174一元二次方程根与系数的关系

1、一元二次方程的根与系数的关系韦达韦达一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的求根公式：x=aacbb242(b2-4ac0)（1）x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0(4) 2x2+3x-2=0解下列方程并完成填空：方程两根两根和X1+x2两根积x1x2x1x2x2-7x+12=0 x2+3x-4=03x2-4x+1=02x2+3x-2=0341271-3- 4- 4-1-22123（3）3x2-4x+1=03134311方程两根两根和X1+x2两根积x1x2x1x2x2-7x+12=0 x2+3x-4=03x2-4x+1=02x2+3x-2=0-341271-3- 4- 4-1

2、-221233134311若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的两根为x1、x2, 则 21xx . 21xx . abacaacbbx2421aacbbx2422X1+x2=aacbb242aacbb242+=ab22=ab-X1x2=aacbb242aacbb242=242)42(2)(aacbb=244aac=ac证明：证明：设ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1、x2,则一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是x1 , x2 ,那么x1+x2= , x1x2 = ab-ac注：能用公式的前提条件为=b2-4ac0在使用根与系数的关系时，

3、应注意：在使用根与系数的关系时，应注意：不是一般式的要先化成一般式；不是一般式的要先化成一般式；在使用在使用X1+X2= 时，时， 注意注意“ ”不要漏写。不要漏写。ab如果方程x2+px+q=0的两根是X1 ，X2，那么X1+X2= , X1X2= .Pq 一元二次方程一元二次方程根与系数的关系根与系数的关系是是法国数学家法国数学家“韦达韦达”发现的发现的,所以我们又所以我们又称之为称之为韦达定理韦达定理.说出下列各方程的说出下列各方程的两根之和两根之和与与两根之积两根之积：(1) x2 - 2x - 1=0(3) 2x2 - 6x =0(4) 3x2 = 4(2) 2x2 - 3x + =

4、021x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0 x1x2=x1x2=0 x1x2= -234134例例1、已知方程、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是的一个根是2 , 求它的另一个根及求它的另一个根及k的值的值.解法一解法一：设方程的另一个根为设方程的另一个根为x2.由根与系数的关系，得由根与系数的关系，得2 x2 = k+12 x2 = 3k解这方程组，得解这方程组，得x2 =3 k =2答：方程的另一个根是答：方程的另一个根是3 , k的值是的值是2.例例1、已知方程、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是的一个根是2 , 求它的另一个根及求

5、它的另一个根及k的值。的值。解法二解法二：设方程的另一个根为设方程的另一个根为x2.把把x=2代入方程，得代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0解这方程，得解这方程，得 k= - 2由根与系数的关系，得由根与系数的关系，得2 x23k即即2 x26 x2 3答：方程的另一个根是答：方程的另一个根是3 , k的值是的值是2.例例2、方程、方程2x2-3x+1=0的两根记作的两根记作x1,x2， 不解方程，求：不解方程，求： （1） ; （2) ;(3) ; (4) .2221xx 2111xx) 1)(1(21xx21xx 另外几种常见的求值另外几种常见的求值:2111. 1xx2121xxx

6、x ) 1)(1.(321xx1)(2121xxxx1221. 2xxxx212221xxxx 21212212)(xxxxxx21. 4xx221)(xx 212214)(xxxx1、已知方程、已知方程3x219x+m=0的一个根是的一个根是1，求它的另一个根及求它的另一个根及m的值。的值。2、设、设x1,x2是方程是方程2x24x3=0的两个根，求的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值的值.解：设方程的另一个根为解：设方程的另一个根为x2,319则x2+1= , x2= ,316又x21= ,3m m= 3x2 = 16 解：解：由根与系数的关系由根与系数的关系,得得x1+x2= - 2

7、 , x1 x2=23 (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( )+1=2325212 xx21xx411412，xx，xx的两个根为方程设014. 3221则：则：21xx2221xx221)(xx221)(xx221)(xx 214 xx 求与方程的根有关的代数式的值时求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式两根之积的形式,再整体代入再整体代入. 4. 4.已知方程的两个实数根已知方程的两个实数根 是是且且 ， 求求k k的值的值. . 解：由根与系数的关系得解：由根与系数的关

8、系得 x x1 1+x+x2 2=-k=-k， x x1 1x x2 2=k+2=k+2 又又 x x1 12+ x x2 2 2 = 4 = 4 即即( (x x1 1+ x x2 2)2 -2-2x x1 1x x2 2=4 =4 K K2 2- 2(k+2- 2(k+2）=4=4 K K2 2-2k-8=0 -2k-8=0 = = K K2 2-4k-8-4k-8当当k=4k=4时，时， =-8=-80 0k=4(k=4(舍去）舍去）当当k=-2k=-2时，时， =4=40 0 k=-2 k=-2解得：解得：k=4 或或k=2022kkxx2, 1xx42221 xx6.已知关于已知关于

