历年高考文科数学解答大题分类归纳（精编版）

1、一、函数大题历年高考函数大题分类归纳1.( 本小题满分 13 分） 2011设 fx1 x33mx2nx .（1）如果 g xfx2x3 在 x2 处取得最小值5 ，求 fx 的解析式；（2）如果 mn10 m,nN， fx 的单调递减区间的长度是正整数，试求 m和n的值 ( 注：区间a, b的长度为 ba ）解：（ 1）已知 fx1 x33mx2nx ，f ' xx22 mxn又g xf 'x2 x3x22m2 xn3 在 x2 处取极值，则 g '2222m20m3 ，又在 x2 处取最小值 -5.则 g22 224n35n2fx1 x333 x22 x（2）要使

2、fx1 x33mx2nx 单调递减，则f 'xx22 mxn02又递减区间长度是正整数，所以f ' xx 22mxn0 两根设做 a， b。即有：b-a 为区间长度。又baab4ab4m24n2m2n m, nN又 b-a 为正整数，且m+n<10,所以 m=2，n=3 或， m2（本小题满分 12 分） 20103, n5 符合。设函数f ( x)6 x33(a2) x22 ax .（1） 若f ( x) 的两个极值点为x1, x2 ，且x1x21 ，求实数 a 的值；（2） 是否存在实数 a ，使得不存在，说明理由 .f ( x) 是(,) 上的单调函数？若存在, 求

3、出 a 的值；若解：f( x)18 x26( a2) x2a（1） 由已知有f ( x )f(x )0 ，从而 x x2a1 ，所以 a9 ；121 218（2） 由36(a2) 24182 a36(a 24)0 ，所以不存在实数a ，使得 f ( x) 是 R 上的单调函数 .3（本小题满分 12 分） 2009设函数f (x)x39 x226 xa（1） 对于任意实数x ， f(x)m 恒成立，求 m 的最大值；（2） 若方程f (x)0 有且仅有一个实根，求a 的取值范围解： (1)f ' ( x)3x29 x63( x1)(x2) ,因为 x(,) ,f ' ( x)m

4、 ,即m3x29 x(63m)0 恒成立 ,3所以8112(6m)0 ,得4 ，即 m 的最大值为4(2)因 为当 xf ' (x)0 ;1 时,f ' ( x)0; 当 1x2 时 ,f ' ( x)0 ; 当 x2 时 ,所以 当 x1时,f (x)取极大值5f (1)a2;当 x2 时,f ( x)取极小值f (2)2a ;故当 fa52 .(2)0或 f (1)0时,方程f (x)0仅有一个实根.解得a2 或4已知函数f (x1） 求函数xaxa xa (a0) 43yf (x) 的单调区间；（2） 若函数yf (x) 的图像与直线 y

5、1 恰有两个交点，求 a 的取值范围解：（ 1）因为f ( x)x3ax22a 2 xx( x2a )( xa)令 f ( x)0 得 x12a, x20, x3a由a0 时， f( x) 在 f(x)0 根的左右的符号如下表所示极小值极大值极小值所以 f ( x) 的递增区间为 (2a,0)与( a,) ；f (x)的递减区间为 (， 2a)与(0，a)（2）由（ 1）得到f ( x)极小值f (2a)5 a 4 ，3f ( x)极小值f (a)7 a 412要使 f ( x) 的图像与直线y1 恰有两个交点，只要5 a417 a 4 或a 41 ，3124即a12 或 07a1 .5（本小

6、题满分 12 分） 2007已知函数f (x)cx1(0xc)x满足 f (c2 )9 2 c21(c x1)8（1） 求常数 c 的值；（2） 解不等式f ( x)21 8解：（ 1）因为 0c1，所以 c2c ；由f (c2 )9 ，即 c319 ， c1 8821 x1，x1（2）由（ 1）得22f (x)2 4 x1， x1由 f ( x)21 得，8当 0x1 时，解得2x1 ；当 1 x1 时，解得 1 x5 ，242228所以 f ( x)21 的解集为x2x58486.( 本小题满分 12 分) 2006已知函数f (x)x3ax2bxc 在 x2 与x31 时都取得极值 .(

