简单的微分方程与差分方程

1、第七章第七章 简单的微分方程简单的微分方程与差分方程与差分方程 在社会实践、科学技术、经济管理等领域中,许多现象最终往往归结为某些变量与这些变量的导数(或差分)间的关系,即由未知函数的导数或者微分的方程,只要求解这些方程解出函数,那么人们所研究的问题就能得到解决.这种含有未知函数的导数或者微分的方程就称为微分方程. 主要内容主要内容:本章主要介绍微分方程的基本概念,并介绍求简单的微分方程的基本方法.一一 微分方程的概念微分方程的概念二二 微分方程的解微分方程的解1微分方程的概念微分方程的概念2 一阶线性微分方程一阶线性微分方程一一 可分离变量的一阶微分方程可分离变量的一阶微分方程二二 齐次微分

2、方程齐次微分方程三三 一阶线性微分方程一阶线性微分方程1微分方程的概念微分方程的概念一一 微分方程的概念微分方程的概念 定义定义1 含有未知数的导数或者微分的方程,称为微分方程微分方程.未知函数是一元函数的微分方程,称为常微常微分方程分方程.微分方程中出现的未知函数导数(或微分)的最高阶数,称为微分方程的阶微分方程的阶. 例如: , 都是一阶常微分方程,而 则是二阶常微分方程.259yxx 23xdyy dx210yy 二二 微分方程的解微分方程的解 求微分方程的解的过程叫求解微分方程求解微分方程. 如果一个函数代入方程后使得方程的两端恒等,就称这个函数是微分方程的一个解微分方程的一个解. 通

3、过验证可知 是 的一 个解,像这种给出具体的函数的解我们称为方程的特解特解.而 (其中C为任意常数)显然也是方程的解,象这种解我们称为方程的通解通解.3215932yxxx259yxx 3215932yxxxC2 一阶线性微分方程一阶线性微分方程一一 可分离变量的一阶微分方程可分离变量的一阶微分方程 形如 的一阶微分方程称为可分离变量可分离变量的微分方程的微分方程, 其中 和 分别是关于 和 的连续函数.( )( )dyf xg ydx( )f x( )g yxy 此类微分方程的解法是将变量分离(假设 ,若 ,则 是通解), 即 ,上式两端同时积分,得若 和 分别是和 的一个原函数,则所求的微

4、分方程的通解为其中, 为任意常数.( )0g y ( )0g y yC1( )( )f x dxdyg y1( )( )f x dxdyg y( )F x( )G y1( )g y( )( )F xG xCc例例1 求解微分方程 .解解: sinsec0 xyxy原方程可以转化为 ,即对上式积分有即 故 sinsecdyxxdxysincosy dyxxdx11sincossin222ydyxxdxxdx21( cos2 )24yxCcos22xyC 二二 齐次微分方程齐次微分方程 形如 的一阶微分方程,称为齐次微分方程.yyf( )x 作变量替换,引入新的未知函数 , 即令 , 代入 , 得

5、 ，即 ,分离变量可得 ,两边积分可得 ,因此其次微分方程得通解是 .yuxyxu( )dyyfdxx( )duuxf udx( )duf uudxx( )dudxf uux( )lnF uxC( )lnyFxCx例例2 求解微分方程 .解解: 22dyxxyydx将方程化为 .令 , 代入上式得即 易知, 是这个方程的一个解,从而为原方程的一个解.当时 ,分离变量得两端积分得即 ,将 代入并解出,得原方程得通解为.2dyyydxxxyxu2duuxuudx2duxudx 0y 0u 2dudxux1ln xCu1lnuxCyuxlnxyxC三三 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 形如 的微分

6、方程,称为一阶线性微分方程一阶线性微分方程. 当 的时候, 上式即 , 称之为一阶线性齐次微分方程. 当 的时候, 称之为一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程.( )( )yp x yq x( )0q x ( )0q x ( )0yp x y1 一阶线性齐次微分方程的通解一阶线性齐次微分方程的通解 方程 是可分离变量的,因此,可以求出它的通解是 (其中 为任意常数).( )0yp x y( )p x dxyCeC2 一阶非线性微分方程的通解一阶非线性微分方程的通解 当 的时候,我们一般用“常数变异法”求方程的解。 设 是方程的解, 则将其代入一阶线性微分方程,有从而 ,故.这样一阶线性微分方程的通解为( )0q x ( )( )p x dxyC x e( )( )( )( ) ( )p x dxp x dxyC x eC x p x e( )( )( )p x dxC xq x e( )( )( )p x dxC xq x edxC( )( )( )p x dxp x dxyeq x edxC例例1 解微分方程 .解解: 73yyx此方程为一阶线性微分方程: ,而所以 ( )( )y