第一轮复习自己整理绝对经典2016函数--第一轮.

1、函数常见题型归类（2016 版）一函数的表达式题型一：函数的概念映射的基本条件：1. 可以多个 x 对应一个 y，但不可一个 x 对应多个 y。2. 每个 x 必定有 y 与之对应，但反过来，有的y 没有 x 与之对应。函数是一种特殊的映射，必须是数集和数集之间的对应。例 1：已知集合 P= x 0x 4 ， Q= y 0 y2 ，下列不表示从P 到 Q的映射是（）A. fx y= 1xB. fx y= 1xC. f x y= 2xD. fx y= x233例 2：设 S,T 是 R的两个非空子集 , 如果存在一个从S 到 T 的函数 y=f(x)满足 :(1) Tf ( x) x S ,(2

2、)对任意x1,x 2 S, 当 x1<x2 时, 恒有 f(x 1)<f(x2), 那么称这两个集合 “保序同构” , 以下集合对不是 “保序同构” 的是 ()A.A=N* ,B=NB. A x 1 x 3 ,B x x8或 0 x 10C. Ax 0 x 1 , BRD.A=Z,B= Q例 3：下列各组函数中，函数f ( x) 与 g ( x) 表示同一函数的是（ 1） f ( x) x ， g (x) x 2；（ 2） f (x) 3x 1， g(t) 3t 1；x（ 3） f ( x) x0 ， g ( x) 1；（ 4） f ( x) x2 ， g(x) (x) 2 ；题型

3、二：函数的表达式1. 解析式法例 4：已知函数 f x2x3 , x 0,则 fftan x,0x.,42真题：【2015 高考新课标1 文 10】已知函数（ A）75（ B）（ C）442x 12, x13，则 f (6a) （f ( x)，且 f (a)）log 2 ( x1), x 131（ D）442. 图象法例 5：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程的函数，其图像可能是_s 看作时间tssssOtOtOtOtABCD例 6：向高为H 的水瓶中注水，注满为止. 如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图2 4 所示，那么水瓶的形状是（）例

4、 7：如图，半径为1 的半圆 O与等边三角形ABC夹在两平行线l1 ， l 2 之间， l / l1 ， l 与半圆相交于F,G 两点，与三角形ABC两边相交于E,D 两点 . 设弧 FG的长为 x(0 x ),y=EB+BC+CD，若 l 从 l1 平行移动到l2 ，则函数y=f(x)的图像大致是 ()真题：【2015 高考北京】汽车的“燃油效率 ”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶5 千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以80 千米 / 小时的速度行驶1

5、 小时，消耗10 升汽油D某城市机动车最高限速80 千米 / 小时 . 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【 2015 年新课标 2 文科】如图 ,长方形的边AB=2,BC=1,O 是 AB的中点 ,点 P沿着边 BC,CD与 DA 运动 ,记BOPx ,将动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为x 的函数fx,则的图像大致为（）ABCD3. 表格法例 8：已知函数f ( x) ， g( x) 分别由下表给出x123x123f(x)131g(x)321则 f g(1) 的值为；满足 f g( x)g f (x) 的x 的值是题型三：求函数的解析式.1. 换元法例 9：已知 f ( x1)x

6、 1，则函数 f (x) =变式 1：已知 f ( 2x1)x22x ，则 f (3) =变式 1：已知 f （x6） log 2x，那么 f （ 8）等于2. 待定系数法例 10：已知二次函数f (x) 满足条件 f (0)=1及 f (x+1)- f (x)=2x。则 f (x) 的解析式 _3.构造方程法1例 11：已知 f(x)是奇函数， g(x) 是偶函数，且, 则 f(x)=f(x)+g(x)=x 1变式：已知 f x2 f1x 21，则 f(x)=x4.凑配法例 12：若 f ( x1 )x21 ，则函数 f ( x1) =_.xx 25. 对称问题求解析式例 13：已知奇函数

7、fx x22x, x0 ，则当 x0 时， f(x)=真题：【 2013 安徽卷文14】定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f ( x 1)2 f ( x) . 若当 0x 1时。 f ( x)x(1 x) ，则当 1 x 0 时， f (x) =.变式：已知 f(x) 是奇函数，且f2 xf x ，当 x2,3 时， f x log 2 x1 ，则当 x 1,2时，f ( x) =二函数的定义域题型一：求函数定义域问题1. 求有函数解析式的定义域问题例 14：求函数 y 3 (x2) 0的定义域 .log 2x16x 24 | x | lg x2真题：【2015 高考湖北文6】函数 f