7、1) 求 a 、b 的值及函数 f (x) 的单调区间 ;(2) 若对 x1,2, 不等式f ( x) < c2 恒成立, 求c 的取值范围 .解:极大值极小值所以函数f ( x) 的递增区间为(,2) ) 与 (1,) ;递减区间为 (32 ,1).37（本小题满分 12 分） 2005x2已知函数f ( x)axb（ a， b 为常数）且方程f ( x) x+12=0 有两个实根为x1 =3,x2 =4.（1） 求函数 f ( x) 的解析式；（2） 设 k>1，解关于 x 的不等式；f (x)(k1) xk .解：（ 1）将 x13, x24分别代入方程x2axb2xx120

8、 得2（ 2）不等式即为x( k1) xk , 可化为 x(k1) xk022x2x2x即 (x2)( x1)( xk)0.当 1k2, 解集为x(1,k )(2,).当 k2时,不等式为 ( x2)2 ( x1)0解集为 x(1,2)(2,); 当k2时,解集为 x(1,2)( k,) .二、三角函数1.( 本小题满分 12 分） 2011在ABC 中，A, B, C 的对边分别是a, b,c ，已知3a cos AccosBbcosC .（1）求 cos A的值；(2) 若a1, cos Bcos C23 ，求边 c 的值 3解：（1）由3acos AccosBbcosC 正弦定理得：及：

9、 3sin Acos Asin A所以cos A1 。3（ 2）由cos Bcos C233cos(AC)cos C23 展开易得：3cos C2 sin C3 sin C63正弦定理：a sin Acc3sin C22（本小题满分 12 分） 2010已知函数f ( x)(1cotx) sin 2 x2sin( x)sin( x) .44（1） 若 tan2 ，求 f () ；（2） 若 x, ，求122f ( x) 的取值范围 .解：（ 1）f ( x)sin 2 xsinx cos xcos 2x1cos 2 x1 sin 2 xcos 2x由 tan2 得 sin 2222sincos

10、2 tan4 ，sin 2cos21tan 25cos2sin 21tan233cos 2sin2cos21tan25，所以f ().5（2）由（ 1）得f (x)1(sin 2xcos 2 x)121sin(2 x)22242由 x,得 2x 5, 5 ，所以sin(2 x)2 ,1122412442从而 f (x)2 sin(2 x)10, 12 .24223（本小题满分 12 分） 2009在 ABC 中，（1） 求 C ；A, B, C 所对的边分别为Aa, b,c ，6 ， (13) c2b （2） 若uuur uuur CBCA13 ，求 a , b ， c b13sin B解：（

11、 1）由 (13) c2b得c2 2sin Csin(C)sin 5cosCcos5sin C6661cot C313则有得 cot Csin CC1即4 .sin C= 2222（2） 由uuuv uuuvCBCA13推出ab cos CC13；而4 ,2 ab13即得2,2 ab132(13) c2baca 2b 13sin A则有sin Cc2解得4（本小题满分 12 分）2008已知 tan1 ， cos35,(0,)5（1） 求 tan() 的值；（2） 求函数f (x)2 sin( x)cos(x) 的最大值解：（ 1）由cos5 ,(0,)得 tan2 ， sin255512于是

12、 tan() =tantan31.1tantan12 3（ 2）因为tan1,(0,)所以 sin13,cos31010f ( x) 的最大值为5 .5（本小题满分 12 分） 2007)如图，函数 y2cos(x)( xR ，0 的图象与 y 轴相交于点 (0， 3) ，2且该函数的最小正周期为（1） ）求和的值；0，（2） ）已知点 A2，点 P 是该函数图象上一点，点Q(x0， y0 )是 PA 的中点，当y3 ， x ) 时，求x 的值解：（ 1）将 x0 ， y023 代入函数， 2y2cos(x0) 中得cos3 ，2因为0 ，所以26由已知 T，且0 ，得22 2 T3（2） 因

13、为点A，0 2， Q(x0， y0 ) 是 PA 的中点， y02所以点 P 的坐标为2x03，2又因为点 P 在 y2cos2x 的图象上， 且6 x0 2，所以cos 4x053 ，627 5 19 511513 4 x0，从而得4 x0或 4 x0，6666666即 x02或 x 33 406.( 本小题满分 12 分)2006在锐角 ABC 中，角 A 、 B 、C 所对的边分别为 a 、b 、 c , 已知 sin A22 ,3(1) 求 tan 2 BCsin2A 的值；(2)若 a2, SABC2 ，求 b 的值。22解:(1)因为锐角 ABC 中,ABC,sin A2 2 ,

