高考数学复习点拨 攻克“抽象函数与分段函数”的常规题型

1、攻克“抽象函数与分段函数”的常规题型抽象函数是没有给出函数的具体解析式，只给出函数的抽象表达关系式，利用这些关系式解题；分段函数是将函数的定义域分成若干个子区间，不同的子区间有不同的表达式由于这两类函数表达形式比较特殊，使得这类问题成为函数内容的难点，而这两类函数在函数内容又占重要位置，本文就这两类函数对其常见的题型归纳评析如下：一、确定解析式问题例1 已知y=f(x)满足，其中a、b、c都是非零的常数，ab，求函数的解析式【分析】y=f(x)没有具体结构，条件中的a、b、c a、b、c都是已知的常数，不可用待定系数法去求解本题可用，转化出另一个式子，采用解方程组的办法求解【解析】，以代换x得

2、：，联立两式消去f()得：，【点评】从所给式子出发，看成一个变式，把x换成以后得到方程组，故视f(x)为一个未知量，解之得f(x)，称此法为“函数方程法”求抽象函数解析式这是常用的方法例2 设f(x)是定义域为R的函数，且满足f(x)=f(x)，当x0，+时，求f(x)的解析式【分析】利用f(x)=f(x)求（，0）上的表达式即可【解析】f(x)=f(x)，又当x0时，x0，由已知，则 （x0，【点评】给出某区间上的表达式，求对称区间上的表达式时，常常应用f(x)=f(x)或f(x)= f(x)进行转化二、求函数值问题例3函数f(x)定义在正整数集上，且满足：f(1)=2002和f（1）+f（

3、2）+f（n）= f（n），则f(2002)的值为_【分析】首先根据所给的条件求出f（n）的表达式，在求值【解析】由f（1）+f（2）+f（n）= f（n），得：f（1）+f（2）+f（n1）= f（n1），两式相减得：f（n）= f（n） f（n1）（n3），变形得：（n3），由得：，又f(1)=2002，于是有，故f(2002)=【点评】由f（n）= f（n） f（n1）（n3）推出f（n）的表达式，整个运算过程，都需要有一定的观察分析能力，善于从式子结构出发，向下进行，进而求出f(2002)例4已知函数，若f(x)=10，求x=_【分析】首先确定用那一部分的函数表达式求解x，从f(x)=

4、10可以看出，要求函数的值是正数，故不用f(x)=2x（x0）【解析】由于f(x)=100，而当f(x)=2x（x0）时，f(x)0，于是应用，令=10，x=3，由于x0，故x=3三、定义域与值域问题例5 已知函数y=f(2x+1)的定义域是0，1，求y=f(x)的定义域【分析】函数y=f(2x+1)的定义域是0，1，是指解析式中x的取值范围，2x+1不是自变量，而是中间变量，f(2x+1)中的中间变量相当于f(x)中的x，所以此题是已知x0，1，求2x+1的取值范围【解析】函数y=f(2x+1)的定义域是0，1，0x1，12x3，函数y=f(x)的定义域是1，3【点评】若已知函数y=f(x)

5、的定义域为a，b，求y=f(g(x)的定义域，只需将g(x)代换为x，解不等式ag(x)b，求出x的集合即为y=f(g(x)的定义域；若已知y=f(g(x)的定义域为a，b，求函数y=f(x)的定义域，只要求出y= g(x) ，xa，b，的值域即为y=f(x)的定义域例6 已知函数，求其定义域和值域【分析】求分段函数的定义域只要将各段的子区间取并集；求分段函数的值域需要分段求出值域，在取并集11【解析】，由于1，1(1，+)(，1）=R，可知，定义域为R当x1，1时，f(x) 0，1；而当x（1，+）（，1）时，f（x）=2，因此函数的值域为：0，1 2四、函数性质问题1、单调性例7 已知函数

6、y=f(x)的定义域为R，对任意xR，均有f(x+x)=f(x)+f(x)，且对任意x0，都有f(x)0，f(3)=3（1）证明函数y=f(x)是R上的单调减函数；（2）试求函数y=f(x)在m，n（m，nZ且mn0上的值域【分析】利用函数的单调性的定义证明；由（1）的结论可知f(m)、f(n)分别是函数y=f(x)在m，n上的最大值与最小值，故求出f(m)与f(n)即可得所求函数的值域【证明】（1）任取、，且，由题设f(x+x)=f(x)+f(x)，可知，0，f()0, ，故y=f(x)是R上的单调减函数（2）由于y=f(x)是R上的单调减函数，y=f(x)在m，n上也是单调递减函数，y=f