8、(x)5x 6 的定义域为（）x3A (2, 3)B (2, 4C (2, 3)(3, 4D( 1,3)(3, 62. 求抽象函数的定义域问题例 15：若函数 y f ( x)的定义域是 1 ， 4，则 y f (2x1)的定义域是例 16：若函数 y f (3x1) 的定义域是 1 ， 2 ，则 y f (2x1) 的定义域是真题：已知f ( x) 的定义域为 1,2) ，则 f (| x |) 的定义域为（）A 1,2)B 1,1C ( 2,2)D 2,2)题型二：已知函数定义域的求解问题例 17：如果函数fx)kx2kx3 的定义域为 R，则实数k 的取值范围是.(4变式：已知函数 fx

9、mx2m3 x1 的值域是 0,)，则实数 m 的取值范围是 _三函数的值域1. 二次函数类型（图象法） :例 18：函数 yx22x3 ， x1,4 的值域为换元后可化为二次函数型：例 19：求函数yx12 x 的值域为2.单调性法例 20：求函数x1f (x)x 1,4 的最大值和最小值。x53. 复合函数法例 21：求函数真题：求函数f ( x)4x2 x 13x2,4 的最大值和最小值。f xlog 1x 22x3的范围。24. 函数有界性法例 22：函数2x2f ( x)2 的值域为1x5. 判别式法例 23：函数x23x2f ( x)2x的值域为x16. 不等式法求最值（不等式部分

10、讲解）例 24：函数 f x =1的最大值是1 x(1 x)7. 导数法求函数的极值及最值（详见导数专题）真题：【上海文，】设 g( x) 是定义在R上、以1为周期的函数，若 f ( x)x g( x) 在 0,1 上的值域为 2,5 ，则7f ( x) 在区间 0,3 上的值域为【 2012高三一模虹口区13】已知函数f()2,( )x26x1 ，对于任意的x1 1,1 都能找到xx a gxx2 1,1, 使得 g (x2 )f (x1 ) ，则实数 a 的取值范围是四函数的奇偶性定义：若 fxfx ，或者 fxf x0，则称 fx 为奇函数。若 fxf x ，则称 fx 为偶函数。f x

11、 有奇偶性的前提条件：定义域必须关于原点对称。结论：常见的偶函数：常见的奇函数：fxx2 n ， f xx ， f xcosx ， fxaxa x等等。fxx2 n 1 ， f xkx ， f xk ， fxsin x ， fx a xa x ，xf xa x11， f x1a x1， fx log a x1， f x log ax 21x 等等。a x221x1结论：奇+奇=奇偶+偶 =偶奇 +偶=非奇非偶奇*奇=偶偶*偶=偶奇* 偶=奇偶+常数 =偶奇 +常数 =非奇非偶因为 fxfx 为奇函数，fxfx 为偶函数，所以可以把奇函数看作是“负号”，把偶函数看作是“正号” ，则有助于记忆。题

12、型一：判断函数的奇偶性：1. 图像法 .例 25：画出函数f ( x)5的图象并判断函数f ( x) 的奇偶性2定义法：例 26：判断函数f (x)1x 2x 21 的奇偶性3结论法例 27：判断函数 f (x)x20111x的奇偶性x题型二：已知函数奇偶性的求解问题例 28：已知函数 yf (x) 为定义在R上的奇函数，且当x0时f( )22 3，求f (x)的解析式x xx例 29：已知 f ( x) 是定义域为 R 的偶函数，当x 0 时， f ( x)x24x ，那么，不等式f ( x 2) 5 的解集是 _例 30：已知定义域为R 的函数 f ( x)2 xb.b2x 1是奇函数 .