14、所以31cos A3tan2 BCsin2Asin2 ( BC )2sin 2 A则22cos2 ( BC )221cos(BC)1 (1cos A)1cos A17 .1cos(BC)21cos A33(2) 因为 S2 , 又 S1 bc sin A1 bc222,ABCABC223则 bc3. 将 a12,cos A, c 33 代入余弦定理 : a2 bb 2c22bc cos A,得b46b290, 解得 b3 .7（本小题满分 12 分） 2005已知向量 ax(2 cos2x, tan(2), b4x(2 sin(2x), tan( 42), 令f4( x)ab .求函数 f (

15、 x) 的最大值，最小正周期，并写出f ( x) 在0 ， 上的单调区间 .解： f(x)ab22 cosx sin( x 22)tan( x42) tan( x)424当 x时，4f ( x) |maxf ()2 4最小正周期为 T2f (x) 在0,是单调增加，在,44是单调减少三、概率试题1( 本小题满分 12 分） 2011某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别公司准备了两种不同的饮料共 5杯，其颜色完全相同，并且其中3 杯为 A 饮料，另外2 杯为 B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5 杯饮料中选出3 杯 A 饮料若该员工3 杯都选对，则评为优秀；若 3杯选对 2 杯，则

16、评为良好；否则评为及格假设此人对A 和 B 两种饮料没有鉴别能力2. 求此人被评为优秀的概率；3. 求此人被评为良好及以上的概率C 3153解：（ 1）员工选择的所有种类为C3 ，而 3 杯均选中共有C3 种，故概率为3.C53105C3（ 2）员工选择的所有种类为C3 ，良好以上有两种可能：3 杯均选中共有3种；C3C 2C17： 3 杯选中 2 杯共有 C 2C1 种。故概率为332.C103235解析：本题考查的主要知识是排列组合与概率知识的结合，简单题。2（本小题满分 12 分） 2010某迷宫有三个通道， 进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门， 系统会随机（即等可能）为你

17、打开一个通道. 若是 1 号通道，则需要1 小时走出迷宫；若是2 号、 3 号通道，则分别需要2 小时、 3 小时返回智能门 . 再次到达智能门时， 系统会随机打开一个你未到过的通道， 直至走出迷宫为止.(1) 求走出迷宫时恰好用了1 小时的概率；(2) 求走出迷宫的时间超过3 小时的概率 .解： (1) 设 A表示走出迷宫时恰好用了1 小时这一事件，则(2)设 B 表示走出迷宫的时间超过3 小时这一事件，则18（本小题满分12 分） 2009P( A)P( B)1 .31111 .6662某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审假设评审结果为“支持

18、”或“不支持”的概率都是12 . 若某人获得两个“支持” ，则给予 10 万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予 5 万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助求：(1) 该公司的资助总额为零的概率；（2）该公司的资助总额超过15 万元的概率 18解：（ 1）设 A 表示资助总额为零这个事件，则（2）设 B 表示资助总额超过15 万元这个事件，则18（本小题满分12 分） 2008因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出一种拯救果树的方案，该方案需分两年实施且相互独立该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、 0.9倍、0.8倍的概率分别是0.2 、0.4 、0.4

19、；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.5倍、1.25倍、1.0倍的概率分别是0.3 、0.3 、0.4 （1） 求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率；（2） 求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率.解：（ 1）令 A 表示两年后柑桔产量恰好达到灾前产量这一事件（2）令 B 表示两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件19（本小题满分12 分） 2007栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为 0.6 ， 0.5，移栽后成活的概率分别为 0.7 ， 0.9 （1） 求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率；（2） 求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率解：

20、分别记甲、乙两种果树成苗为事件A1，A2 ；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件B1 ， B2 ， P( A1)0.6 ， P( A2 )0.5 ， P(B1 )0.7 ，P(B2 )0.9 （1） 甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为P( A1A2 )1P( A1 gA2 )10.40.50.8 ；（2） 解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件A，B ，则 P( A)P( A1 B1 )0.42 ，P(B)P( A2 B2 )0.45 恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为P( ABAB)0.420.550.580.450.492 解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为P( A1B

