古典概型及几何概型

1、.概率(古典概型与几何概型)【教学目标】1.了解随机事件的含义，了解频率与概率的区别2.理解古典概型，掌握其概率计算公式，会求一些随机事件发生的概率3.了解几何概型的意义及其概率的计算方法，会计算简单几何概型的概率【教学重点】对概率含义的正确理解及其在实际中的应用；古典概型与几何概型【教学难点】无限过渡到有限，实际背景转化为长度、面积、体积等的问题【知识点梳理】1.随机事件1必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件叫做必然事件。2不可能事件：在一定条件下，肯定不会发生的事件叫做不可能事件3随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件。2.频率与概率的关系概率是频率的稳定值，频

2、率是概率的近似值.3.概率的根本性质1随机事件A的概率：.2必然事件的概率为1.3不可能事件的概率为0.4如果事件A与事件B互斥，那么.5如果事件A与事件B互为对立事件，那么，即.4.古典概型1特点：有限性，等可能性.2概率公式：.5.几何概型1特点：无限性，等可能性.2概率公式：.古典概型题型一 随机事件及概率例1某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两个同时在地铁第1号车站(首车站)乘车。假设每人自第2号车站开场，在每个车站下车是等可能的。约定用有序数对表示“甲在x号车站下车，乙在y号车站下车。1用有序数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出来；2求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率；3求甲、

3、乙两人同在第4号车站下车的概率变式1 同时掷两颗骰子一次1“点数之和是13是什么事件.其概率是多少.2“点数之和在213X围之内是什么事件.其概率是多少.3“点数之和是7是什么事件.其概率是多少.题型二 互斥事件与对立事件例题1：每一万X有奖明信片中，有一等奖5X，二等奖10X，三等奖100X。某人买了1X，设事件A“这X明信片获一等奖，事件B“这X明信片获二等奖，事件C“这X明信片获三等奖，事件D“这X明信片未获奖，事件E“这X明信片获奖，那么在这些事件中1 与事件D互斥的有哪些事件.2 与事件D对立的有哪些事件.3 与事件A+B对立的有哪些事件.4 与事件互斥的有哪些事件.例题2：某商场有

4、奖销售中，购满100元商品得一X奖券，多购多得，每1000X奖券为一个开奖单位。设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个。设1X奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：1X奖券的中奖概率；1X奖券不中特等奖或一等奖的概率。变式2：对立事件求概率某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：医生人数012345人及以上概率0.10.160.30.20.20.04求：派出医生至多是2人的概率；派出医生至少是2人的概率变式：2021XX，理投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上为事件A，“骰子向上的点数是3为事件B，那么事件A，B中至少有一件发生的概率是 A.

5、 B. C. D.题型三 简单事件的古典概型例题3：无放回抽取、掷骰子、有放回抽取、排队问题的古典概型袋中装有6个形状完全一样的小球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求以下事件的概率A：取出的两球都是白球；B：取出的两球一个是白球，另一个是红球变式3 同时抛掷两枚骰子(1)求“点数之和为6的概率；(2)求“至少有一个5点或6点的概率题型四 与统计相结合的古典概型例题4 (2021·XX卷)设平面向量，其中1请列出有序数组的所有可能结果；2记“使得成立的为事件A，求事件A发生的概率2(此题总分值12分)(08·XX文)某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人

6、数如下表：初一年级初二年级初三年级女生373xy男生377370z在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.(1)求x的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名.(3)y245，z245，求初三年级中女生比男生多的概率3(此题总分值12分)某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段40,50)，50,60)，90,100后画出如下局部频率分布直方图观察图形给出的信息，答复以下问题：(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为

