高中数学排列组合及二项式定理知识点(共4页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上高中数学之排列组合二项式定理一、分类计数原理和分步计数原理：分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而个步骤中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有当个步骤都做完，这

2、件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。二、排列与组合：（1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出个元素的问题；区别：前者有顺序，后者无顺序。（2）排列数、组合数：排列数的公式：注意：全排列：；记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；排列数的性质：（将从个不同的元素中取出个元素，分两步完成：第一步从个元素中选出1个排在指定的一个位置上；第二步从余下个元素中选出个排在余下的个位置上）（将从个不同的元素中取出个元素，分两类完成：第一类：个元素中含有，分两步完成：第一步将排在某一位置上，有

3、不同的方法。第二步从余下个元素中选出个排在余下的个位置上）即有种不同的方法。第二类：个元素中不含有，从个元素中取出个元素排在个位置上，有种方法。组合数的公式：组合数的性质：（从个不同的元素中取出个元素后，剩下个元素，也就是说，从个不同的元素中取出个元素的每一个组合，都对应于从个不同的元素中取出个元素的唯一的一个组合。）（分两类完成：第一类：含，有种方法；第二类：不含，有种方法；）（第一步：先选出1个元素，第二步：再从余下个元素中选出个，但有重复，如先选出，再选出组成一个组合，与先选出，再选出组成一个组合是相同的，且重复了次）（分类：第一类：含，为；第二类：不含，含，为；第三类：不含，不含，含，

4、为；）（将元素分成分成两个部分，第一部分含个元素，第二部分含个元素：在第一部分中取个元素，在第二部分不取元素，有；在第一部分中取个元素，在第二部分取1个元素，有；）（3）排列、组合的应用：解排列组合应用题时主要应抓住是排列问题还是组合问题，其次要搞清需要分类，还是需要分步切记：排组分清(有序排列、无序组合)，分类分步明确排列组合应用问题主要有三类：不带限制条件的排列或组合题；带限制条件的排列或组合题；排列组合综合题；解排列组合的应用题，通常有以下途径：以元素为主，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素特殊元素法以位置为主，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置特殊位置法先不考虑附加条件，计算出

5、排列或组合数，再减不合要求的排列数或组合数间接法（4）对解组合问题，应注意以下三点：对“组合数”恰当的分类计算，是解组合题的常用方法。是用“直接法”还是“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”。命题设计“分组方案”是解组合题的关键所在。（3）解排列、组合题的基本策略与方法：去杂法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。这是解排列组合问题的基本策略之。注意的是：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。分步处理：与分类处理类似，某

6、些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。插入法（插空法）：某些元素不能相邻采用插入法。即先安排好没有限制条件的元素，然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。“捆绑”法：要求某些元素相邻，把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列，即是“捆绑法”。穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一排列出来。消序处理：对均匀分组问题在解决时，一定要区分开是“有序分组”还是“无序分组”，若是“无序分组”，一定要清除同均匀分组无形中产生

7、的有序因素。三、二项式定理：（1）通项：（2）二项式系数的性质：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即：二项展开式中，中间的一项或两项的二项式系数相等并且最大，即当为偶数时，第项的二项式系数最大，为；当为奇数时，第项及项的二项式系数最大，为；二项展开式中所有项的二项式系数之和等于，即；二项展开式中，奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等，即；（3）、展开式中的系数求法（的整数且）如：展开式中含的系数为（4）二项式定理的应用：求展开式中的指定的项或特定项： 如：若，展开式中含有常数项，则的最小值是 ；求的展开式中的常数项。注意：三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决。求展开式中的某一项的系数：如：在的展开式中，的系数是 ；求展开式中的系数和：如：的所有各项的系数和是（赋值法：令）；（令）求二项式展开式的系数最大项的问题：求展开式中系数最大的项，通常设展开式各项系数分别为；设第项系数最大，则；然后求出不等式组的整数解。如：求展开式中系数最大的项。利用二项式定理证明整除问题及余数的求法：如：求证：能被64整除（）证明有关的不等式问题：有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去(缩小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等