21、1 A2A1B1 A2 B2A1 A2 B2A1 A2 B1B2 )0.49218.( 本小题满分12 分)2006某商场举行抽奖促销活动, 抽奖规则是 : 从装有 9 个白球、1 个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得二等奖；摸出两个红球可获得一等奖. 现有甲、乙两位顾客, 规定: 甲摸一次 , 乙摸两次 . 求(1) 甲、乙两人都没有中奖的概率;(2) 甲、乙两人中至少有一人获得二等奖的概率。解: （ 1） P123999;10101019119181182621010101010102101021000219121926222（2）方法一： P2方法二：

22、P2方法三： P2110101010109119926210110101010101000100019（本小题满分12 分） 2005A、B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时 A 赢得 B 一张卡片，否则B 赢得 A 一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止 . 求掷硬币的次数不大于7 次时游戏终止的概率.解：设表示游戏终止时掷硬币的次数，正面出现的次数为m，反面出现的次数为 n，则| mn |5mn，可得：17四、立体几何18.( 本小题满分 12 分） 2011如图，在ABC中，B=， ABBC 22, P为AB边上一动点，PD/BC 交 AC 于

23、 点D, 现将PDA沿PD 翻折至PDA' , 使平面PDA '平面 PBCD .'（1） ）当棱锥 A'PBCD 的体积最大时，求PA的长；（2） ）若点 P为 AB的中点， E 为A'C的中点，求证： A BDE.解：（ 1）设 PAx ，则 VA -PBCD1 PA3S底面PDCB1 x(2x)23x令 f ( x)1 x2x(2)322 xx336, (x0)则 f2x2( x)32单调递增极大值单调递减由上表易知：当PAx2 3 时，有3VA -PBCD取最大值。证明：（ 2）作A B 得中点 F，连接 EF、FP由已知得：EF /1 BC /

24、 PD2ED / FPA PB 为等腰直角三角形， 20（本小题满分12 分） 2010A BPF所以 A BDE .如图，BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD平面 BCD， AB平面 BCD ， AB23 .（1） 求直线 AM 与平面 BCD 所成的角的大小；（2） 求平面 ACM 与平面 BCD所成的二面角的正弦值.解法一：（1）取 CD中点 O，连 OB， OM，则 OB CD，OM CD.又平面 MCD平面 BCD , 则 MO平面 BCD ，所以 MOAB，A、B、O、M共面 .延长 AM、BO相交于 E，则 AEB就是 AM与平面 BCD所成的角 .OB=M

25、O=3， MO AB， 则EOMO1，EBAB2EOOB3 ，所以 EB23AB ， 故AEB45o ._A（2）CE是平面 ACM 与平面 BCD 的交线 .由（ 1）知， O是 BE的中点，则BCED是菱形 .M_作 BF EC于 F，连 AF，则 AF EC， AFB就_D B_是二面角 A- EC- B的平面角，设为.因为 BCE=120°，所以 BCF=60° .O_HBFBCsin 60o3 ，_E_F_CtanAB2 ， sin25BF5所以，所求二面角的正弦值是25 .5解法二：取 CD中点 O，连 OB， OM，则 OB CD，OMCD，又平面 MCD平面

26、BCD , 则 MO平面 BCD .Az以 O为原点，直线OC、BO、OM为 x 轴， y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图.OB=OM=3 ，则各点坐标分别为O（ 0，0，0），MC（1，0，0），M（ 0，0， 3 ），B（0，-3 ，0），BDA（ 0，-3 ， 23 ），Oy（1） ）设直线 AM与平面 BCD所成的角为.uuuur因 AMxC（ 0，3 ，3 ），平面 BCD 的法r向量为 n(0,0,1). 则有sincosuuuurr AM , nuuuurr.AMn32ouuuurr，所以45AMn62uuuur（2） ） CM(1,0,3)uuur， CA(1,3, 23)

27、 .uruuuururn1CMx3 z0向量为 n1( x, y, z) ，由uruuur得n1urCAx3 y2r3 z0设平面 ACM的法. 解得zx3z ， yz ， 取n1(3,1,1). 又 平 面BCD 的 法 向 量 为 n(0,0,1)， 则urrurrcosn , nn1n11urrn1n5设所求二面角为，则 sin1(20（本小题满分12 分） 20091 )2525 .5如图，在四棱锥PABCD 中，底面 ABCD 是矩P形， PA平面 ABCD ，PAAD4 ， AB2 以MBD 的中点 O 为球心、 BD 为直径的球面交PD于点 M AD（1） 求证：平面ABM 平面