13、 则 aa真题：【 2013 辽宁文， 6】 6若函数 fxx为奇函数，则 a2x1xa【 2015 ，新课标】若函数 f( x) xln( x2为偶函数，则a x)ax【 2015 高考山东文8】若函数f ( x)21 是奇函数，则使 （f x） 3 成立的 x 的取值范围为2xa题型三： f xg xc ，其中 g x 为奇函数， c 为常数，则：faf a2c例 31：已知(x),(x) 都是奇函数， 且 f x()()x() x2在 x1,3 的最大值是 8，则 f ( x) 在 x3, 1的最值是真题：【 2012 高考新课标文x 1 2sin x16】设函数 f xx 21的最大值

14、为 M，最小值为 m，则 M+m=_【 2011广东文 12】设函数 f (x)x3 cos x1若 f (a)11 ，则 f (a)【 2013重庆高考文科9 】已知函数 f (x)ax3b sin x4(a, bR) ， f (lg(log 2 10)5 ，则 f (lg(lg2)A.5B.1C.3D.4【 2013高考文 7 】已知函数 f (x)ln( 19x23x) 1，则 f (lg 2)f (lg 1)（）2A.1B.0C.1D .2题型四：利用奇偶性和周期性求函数值的问题例 32：设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，当x时， f (x)xx ，则 f ( )( )例 3

15、3：设 fx 是周期为2的奇函数，当 0 x1 时， fx2x 1 x ，则 f (5 )2五函数的单调性定义：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2 , 当 x1 x2 时都有 f(x1) f(x2).那么就说 f(x) 在 这个区间上是增函数。如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1、 x2，当 x1 x2时都有 f(x1) f(x2).那么就是 f(x)在这个区间上是减函数。定义变形：若对任意x1x2 , 都有 fx1f x20，则 fx 为单调递减函数x1x2题型一：判断函数的单调性1. 图像法 .例 34：画出函数fxx22 x 的图像并判断函数的单调性

16、.例 35：画出函数fxx x2 的单调递增区间为 _.2. 定义法：证明方法步骤：1. 设值2.作差（作商） 3. 化简 4.定号 5.结论例 36：判断函数 yx4在在 0,2 上的单调性x3. 结论法复合函数的单调性：同增异减例 37：写出函数f (x)log 1 (x24x3) 的单调递增区间24. 导数法例 38：函数 f ( x)ln x13 的单调区间x真题：【 2011重庆理， 5】下列区间中，函数 f ( x)ln(2x) 在其上为增函数的是( )A (,1B 1,4C 0, 3)D 1,2)32【 2009浙江文】若函数f ( x)x2a (a R) ，则下列结论正确的是（

17、）xAaR ， f ( x) 在 (0,) 上是增函数BaR ， f (x) 在 (0,) 上是减函数C aR ， f ( x) 是偶函数DaR ， f (x) 是奇函数【 2015高考四川，文15】已知函数f(x) 2x， g(x) x2 ax(其中 a R).对于不相等的实数x1， x2，设 mf ( x1 )f ( x2 ) ，n g (x1)g( x2 ) ，现有如下命题：x1x2x1x2于任意不相等的实数x1， x2，都有 m 0；对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1， x2，都有 n 0；对于任意的 a，存在不相等的实数x1，x2，使得 m n； 对于任意的a，存在不相等的实数

18、x1 ，x2，使得 m n.其中真命题有 _( 写出所有真命题的序号).题型二：已知函数单调性求参数范围的问题例 39：设定义在2,2上的偶函数f x 在区间0,2 上单调递减，若f1mf m ，求实数 m 的取值范围_.例 40 ： 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 ,且在区间0,) 单 调 递 增 . 若 实 数 a 满 足f ( l o 2g a) f( l1 oag2)f(1),则 a 的取值范围是（）2A.1,2B.11D.(0,20,C., 222真题：【 2012大同调研】已知定义域为R 的函数 f x在 8,上为减函数， 且函数 yf x 8

19、 为偶函数，则：（）A f 6f 7B.f 6f 9 C.f 7f 9D.f 7f 10【 2012山西】设函数 fxx3 ，若0时， fmcosf 1m0 恒成立，则实数m 的取值范围2为 _.【 2015 新课标2 文】设函数 f ( x)ln(1| x |)12 ,则使得 f ( x)f (2 x1) 成立的 x 的取值范围是 （）1xA 1,1B, 11,C1 , 1D, 11 ,333333题型三：分段函数的单调性问题：21【 2013 惠州调研】已知函数f xx2a2, x 1 ，若 f x 在 0,上单调递增，则实数a 的取值范围a xa, x1为 _.a2 x, x2,都有 f