9、x的方程的方程x2+(2m-1)x+m2=0有两有两个实数根个实数根x1、x2.（1）求实数）求实数m的取值范围；的取值范围；（2）当）当x12-x22=0时，求时，求m的值的值.6.（2013荆州）已知：关于荆州）已知：关于x的方程的方程 kx2(3k1)x+2(k1)=0（1）求证：无论）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；为何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根）若此方程有两个实数根x1，x2, 且且x1x2=2,求求k的值的值.2、熟练掌握根与系数的关系；、熟练掌握根与系数的关系；3、灵活运用根与系数关系解决问题、灵活运用根与系数关系解决问题.1.一元二次方程根与系数的关

10、系？一元二次方程根与系数的关系？acabaCbxaxxxxxxx2121212.;,)0(0则有的两根分别是如果小结：小结：下列方程的两根的和与两根的积各是多少？下列方程的两根的和与两根的积各是多少？ .X.X2 23X+1=0 3X+1=0 .3X.3X2 22X=22X=2 .2X.2X2 2+3X=0 +3X=0 .3X.3X2 2=1=1 3).1 (21xx121xx32).2(21xx23).3(21xx0).4(21xx3221xx3121xx021xx基本知识基本知识在使用根与系数的关系时，应在使用根与系数的关系时，应注意注意：不是一般式的要先化成一般式；不是一般式的要先化成一

11、般式；在使用在使用X1+X2= 时，时， 注意注意“ ”不要漏写不要漏写.ab练习练习1已知关于已知关于x的方程的方程012) 1(2mxmx当当m= 时时,此方程的两根互为相反数此方程的两根互为相反数.当当m= 时时,此方程的两根互为倒数此方程的两根互为倒数.11分析分析:1.0121mxx2.11221 mxx练习练习2(1)设设 的两个实数根的两个实数根 为为 则则: 的值为的值为( )A. 1 B. 1 C. D.012xx21,xx2111xx555A以以 为两根的一元二次方程为两根的一元二次方程(二次项系数为二次项系数为1)为为:0)(21212xxxxxx2,1xx二、已知两根求

12、作新的方程二、已知两根求作新的方程题题5 5 以方程以方程X X2 2+3X-5=0+3X-5=0的两个根的相反数为根的的两个根的相反数为根的方程是（方程是（ ）A、y y2 23y-5=0 B3y-5=0 B、 y y2 23y-5=0 3y-5=0 C、y y2 23y3y5=0 D5=0 D、 y y2 23y3y5=05=0B分析分析:设原方程两根为设原方程两根为 则则:21,xx5, 32121xxxx新方程的两根之和为新方程的两根之和为3)()(21xx新方程的两根之积为新方程的两根之积为5)()(21xx 求作新的一元二次方程时求作新的一元二次方程时:1.先求原方程的两根和与两根

13、积先求原方程的两根和与两根积.2.利用新方程的两根与原方程的两根之利用新方程的两根与原方程的两根之 间的关系间的关系,求新方程的两根和与两根积求新方程的两根和与两根积. (或由已知求新方程的两根和与两根积或由已知求新方程的两根和与两根积)3.利用新方程的两根和与两根积利用新方程的两根和与两根积, 求作新的一元二次方程求作新的一元二次方程. 练习练习:1.以以2和和 为根的一元二次方程为根的一元二次方程（二次项系数为）为：（二次项系数为）为：062xx题6 已知两个数的和是1，积是-2，则两 个数是 。2和-1解法(一):设两数分别为x,y则:1 yx2 yx解得:x=2y=1或 1y=2解法(

14、二):设两数分别为一个一元二次方程的两根则:022aa求得1, 221aa两数为2,三已知两个数的和与积，求两数三已知两个数的和与积，求两数题题7 如果如果1是方程是方程 的一个根，则另一个根是的一个根，则另一个根是_=_。（还有其他解法吗？)022mxx-3四求方程中的待定系数四求方程中的待定系数小结：小结： 1、熟练掌握根与系数的关系；、熟练掌握根与系数的关系； 2、灵活运用根与系数关系解决问题；、灵活运用根与系数关系解决问题； 3、探索解题思路，归纳解题思想方法。、探索解题思路，归纳解题思想方法。8、已知关于X的方程mx2-(2m-1)x+m-2=0(m0) (1)此方程有实数根吗？ （2）如果这个方程的两个实数根分别为x1，x2，且 （x1-3)(x2-3)=m，求m的值。题题9 9 方程方程 有一个正根，一个负根，求有一个正根，一个负根，求mm的取值范围。的取值范围。解解:由已知由已知,0) 1(442mmm=0121mmxx即即m0m-100m1) 0( 0122mmmxmx一正根，一负根一正根，一负根0X1X20两个正根两个正根0X1X20X1+X20两个负根两个负根0X1X20X1+X20请阅读下列材料：问题：已知方程x 2x10，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍解：设所求方程的根为y