28、 PCD ；OBC（2） 求直线 PC 与平面 ABM 所成的角；（3） 求点 O 到平面 ABM 的距离20解：方法（一） ：（1）证：依题设，在以为直径的球面上，则.因为平面，则，又zP，M所以平面，则，ANDy因此有平面，所以平面平面OBxC .（）设平面与交于点，因为，所以平面，则，由（ 1）知，平面，则MN是 PN在平面 ABM上的射影， 所以PNM 就是 PC 与平面 ABM 所成的角，且PNMPCDtanPNMtanPDPCDDC22 ，所求角为 arctan22（3）因为 O是 BD的中点，则O点到平面 ABM的距离等于D点到平面 ABM距离的一半，由（ 1）知，平面于M，则|

29、DM| 就是 D点到平面 ABM距离 .因为在 Rt PAD中，PAAD4 ， PDAM ，所以 M 为 PD 中点， DM22 ，则 O点到平面 ABM的距离等于2 。方法二：（1） 同方法一；（2） 如图所示， 建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，P (0,0,4)，B (2,0,0)， C (2,4,0) ，D (0,4,0) ， M (0,2,2) ，r设平面 ABM 的一个法向量n(x,y, z) ，ruuurruuuur2x0由nAB, nAM可得：r2 y2z0 ，令 z1，则 y1 ，即 nsin(0,1,1) .uuurrPCn22uuurrPCn322arcsin设所

30、求角为，则，所求角的大小为3.（3） 设所求距离为h ，由O(1,2,0),uuur AO(1,2,0)h，得：uuurrAOnr2n20（本小题满分12 分） 2008如图，正三棱锥 OABC 的三条侧棱 OA 、OB 、OC 两两垂直，且长度均为2 E 、 F 分别是AB 、 AC 的中点， H 是 EF 的中点，过 EF 的平面与侧棱 OA、OB 、OC 或其延长线分别相交于 A 、 B 、C ，已知 OA3 11112（1） 求证： B1C1 面 OAH ；（2） 求二面角OA1B1C1 的大小20解 ：（ 1）证明：依题设，EF 是ABC 的中位线，所以EF BC ，则 EF 平面

31、OBC ，所以 EF B1C1 。O又 H 是 EF 的中点， 所以 AH EF ，则 AH B1C1 。A1FMC因为 OA OB ， OA OC ， 所以 OA面 OBC ，则 OAHC 1ANB1C1 ，EB1因此 B1C1 面 OAH 。（2）作 ON A1 B1 于 N ，连C1 N 。B因为 OC1 平面 OA1B1 ，根据三垂线定理知，C1 N A1B1 ，ONC1 就是二面角OA1 B1C1 的平面角。作 EM OB1 于 M ，则 EM OA，则 M 是OB 的中点，则 EMOM1。设OB1x ，由OB1 MB1OA1 得，EMx3 ，解得 x3 ，x12在 RtOA B 中

32、， A BOA 2OB 235 ，则， ONOA1OB13。1111112A1B15所以 tanONC1OC1 ON5 ，故二面角OA1 B1C1 为 arctan5 。解法二：（1）以直线 OA、OC、OB 分别为 x、y、z 轴，建立空间直角坐标系， Oxyz则uuurAH所以11uuur(1,), BC(0,2,2)11uuur2222(1,), OHuuuruuuruuuruuurO所以 AHBC0, OHBC0所以 BC平面 OAH由 EF BC 得 B1C1 BC ，故：B1C1CA1FC1AH平面 OAHxEy(2) 由已知3A1 (,0,0),2B设 B1 (0,0, z)uu

33、ur则 A1E(1 ,0,1),2uuur EB1B1(1,0, z1)uuuruuur由与共线得 : 存在R 有uuuruuurz得A1EEB1A1 EEB1同理:C1(0,3,0)uuuur A1 B1(3 ,0,3),uuuur A1C 1(3 ,3,0)r设n1(x1, y1 , z1) 是平面22A1B1C1 的一个法向量 ,3x则23 x2uur3z0令 x3 y02 得 yx1urn1(2,1,1).又n2(0,1,0) 是平面 OA1 B1 的一个法量cosur uurn1 , n216，所以二面角的大小为arccos64116620 （本小题满分 12 分） 2007右图是一