20、 x1f x2【 2013 山西四校联考】已知函数f x1x1, x2满足对任意的实数x1x202x1x2成立，则实数a 的取值范围为 _.六：函数的周期性1. 定义：周期函数：对于f (x) 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得f ( xT )f (x) 恒成立，则称函数 f (x) 具有周期性，T 叫做 f ( x) 的一个周期，则kT （ kZ , k0 ）也是 f (x) 的周期，所有周期中的最小正数叫 f (x) 的最小正周期2几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数 yfx 满足对定义域内任一实数x （其中 a 为常数），(1)fxf xa ，则 yfx 是以 Ta

21、 为周期的周期函数；(2)fxafx ，则 fx是以 T2a 为周期的周期函数；(3)fxa1x是以 T2a 为周期的周期函数；f，则 fx(4)fxafxb ，则 fx 是以 Ta b 为周期的周期函数；以上（1）- （ 4）比较常见，其余几种题目中出现频率不如前四种高，并且经常以数形结合的方式求解。（可以类比三角函数的图像进行求解）(5) 函数 yf ( x) 满足 f ( ax)f ( ax) （ a0 ），若 f ( x) 为奇函数，则其周期为T4a ，若 f ( x) 为偶函数，则其周期为T2 a (6)函数 yf ( x)xR的图象关于直线x a 和 x bab都对称，则函数 f

22、( x) 是以 2 b a为周期的周期函数；(7)函数 yf ( x)xR的图象关于两点A a,0 、 Bb,0ab 都对称，则函数f ( x) 是以 2ba 为周期的周期函数；(8)函数 yf ( x)xR的图象关于 Aa,0 和直线 xb ab 都对称，则函数f ( x) 是以 4 ba 为周期的周期函数；例 41：已知函数f ( x)的定义域为 R，且对任意 x Z ，都有 f ( x) f ( x 1) f (x 1) 。若 f ( )16，f (1) 7 ，则f (2012)f ( 2012).例 42：设 f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= f(x),当 0x 1 时，

23、 f (x)= x，则 f (7.5 ) = _例 :43: 在 R 上定义的函数yf ( x) 是偶函数，且在区间1，2 上是减函数，同时满足f ( x)f ( 2x) ，则函数 yf (x) ()A在区间 2， 1 上是增函数，在区间3，4 上是增函数B在区间 2， 1 上是增函数，在区间3，4 上是减函数C在区间 2， 1上是减函数，在区间3，4上是增函数D在区间 2， 1 上是减函数，在区间3，4 上是减函数真题：【2012衡阳六校联考】已知函数f x 是,上的偶函数，若对于 x0，都有 f x2f x ，且当 x0,2时， f xlog 2x1 ，则 f2011f 2012【 201

24、3高 考 福 建 】 定 义 在 实 数 集 上 的 奇 函 数 f ( x) 恒 满 足 f (1x)f (1x) ， 且 x1,0时 ，f ( x)2x1，则 f (log 2 20) =_5【 2015高考福建，文 15】若函数f( ) 2 xa (a)f (1 x) ，且 f (x) 在 m,) 单调递增，xR 满足 f (1 x)则实数 m 的最小值等于 _设函数 fx是奇函数 f(x)(xR)的导函数，f(-1)=0，当 x>0 时，xfx - f(x)<0,【 2015 新课标，理 12】则使得 f(x)>0成立的 x 的取值范围是（）（ A）（， -1）（ 0

25、,1）（B）（， 0）（ 1,+）（ C）（， -1）（ -1,0）（ D）（， 1）（ 1,+）七：函数图象的基本变换结论：由函数yf x 可得到如下函数的图象1. 平移：（ 1）（ 2）yf xm m0：把函数y =f (x)的图象向左平移m的单位（如m<0则向右平移个单位）。yf xm m0：把函数y =f (x)的图象向上平移m的单位（如m<0则向下平移个单位）。2. 对称：关于直线对称( ) (1)函数(2) 函数y fx 与 yfx 的图象关于y 轴对称。yf x 与 yfx 的图象关于x 轴对称。(3)函数 y f xa 与 yf babx 的图象关于直线 x对称。2