7、(x)的最大值为f(m)，最小值为f(n)，f(n)=f1+(n1)=f(1)+f(n1)=2f(1)+f(n2)=nf(1),同理f(m)= m f(1)f(3)=3，f(3)=3 f(1) =3，f(1)=1，f(m)=m，f(n)=n，故函数y=f(x)在m，n上的值域为n ，m【点评】：对于抽象函数，往往通过研究函数的单调性确定其最值和值域；对抽象函数关系式中的变元取适当的值，求所需关系式或值，是解决抽象函数问题的常用技巧1axyO例8 若函数f(x)=|xa|在(，1)内是减函数，求实数a的取值范围【分析】本题采用数形结合的方法形象直观容易求a的取值范围【解析】f(x)=|xa|=，

8、作出函数的图象，由于(，a)内是减函数，而在(，1)内也是减函数，故(，1)是(，a)的子区间因此a12、奇偶性例9 设f(x)是定义在R上的函数，满足f(x+2)=f(x)，且x0，2时，（1）求x2，0时，f(x)的表达式；（2）求f(9)和f(9)的值；（3）证明f(x)是奇函数【分析】这是一个分段函数问题，首先求出函数的表达式，然后在利用定义证明函数是奇函数【解析】（1）x2，0时，x+20，2，f(x)=f(x+2)=2(x+2)(x+2)，即x2，0时，（2）f(x+2)=f(x)，f(x+4)=f(x+2)= f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数f(9)=f(1)=1，f(9

9、)= f(1)=1，(3)，又f(x)+f(x)=，f(x)+f(x)=0，（x2,2），f(x)在2,2上为奇函数若x4k2,4k+2，kZ，则x4k2, 4k +2，,f(x)= f(x4k)，f(x)= f(x+4k)，且x4k与x+4k2，2又x+4k=（x4k），f（x+4k）=f(x4k), f(x)=f(x)，f(x)为奇函数3、周期性例10设f(x) 定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意、都有，且f(1)=a0（1）求、；（2）证明f(x)是周期函数【分析】偶函数的图象关于y轴对称，由函数图象关于直线x=1对称，可以判定函数f(x)是周期函数【解析】（1）由，、

10、，知，x0，1，又f(1)=a0，（2）依题意设y=f(x)关于直线x=1对称，f(x)= f(1+1x)，f(x)= f(2x)，又f(x) =f(x)，f(x)= f(x+2)，函数f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期五、反函数问题例11 已知定义域为的函数f(x)，对任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y)（1）求证：当x时，；（2）若x1时，恒有，求证：f(x)必有反函数；（3）设是f(x)的反函数，求证：在其定义域内恒有证明：（1），则有f(1)= f(1)+f(1) ,有f(1)=0，（2），且时，由，得，知f(x)在上为单调递减函数f(x)必有反函数（3）设，即例12

11、 已知函数，其定义域为（1）若f(x)在其定义域内有反函数，求t的取值范围；（2）在（1）的条件下，求反函数解：（1）f(x)在时其对称轴为x=t当时，f(x)在其定义域内为增函数，所以此时f(x)有反函数；同理，当时，f(x)在其定义域内也有反函数；当时，f(x)图象在的一段比在的一段更靠近对称轴那么要使得f(x)在定义域内有反函数，应有则得，解得；当时，同理应有，解得；当时f(x)显然不存在反函数有以上讨论可知，f(x)在其定义域内有反函数的t的范围为：（2）由，得当时知，此时反函数为，其中当时，此时反函数为，其中当时，反函数为六、相关不等式问题例12 设函数是定义在R上的增函数，且f(x

12、)0，对于任意、都有（1） 求证：f(x)0；（2） 求证：；（3）若f(1)=2，解不等式f(3x) 4f(x)【分析】由于函数具有本例中f(x)的条件与结构，因而在求解过程中应以指数函数（a0且a1）为模型类比求解【解析】（1）令，则，f(t) 0,f(t) 0，即f(x) 0，（2），又f(x) 0，（3）f(1)=2，2f(x)= f(1) f(x)= f(1+x)，4 f(x)=22 f(x)= f(1)f(1+x)= f(2+x)，f(3x) 4f(x)，即f(3x) f(2+x)又f(x)是定义域R上的增函数，3x2+x，x1，故不等式f(3x) 4f(x)的解集为x|x1【点评】在解有关抽象函数问题时，可以根据题中的抽象函数关系式的特例，即具体函数，类比求解，这样可以使解题方向明确例13 已知函数f(x)的定义域为（0，+）且在其上为增函数，满足f