34、个直三棱柱（以A1 B1C1 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC 已知A1B1B1C11 ，A1 B1C190o ，AA14 ， BB12 ， CC13 （1） 设点 O 是 AB 的中点，证明：OC 平面 A1B1C1 ；（2） 求 AB 与平面 AA1C 1C 所成的角的大小；（3） 求此几何体的体积 解法一：（1） 证明：作OD AA1 交A1B1 于 D ，连C1D 则OD BB1 CC1 ，因为 O 是 AB 的中点，所以 OD1(AABB )3CC 1112则ODC1C 是平行四边形，因此有OC C1D ，C1 D平面C1 B1 A1 ，且 OC平面C1B1 A1则OC

35、面 A1B1C1 （2） 解：如图，过B 作截面BA2C2 面A1B1C1 ，分别交AA1 ， CC1 于A2 ， C2 ，作 BH A2C 2 于 H ，因为平面A2BC2 平面AA1C 1C ，则 BH 面AA1C 1C 连结 AH ，则BAH就是 AB 与面AA1C 1C 所成的角因为 BH2 ， AB25 ，所以sin BAHBH AB10 10AB 与面AA1C1C 所成的角为BAHarcsin10 10（3） 因为 BH2 ，所以 V1B AA C CAA C CSgBH1 121 22 2g(12)2 gVSgBB1 g2132 23 222A1B1 C1 A2 BC2 A1 B

36、1C112所求几何体的体积为解法二：VVB AA C CVA B C32 21 1 1A2BC 22（1） 证明：如图， 以B1 为原点建立空间直角坐标系，则A(0，1，4)，B (0，0，2) ，C (1，0，3) ，因为 O 是 AB 的中点，所以O0 1 3uuur，1， 1 ，0， ，OC22r易知， n(0，0，1) 是平面 A1B1C1 的一个法向量uuurr由OCgn0 且OC平面A1B1C1 知OC 平面A1 B1C1 （2） 设 AB 与面uuurAA1C 1C 所成的角为uuuur求得 A1 Aur(0，0，4) ，A1C1(1， 1，0) uuururA1 Agm0z0设

37、m( x， y， z) 是平面urAA1C 1C 的一个法向量，则由uuuruuuur ur A1C1gm得，0 xy0取 xy1 得： m(1，1，0) 又因为 AB(0， 1， 2)ur所以， cosm，uuur ABur uuurmgAB uruuurm g AB10 则 sin1010 10所以 AB 与面AA1C1C 所成的角为arcsin1010（3） 同解法一20.( 本小题满分 12 分)2006如图, 已知三棱锥 OABC 的侧棱 OA 、OB 、OC 两两垂直，且 OA1,OBOC2, E是OC 的中点 .(1) 求O 点到面 ABC 的距离 ;(2) 求异面直线 BE与A

38、C 所成的角 ;(3) 求二面角 EABC 的 大 小 ; 20.(1)取 BC 的中点 D , 连 AD 、 ODQ OBOC,则ODBC 、ADBC,则OH面 ABC , OH 的长就是所要求的距离.Q OAOB 、OAOC ，22ADOAOD3 ，在直角三角形OAD 中，有 OHOA OD26 .（另解：由 V1SOHABC1 OA OBOC2知,OHAD336 .)3633(2) 取OA的中点 M ，连 EM 、 BM ，则 EM AC,BEM是异面直线 BE 与 AC 所成的角 .EM1 AC5 , BEOB2OE 25, BMOM 2OB217 .求得:222BE2ME 2BM 2

39、22cosBEM,BEMarccos.2BEME55(3) 连结 CH 并延长交 AB 于 F , 连结 OF 、 EF .则EFC 就是所求二面角的平面角. 作 EGCF 于G , 则 EG1 OH6 .在直角三角形 OAB 中, OF26OA OB2, AB5在直角三角形 OEF 中,EFOE2OF 2143 ,55sin6EFGEG630 ,EFGarcsin30 .(或表示为 arccos 76 )方法二 :(1)以EF31818185O 为原点 , OB 、 OC 、OA分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系.则有 A(0,0,1) 、 B (2,0,0)、C (0,2,0) 、 E (0,1,0).ur设平面 ABC 的法向量为uruuururuuurn1( x, y, z),则由 n1AB知: n1AB2xz0;uruuururuuur由 n1AC知: n1AC2 yz0.取urn1(1,1,2) ，则点 O 到面 ABC 的距离为cos < uuur uuur >2 2所以异面直线BE 与 AC 所成的角2 .EB, AC,555rarccos5(3)设平面 EAB 的法向量为 n(x, y, z),ruu