高一数学二项式定理

1、二项式定理（第一课时）10.5 二项式定理二项式定理 理解二项式定理，会利用二项式定理求理解二项式定理，会利用二项式定理求二项展开式。二项展开式。 掌握二项展开式的通项公式，会应用通掌握二项展开式的通项公式，会应用通项公式求指定的某一项。项公式求指定的某一项。 会正确区分二项式系数与项的系数，会会正确区分二项式系数与项的系数，会求指定项的二项式系数和系数。求指定项的二项式系数和系数。问题问题1 1： ?问题问题2 2：你能否判断你能否判断(3 x2 )10的展开式中是否包含常的展开式中是否包含常数项？数项？ x11CnCn2Cn0Cn3Cnn它研究的就是它研究的就是 (ab)n 的展开式的展开

2、式的一般情形。的一般情形。nCr(ab)2 a22abb2(ab)3a33a2b3ab2b3(ab)4 (ab)3 (ab) ( a33a2b3ab2b3 )(ab) (ab)2 ( a b ) ( a b )a2ababb2a22abb2(ab)3( ab )( ab )( ab )a33a2b3ab2b3 a3a2bab2b3共有四项共有四项a3 :a2b:同理，同理，ab2 有有 个；个； b3 有有 个；个；每个括号都不取每个括号都不取b的情况有一种，即的情况有一种，即 种，种，相当于有一个括号中取相当于有一个括号中取b的情况有的情况有 种，种，0C3C31C32C33C31C310C

3、30C3C32C33所以所以a2b的系数是的系数是 所以所以a3的系数是的系数是(ab)2 a22abb2(ab)3a33a2b3ab2b3 a3 a2b ab2 b3 (ab)4(ab) (ab) (ab) (ab) a4 a3b a2b2 ab3 b4一般地，一般地， (ab)n(ab) (ab) (ab) (ab) an an-1b an-2b2 an-3b3 an-rbr bn0C3C31C32C33C44C40C41C42C431CnCn2Cn0Cn3Cnn该公式称为该公式称为二项式定理二项式定理。1）每一项的系数）每一项的系数（r=0，1，2，n）叫做该项的）叫做该项的二项式系数二

4、项式系数。2）叫做二项展开式的叫做二项展开式的通项通项，表示表示第第r+1项项，记作，记作Tr+1。其右端的多项式叫做其右端的多项式叫做(ab)n的的二项展开式，二项展开式，共有共有n+1项。其中项。其中rnCrnCrbaCrnr - nrn-rrnC a b3）若取）若取a=1，b=x则得一个重要公式：则得一个重要公式：(1+x)n=1+ x+ x2+ xr + xn 1CnCnnCn2rnC二项式定理：二项式定理：(ab ) n C anC an-1bC an-2b2C an-rbr C bn 通项公式通项公式（第（第r+1项）项）： Tr+1C an-rbr ；其中；其中 C 称为称为第

5、第r +1项项的二项式系数。的二项式系数。n0n1n2nrnnnrnr解：解：5 54 43 32 22 23 34 45 55 55 55 54 41 14 45 53 32 23 35 52 23 32 25 54 41 15 55 50 05 55 5b b5ab5abb b10a10ab b10a10ab b5a5aa ab bC Cb ba aC Cb ba aC Cb ba aC Cb ba aC Ca aC Cb)b)(a(a例例1：展开：展开(a+b)5例例2：展开：展开(1-x)n(1-x)n=Cn0-Cn1X+Cn2X2-+(-1)nCnnXn解：解：解解：ax，b2，n1

6、0根据通项公式根据通项公式Tr1 anr b r 得得T5 T4 +1 x104 (2)43360 x6它的二项式系数是它的二项式系数是二项式定理：二项式定理：(ab ) n C anC an-1bC an-2b2C an-rbr C bn 通项公式通项公式（第（第r+1项）项）： Tr+1C an-rbr ；其中；其中 C 称为称为第第r+1项项的二项式系数。的二项式系数。n0n1n2nrnnnrnr123478910 x6 162104C104C10Cnr例例3、求、求(x2)10的展开式中的第五项，并求出它的的展开式中的第五项，并求出它的二项式系数。二项式系数。问题1，2小结二项式定理：

7、二项式定理：(ab ) n C anC an-1bC an-2b2C an-rbr C bn 通项公式通项公式（第（第r+1项）项）： Tr+1C例例4、求、求(x2)10的展开式中的展开式中x6项项的系数。的系数。nran-rbr ；称为称为第第r+1项项的二项式系数。的二项式系数。nrnrnnn2n0n1解解:(x2）10的展开式的通项是的展开式的通项是Tr1123478910 x10r(2)r(1)r 2r由题意知由题意知10r6 r4于是于是x6项的系数是项的系数是(1)4 244C10163360其中其中 Cx10rCr10rC10问题问题2：你你能能否否判判断断(3 x2)10的的

8、展展开开式式中中是是否否包包含含常常数数项项？x1 ?1CnCn2Cn0Cn3CnnnCr问题问题1：解：根据二项式定理，取解：根据二项式定理，取a=1,b=1 (1+1)n=Cn0+Cn1+Cn2+Cnn Cn0+Cn1+Cn2+Cnn=2n解：根据二项式定理，取 a3x2，bx1x1(3 x2)10 x1的通项公式是Tr1(3x2)10r( )r 310 r x20 2r (1)r x2r (1)r 310 r x20 25 r令20 025 rr8rN(3 x2)10 x1的展开式中第9项为常数项。C10rC10rC10r二项式定理展开式中二项式定理展开式中a与与b是用是用“”连接的，即连接的，即 (ab)n an an1b anrbr bn，在实际运用时注意正确选择在实际运用时注意正确选择a、b。1CnCn0Cnn 通项公式通项公