静电场的高斯定理

1、12.1 电力线电力线2.2 电通量电通量2.3 静电场的高斯定律静电场的高斯定律例三、求无限长均匀带电直线的场强分布例三、求无限长均匀带电直线的场强分布例一、均匀带电的球壳内外的场强分布例一、均匀带电的球壳内外的场强分布例二、均匀带电的球体内外的场强分布例二、均匀带电的球体内外的场强分布例四、求无限大均匀带电平板的场强分布例四、求无限大均匀带电平板的场强分布提纲提纲作业：作业：1-8，1-9，1-102 静电场的高斯定律静电场的高斯定律22.1 电力线电力线(electric line of force)pSNpE)()( 正确的选择正确的选择 可以使数密度等于场强。可以使数密度等于场强。N

2、1 定义：定义：电力线上各点的电力线上各点的切线方向切线方向表表示电场中示电场中该点场强的方向该点场强的方向，在垂直于电力线的单位面积在垂直于电力线的单位面积上的电力线的条数（上的电力线的条数（数密度数密度)等于该点的等于该点的场强的大小场强的大小。Eq32 电力线的性质：电力线的性质：电力线不会中断。电力线不会中断。电力线不会相交。（单值）电力线不会相交。（单值）电力线不会形成闭合曲线，电力线不会形成闭合曲线，它起始于正电荷它起始于正电荷(或或处处)终止于负电荷终止于负电荷(或或处处) 。Eqq1 定义定义2.2、电通量、电通量通过任一面元的电力线的条数称为通过这一通过任一面元的电力线的条数

3、称为通过这一面元的面元的电通量电通量。（类比于流速场的定义）。（类比于流速场的定义）。4 面元 是矢量，或写成 方向的规定方向的规定：l 闭合曲面外法线方向闭合曲面外法线方向(自内向外自内向外) 为正。为正。l 非闭合曲面的边界绕行方向与法向成右手螺非闭合曲面的边界绕行方向与法向成右手螺旋法则旋法则SdSndSSd n5 电场 也是矢量，与面元的夹角为 通过面元的电通量为： 电通量是标量) (nEEdSdSn EcosEdSSdEdeSd60 ed0 ed0 edEn n En E电通量有正负，取决于场强与面元方向夹角对于闭合曲面，为正时表明穿出该曲面，反之为进入（图）7 通过任一曲面S的电通

4、量：l把该曲面分割成很多小元l求得每一个小面元的电通量l求积分 若是闭合曲面：SSeeSdEdSSeeSdEd82.3、静电场的高斯定律、静电场的高斯定律Gauss theorem1、表述：、表述：e0静电场中任何一闭合曲面静电场中任何一闭合曲面 S的电通量的电通量 ，等于，等于该曲面所包围的电荷的代数和的该曲面所包围的电荷的代数和的 分之一倍。分之一倍。iinsideiSqSdE,01数学表达式数学表达式2、证明、证明：可用库仑定律和叠加原理证明。：可用库仑定律和叠加原理证明。（1） 证明包围点电荷证明包围点电荷 的同心球面的同心球面 的电通量的电通量 等于等于 qSe0q球面上各点的场强方

5、向与其径向相同。球面上各点的场强方向与其径向相同。球面上各点的场强大小由库仑定律给出。球面上各点的场强大小由库仑定律给出。qrEdSrqEdSSdEde2041 9dSrqEdSSdEde2041 0202044 qdSrqdSrqdSSSee 此结果与球面的半径无关。换句话说，此结果与球面的半径无关。换句话说，通过各球面的电力线总条数相等。通过各球面的电力线总条数相等。从从 发出的电力线连续的延伸到无穷远。发出的电力线连续的延伸到无穷远。qqrE（2） 证明包围点电荷证明包围点电荷 的的任意任意闭合曲面闭合曲面 的的 电通量电通量 等于等于 qSe0/q立体角立体角solid angle q