7、及格)和平均分；(3)从成绩是40,50)和90,100的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率几何概型题型一 与长度有关的几何概型概率问题例题1：在区间1,3上任取一数，那么这个数大于等于1.5的概率 A.0.25 B.0.5 C.0.6 D.0.75变式1：2021XX卷理在区间-1,2上随机取一个数，那么的概率为 .题型二 与面积有关的几何概型概率问题例题2：如果所示，在一个边长为的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为与，高为。向该矩形内随机投一点，那么所投的点落在梯形内部的概率为变式2：(2021·XX卷)如图11，矩形ABCD中，点E为边CD的中点假设在矩形ABCD内部随机

8、取一个点Q，那么点Q取自ABE内部的概率等于()图11A.B.C. D.题型三 会面问题中的概率例3：两人约定在20:00到21:00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去.如果两人出发是各自独立的，在20:00至21:00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率.分析：两人不管谁先到都要等40分钟，即2/3小时,设两人到的时间分别为x、y,那么当且仅当|x-y|2/3时，两人才能见面，因而此问题转化为面积性几何概型，变式3：在区间内任取两个实数，那么这两个实数之和小于的概率是题型四 与体积有关的几何概型概率问题例题4：在400毫升自来水中有一个大肠杆菌,今从中随机取

9、出2毫升水样放到显微镜下观察,求发现大肠杆菌的概率。变式4：2021XXXX一中期末正三棱锥的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得的概率是 A. B. C. D.【方法与技巧总结】1. 互斥事件与对立事件的关系：1对立一定互斥，互斥未必对立；2可将所求事件化为互斥事件A、B的和，再利用公式P(A+B)=P(A)+P(B)来求，也可通过对立事件公式来求P(A).2.古典概型与几何概型古典概型1特点：有限性，等可能性.2概率公式：.几何概型1特点：无限性，等可能性.2概率公式：课堂练习一、选择题1从12个同类产品中(其中有10个正品，2个次品)，任意抽取3个，以下事件是必然事件的是(

10、)A3个都是正品B至少有一个是次品C3个都是次品D至少有一个是正品2给出关于满足AB的非空集合A、B的四个命题：假设任取xA，那么xB是必然事件；假设任取xA，那么xB是不可能事件；假设任取xB，那么xA是随机事件；假设任取xB，那么xA是必然事件其中正确的选项是命题有()A1个 B2个C3个 D4个34X卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4X卡片中随机抽取2X，那么取出的2X卡片上的数字之和为奇数的概率为()A.B.C. D.4(2021·威海模拟)一个袋子里装有编号为1,2，12的12个一样大小的小球，其中1到6号球是红色球，其余为黑色球假设从中任意摸出一个球，记录它的颜色和

11、后再放回袋子里，然后再摸出一个球，记录它的颜色和，那么两次摸出的球都是红球，且至少有一个球的是偶数的概率是()A. B.C. D.5(2021·XX卷，理)盒子里共有大小一样的3只白球，1只黑球假设从中随机摸出两只球，那么它们颜色不同的概率是_6.同时掷两枚骰子,所得点数之和为5的概率为；点数之和大于9的概率为。7. 口袋里装有两个白球和两个黑球，这四个球除颜色外完全一样，四个人按顺序依次从中摸出一球，试求“第二个人摸到白球的概率。92021XX文数在区间-1,2上随即取一个数x，那么x0,1的概率为 。10取一根长度为4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m

12、的概率是()A. B.C. D.112021XX卷文ABCD为长方形，AB2，BC1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为A B C D122021·荣成模拟设-11,-11,求关于的方程有实根的概率.【课后作业】1、在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5，的五个小球，这些小球除标注的数字外完全一样现从中随机取出2个小球，那么取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是()A. B.C. D.2、将一枚骰子抛掷两次，假设先后出现的点数分别为b，c，那么方程x2bxc0有实根的概率为()A.B.C.D.3、把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数

13、，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，向量m(a，b)，n(1,2)，那么向量m与向量n不共线的概率是()A.B.C. D.4、有两个质地均匀、大小一样的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1,2,3,4.把两个玩具各抛掷一次，斜向上的面所有数字之和能被5整除的概率为()A.B.C. D.5、假设将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，那么出现向上的点数之和为4的概率是_6、(09·)现有5根竹秆，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，假设从中一次随机抽取2根竹竿，那么它们的长度恰好