26、( ) (4)函数 y = f (|x|)的图象则是将y = f (x)的 y 轴右侧的图象保留，并将y =f (x)右侧的图象沿 y 轴翻折至左侧。 （实际上y = f (|x|)是偶函数）(5)函数 y = |f (x)|的图象则是将y = f (x)在 x 轴上侧的图象保留，并将y = f (x)在 x 轴下侧的图象沿 x 轴翻折至上侧。y x 23 x 2y x 23 x 2y x23x 23. 伸缩（ 1）函数 y = f (mx) (m>0)的图象可将 y = f (x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的1 倍得到。m（如果 0<m<1，实际上是将f (x

27、)的图象伸展）（ 2）函数 y = mf (x) (m>0)的图象可将 y = f (x)图象上各点的横坐标不变，纵坐标缩小到原来的1 倍得到。（如果 0<m<1，实际上是将f (x)m的图象伸展）例 44： f(x)的图象向右平移1 个单位长度 , 所得图象与曲线y=ex 关于 y 轴对称 , 则 f(x)= ( )A.e x+1B.ex-1C.e-x+1D.e-x-1例 46：函数 ycos6x）xx 的图象大致为（22例 47：函数 yx2sin x 的图象大致是 ( ) 2ABCD例 48：函数 y(1 )x1的图像关于直线 yx 对称的图像大致是 ( ) 2ABCD

28、真题：1.x 为实数， x 表示不超过x 的最大整数，则函数f (x)x x 在 R 上为 ()A奇函数B偶函数C增函数D 周期函数【 2015 高考浙江文5】函数fxx1 cos x （x且 x0 ）的图象可能为（）xABCDx3）3. 函数 y的图象大致是（3x14. 如图所示， f （ x）， f （ x）， f（ x）， f （x）是定义在0， 1上的四个函数，其中满足性质：“对 0， 11234x1 x2）1）中任意的 x1 和 x2， f （ f （ x1） +f （ x2）恒成立”的只有（22【 2015 高考安徽】 函数 fxaxb2 的图象如图所示， 则下列结论成立的是 （）

29、xc（ A） a0 ， b0， c0（ B） a0 ， b0 ， c0（ C） a0 ， b0， c0（ D） a0 ， b0， c0八指数函数题型一：指数运算(1) 分数指数幂的意义：mm11nnm*，n*aa (a 0, m,nN , n 1)am(a0, ,N,n1)n a mm na n(2) 实数指数幂的运算性质：(1)ar as_(a0,r , sR)(2)aras_(a0, r , sR)(3) ars_( a0, r , sR)(4) abr_( a,b0, rR)14ab 13例 49：化简12=423310.1b2a例 50：已知2x2 x5，求（ 1） 4x4x ；（ 2

30、） 8x8 x题型二：指数函数及其性质例 51：下列以 x 为自变量的函数中，是指数函数的是( )A.y=(-4) xB.y= xC.y=-4xD.y=ax+2 (a>0 且 a1)例 52：设 a, b,c, d 都是不等于1的正数， y a x , ybx , yc x , yd x 在同一坐标系中的图像如图所示，则a, b, c, d 的大小顺序是（）yA.a b c dB.a b d cy bxy cxC.b a dcD.b a c dy axy d x例 53：函数 f ( x)a x ( a0, 且a1)对于任意的 x,y都有（ A） f ( xy)f ( x) f ( y)

31、（ B） f ( xy)f ( x)f ( y)x（ C） f ( xy)f ( x) f ( y)（ D） f ( xy) f ( x) f ( y)o题型三：指数函数性质的综合应用(1) 指数函数的概念：一般地，函数ya x (a0, 且a1) 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R(2) 指数函数的图像和性质a>10<a<166554433221 111-4-20246-4-20246-1-1定义域 R定义域 R值域 y |y 0值域 y |y 0在 R上单调递增在 R 上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图像都过定点（0，1）函数图像都过定点（0， 1）当

32、x>0 时，y>1当x>0 时， 0< <1y当 x<0 时， 0<y<1当 x<0 时， y>1补充：恒过定点问题：例 54：函数例 55：函数例 56：函数例 57：函数yax 21.(a0 且 a 1) 的图像必经过点ylog a2x31的图像必经过点ymx3x2m 1的图像恒过定点mx2x3myy 4m 2 0 的图像必经过点九对数函数题型一：对数运算(1) 对数的定义：一般地，如果 a x N (a 0, a 1) ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作： x log a N （ a 底数， N 真数， log a N 对