6、2rdSd 10立体角立体角2rdSd cosdSdS 2 2 cosrdSrrSdd dqEdSEdSndSrESdEde0 4cos 实际上因为电力线不会中断（连续性），所以实际上因为电力线不会中断（连续性），所以通过闭合曲面通过闭合曲面 和和 的电力线数目是相等的。的电力线数目是相等的。SSdSdSn Er d4Sd可以证明，略。可以证明，略。0 qdSee 11由于由于电力线的连续性电力线的连续性可知可知，穿入与穿出任一闭合曲面穿入与穿出任一闭合曲面的电通量应该相等。所以的电通量应该相等。所以当闭合曲面无电荷时，电当闭合曲面无电荷时，电通量为零。通量为零。 （3） 证明不包围点电荷的任

7、一闭合曲面证明不包围点电荷的任一闭合曲面 的的 电通量恒等于零。电通量恒等于零。SEqdS dS4证明：多个点电荷的电通量等于它们单独存在时的证明：多个点电荷的电通量等于它们单独存在时的电通量的代数和。电通量的代数和。iq2q1q利用利用场强叠加原理场强叠加原理可证。可证。12两点说明两点说明E 高斯定律中的场强高斯定律中的场强 是由是由全部电荷全部电荷产生的。产生的。 通过闭合曲面的通过闭合曲面的电通量只决定于它所包含的电通量只决定于它所包含的 电荷电荷，闭合曲面外的电荷对电通量无贡献。，闭合曲面外的电荷对电通量无贡献。 SnSSSSneSdESdESdESdEEEESdE21321)( i

8、insideiSeneeeqSdE,0211 13附附对于静止电荷的电场，库仑定律和高斯定律等价。对于静止电荷的电场，库仑定律和高斯定律等价。高斯定律的用途高斯定律的用途：当电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定律求当电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定律求 出该电荷系统的电场的分布。比用库仑定律简便。出该电荷系统的电场的分布。比用库仑定律简便。 当已知场强分布时，可用高斯定律求出任一区域当已知场强分布时，可用高斯定律求出任一区域 的电荷、电位分布。的电荷、电位分布。开文迪许就是用高斯定律来证明库仑定律的平方开文迪许就是用高斯定律来证明库仑定律的平方 反比关系。这说明它们不是相互独立的定律，而反

9、比关系。这说明它们不是相互独立的定律，而 是用不同形式表示的电场与场源电荷关系的同一是用不同形式表示的电场与场源电荷关系的同一 客观规律。客观规律。对于运动电荷的电场，库仑定律不再正确，对于运动电荷的电场，库仑定律不再正确，而高斯定律仍然有效。而高斯定律仍然有效。14四、利用高斯定律求静电场的分布四、利用高斯定律求静电场的分布中的中的 能以标量能以标量SSdEE当当场源电荷分布具有某种对称性时场源电荷分布具有某种对称性时，应用高斯定律，选取适当的应用高斯定律，选取适当的高斯面高斯面，使面积分使面积分形式提出来，即可求出场强。形式提出来，即可求出场强。均匀带电球壳均匀带电球壳均匀带电细棒均匀带电

10、细棒ElS eOrpQESopE均匀带电无限大平板均匀带电无限大平板e15例一、均匀带电的球壳内外的场强分布。例一、均匀带电的球壳内外的场强分布。设球壳半径为设球壳半径为 R，所带总电量为所带总电量为 Q。解：解：场源的对称性决定着场强分布的对称性。场源的对称性决定着场强分布的对称性。它具有与场源同心的球对称性。固选同心球面为高斯面。它具有与场源同心的球对称性。固选同心球面为高斯面。 场强的方向沿着径向，且在球面上的场强处处相等。场强的方向沿着径向，且在球面上的场强处处相等。QK_1高斯面高斯面高斯面高斯面EQ均匀带电球壳均匀带电球壳Rr024 QrEdSESdESSe RrrrQE 420

