也就是这个向量组的秩，并且这个子式的行（列）对应的原向量组的向量就是这个向量组的一个极大无关组。（3）初等变换法同法二构成矩阵，对矩阵进行初等变换。例 9、设向量组1(1,2,1,3) ,2(4, 1, 5, 6) ,3( 1, 3, 4, 7) ,4(2,1,2,3)求（ 1）向量组的秩；（2）向量组的一个极大线性无关组，并把其余向量用这个极大线性无关组线性表示。七、相似矩阵的性质与矩阵可相似对角化问题P1APB相似矩阵的性质 :1、相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，行列式，迹。特征值相同是两个矩阵相似的必要而非充分条件。2

9、、 相似矩阵有相同的秩。秩相等是方阵相似的必要而非充分条件。3、 相似矩阵有相同的可逆性， 当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。4、若 A 与 B 相似，则 Ak 与 Bk 相似， kN ，则 (A)与 (B)相似。Bk(P 1 AP)kP 1 APP 1AP.P 1 APP 1Ak P1An 与2相似nAn 有 n 个线性无关的特征向量p1, p2 ,., pn ，且以它们为列向量组的矩阵 P 使 P 1AP， 1, 2 ,., n 分别为与 p1 , p2 ,., pn 对应的An 的特征值。若 An 有 n个互不相等的特征值1, 2 ,., n ， 则 An 一 定 与12相似。nAn 与

10、 相似对应于 An 的每个特征值的线性无关的特征向量的个数等于该特征值的重数。nr ( EA)k其中 k 为的重数124500例 10、设矩阵 A2x2 与 B0y0相似421004（1） 求 x 与 y；（2）求可逆矩阵 P ，使 P 1AP B 。001例11、设A 11a，问 a 为何值时，矩阵 A 能相似对角化。100例 12、设三阶矩阵A的特征值为 1， 22，3 3 ，对应的特征1向量依次为 11,1,1/ ， 2 1,2,4/ ， 31,3,9/，求矩阵 A 。例 13、设三阶实对称矩阵 A 的特征向值1,1,1，与特征值 1对应的特征向量为 11,1,1，求 A。八、化二次型为标准型