14、相差0.3 m的概率为_7、我国已经正式参加WTO，包括汽车在内的进口商品将最多五年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平，其中有21%的进口商品恰好5年关税到达要求，18%的进口商品恰好4年到达要求，其余的进口商品将在3年或3年内到达要求，求进口汽车在不超过4年的时间内关税到达要求的概率82021XX卷文点A为周长等于3的圆周上的一个定点，假设在该圆周上随机取一点B，那么劣弧AB的长度小于1的概率为。9在长为10cm的线段AB上取一点G，并以AG为半径作一个圆，求圆的面积介于36cm2 到64cm2 的概率10(2021·XX模拟)如下图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区

15、域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，那么阴影区域的面积为()A. B. C. D无法计算11送报人每天早上6：30至7：30之间把X师傅订的报纸送到X师傅家，假设X师傅离开家去上班的时间在7：00至8：00之间，问：X师傅在离家前收到报纸的概率是多少.【参考答案】1、稳固练习答案1.答案D解析在根本领件空间中，每一个事件中正品的个数可能是1,2,3，而不可能没有2.答案C3.答案C解析从4X卡片中抽取2X的方法有6种，和为奇数的情况有4种，P.4、答案B解析据题意由于是有放回地抽取，故共有12×12144种取法，其中两次取到红球且至少有一次是偶数的情况共有6

16、15;63×327种可能，故其概率为.5.答案解析设3只白球为A，B，C,1只黑球为d，那么从中随机摸出两只球的情形有：AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd共6种，其中两只球颜色不同的有3种，故所求概率为.6答案：；7答案：把四人依次编号为甲、乙、丙、丁，把两白球编上序号1、2，把两黑球也编上序号1、2，于是四个人按顺序依次从袋内摸出一个球的所有可能结果，可用树形图直观地表示出来如下：白2白1黑1黑2黑1黑2黑2黑2黑1黑1白1白1白1白1黑1黑2甲乙丙丁白1白2黑1黑2黑1黑2黑2黑2黑1黑1白2白2白2白2黑1黑2甲乙丙丁黑1白1白2黑2白2黑2黑2黑2白2白1白1白2白2白1白1

17、黑2甲乙丙丁黑2白1白2白2黑1黑1黑1白2黑1白1白1白2白2白1白1黑1甲乙丙丁从上面的树形图可以看出，试验的所有可能结果数为24，第二人摸到白球的结果有12种，记“第二个人摸到白球为事件A，那么。8【答案】 9【解析】把绳子4等分，当剪断点位于中间两局部时，两段绳子都不少于1 m，故所求概率为P.【答案】C10【解析】长方形面积为2,以O为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的局部(半圆)面积为因此取到的点到O的距离小于1的概率为÷2，取到的点到O的距离大于1的概率为【答案】B11【解析】由题意知方程有实根满足条件：-11，-11， 0，作平面区域如图.由图知阴影面积为1，总的事件对

18、应面积为正方形的面积4，故概率为 .2、课后作业答案1、答案A解析从分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球中随机取出2个小球的根本领件数分别为：123,134,145,156,235,246,257,347,358,459共10种不同情形；而其和为3或6的共3种情形，故取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是.2、答案A解析假设方程有实根，那么b24c0，当有序实数对(b，c)的取值为(6,6)，(6,5)，(6,1)，(5,6)，(5,5)，(5,1)，(4,4)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)时方程有实根，共19种情况，而(b，c)等可能的取值共有36种情况，所以，方程有实根的概率为P.3、答案B解析假设m与n共线，那么2ab0，而(a，b)的可能性情况为6×636个符合2ab的有(1,2)，(2,4)，(3,6)共三个故共线的概率是，从而不共线的概率是1.4、答案B解析“斜向上的所有数字之和能被5整除，等价于：两个底面数字之和能被5整除，而两底