11、当当 高斯面内电荷为高斯面内电荷为 0Rr RrE 0当当 高斯面内电荷为高斯面内电荷为Q，所以所以Rr 16结果表明：结果表明：QK_1均匀带电球壳外的场强均匀带电球壳外的场强分布正象球面上的电荷分布正象球面上的电荷都集中在球心时所形成都集中在球心时所形成的点电荷在该区的场强的点电荷在该区的场强分布一样。在球面内的分布一样。在球面内的场强均为零。场强均为零。EQRr17例二、均匀带电的球体内外的场强分布。例二、均匀带电的球体内外的场强分布。设球体半径为设球体半径为R，所带总带电为所带总带电为Q解：它具有与场源同心的球对称性。解：它具有与场源同心的球对称性。固选取同心的球面为高斯面。固选取同心

12、的球面为高斯面。 QERr333300023434114RQrRQrVQVqrESdEoRrS RrrRQrEo 43 RrrrQEo 42 18例三、求无限长均匀带电直线的场强分布。例三、求无限长均匀带电直线的场强分布。设线电荷密度为设线电荷密度为e该电场分布具有轴对称性。该电场分布具有轴对称性。距离导线距离导线 r 处一点处一点 p 点的场强方向点的场强方向一定垂直于带电直导线沿径向，并一定垂直于带电直导线沿径向，并且和且和 p点在同一圆柱面（以带电直点在同一圆柱面（以带电直导线为轴）上的各点场强大小也都导线为轴）上的各点场强大小也都相等，都沿径向。相等，都沿径向。以带电直导线为轴，作一个

13、通过以带电直导线为轴，作一个通过p点，点，高为高为 的圆筒形封闭面为高斯面的圆筒形封闭面为高斯面 S，通过通过S面的电通量为圆柱侧面和上下面的电通量为圆柱侧面和上下底面三部分的通量。底面三部分的通量。lElS eOrp19因上、下底面的场强方向与面法向垂直，因上、下底面的场强方向与面法向垂直，其电通量为零。即式中后两项为零。其电通量为零。即式中后两项为零。此闭合面包含的电荷总量此闭合面包含的电荷总量其方向沿求场点到直导线的垂线其方向沿求场点到直导线的垂线方向。正负由电荷的符号决定。方向。正负由电荷的符号决定。ElS eOrp bottomtopfacesideSeSdESdESdESdE lq

14、einsidei lrlEdSESdEefacesidefacesidee 012 rEe02 20解：由于电荷分布对于求场点解：由于电荷分布对于求场点 p到平面的垂线到平面的垂线 op 是对称的，是对称的，所以所以 p 点的场强必然垂直于该点的场强必然垂直于该平面。平面。0e0e又因电荷均匀分布在无限大的平面上，又因电荷均匀分布在无限大的平面上，所以电场分布对该平面对称。即离平所以电场分布对该平面对称。即离平面等远处的场强大小都相等、方向都面等远处的场强大小都相等、方向都垂直于平面，垂直于平面，当当 场强指离平面。场强指离平面。当当 场强方向指向平面。场强方向指向平面。例四、求无限大均匀带电

15、平板的场强分布。例四、求无限大均匀带电平板的场强分布。设面电荷密度为设面电荷密度为eopeES21选一其轴垂直于带电平面的选一其轴垂直于带电平面的圆筒圆筒式封闭面作为高斯面式封闭面作为高斯面 S，带电平带电平面平分此圆筒，场点面平分此圆筒，场点 p位于它的位于它的一个底面上。由于圆筒侧面上各一个底面上。由于圆筒侧面上各点的场强方向垂直于侧面的法线点的场强方向垂直于侧面的法线方向，所以电通量为零；又两个方向，所以电通量为零；又两个底面上场强相等、电通量相等，底面上场强相等、电通量相等，均为穿出。均为穿出。场强方向垂直于带电平面。场强方向垂直于带电平面。opESeSESdESdESdEfacerightfaceleftSe 202 SSEe 2202 eE 场强方向指离平面场强方向指离平面;0e场强方向指向平面。