Hilbert空间中框架Riesz基与正交基之间的关系

1、- 12 -框架与 基的研究是小波分析理论研究的重要内容之一,正交小波基理论的发展则架起了逼近论 Riesz 与信号处理间一座新的桥梁.框架理论是由 和 在 年研究非调和 级数 R.J.Duffin A.G.Schaeffer 1952Fourier 时正式提出的,直到 年, , 和 的突破性研究,才使框架理论开始被广泛 1986Daubechies Grossmann Meyer 关注.从空间中元素表示的角度看,框架可看成是基组概念的推广.由于正交基的正交性和紧支撑性是 一对不可调和的矛盾,所以我们试图放宽正交的条件,来构造可以表示 的序列,即框架, 基,Riesz 多小波等.正是由于框架与

2、 基有一定的冗余性,因此,它们在信号消噪、特征提取、鲁棒信号处理 Riesz 等方面具有广泛的应用.近年来关于框架的研究与发展为小波研究的热点之一.框架, 基与基组之 Riesz 间既有密切的联系,又有本质的区别.本文讨论了框架与 基之间和框架与正交基之间的关系.得到 Riesz 基是线性独立的矢量组成的框架;无冗余的紧框架即为正交基.Riesz 为了方便,如果不作特别说明,本文中空间 均指 空间.本文第一部分介绍了一些基本的定 Hilbert 义、引理,第二部分讨论了框架与 基的关系,第三部分研究了紧框架与正交基的关系. Riesz 引言1 定义 1.1设 为 中的线性无关的函数列,若对于任

3、何 都有 ,(1且系数 是唯一的,则称 为空间 的一个基组 .若该基组还满足( 2则称该基组为空间 的标准正交基,此时(式可以写成1(3空间中框架, 基与正交基之间的关系 HilbertRiesz 牛 晓 芳 1李 建 华2.陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西 西安 ;2.河西学院数学系,甘肃 张掖 (1 710062 734000摘 要: 本文讨论了 空间中的框架、 基与正交基的关系.结果表明:无冗余的紧框架即为正交 Hilbert Riesz 基组; 基是线性无关的框架.并构造了适当的反例说明线性无关的框架不一定是无冗余的框架,正交基 不 Riesz 一定都能构成框架.关键词:空间; 基

4、;小波;紧框架;正交基Hilbert Riesz 中图分类号:文献标识码:文章编号:-( -O174 A 16720520200705001207 收稿日期:2006-09-04作者简介:牛晓芳( ,女,山西晋城人,陕西师范大学在读硕士研究生,主要研究方向为智能信号处理.1983第 卷第 期( 河西学院学报 (2352007 Vol.23 No.520072( L R H (n e x H ( g x H ( , n n ng x a e =n a n e H 0, (, ( , 1, n mm ne x e x m n =H ( (, ( (. n n ng x g x e x e x =-

5、 13 -这时有 等式Parseval (4事实上,定义 1.2设 是一个 空间, 是一个可列指标集, 是中的一个函数序列,若对于 Hilbert 任何 ,存在正常数 , ,且 ,有 (5则称 是 的一个框架.称 为框架的下界, 为框架的上界, 和 统称为框架界. 如果 ,称 为紧框架.当 时,即在紧框架下,对于任何 有类似的 ,等式Parseval (6由此可以推出(7中的框架,如果去掉其中任意一个元素,使它不再构成框架,则称该框架为无冗余的框架. (式说明,紧框架一般不是标准正交基,但是它可以提供函数的一个冗余表示. (式也可以 看67作由 重构 的一个方法.冗余框架还有另外一个等价定义:

6、定义 1.3设 是 中的框架 且 若 是 中的框架,则称 是 , , 冗余框架.否则称之为无冗余框架.定理 1.1设 是 中的一个框架,则 是冗余框架的充要条件是存在 ,使得 为常数 . (定义 1.4称函数列 是 的 基,如果: Riesz 函数列 在 中稠密;1 对于任意 ,存在正常数 , ,且 ,有2 (8和 称之为 界.Riesz 定义 1.5设 是可分 空间 的一个框架,框架算子 定义为 Hilbert空间中的框架与 基的关系2 HilbertRiesz 定理 2.1是可分的 空间 的框架,框架界为 , , 为框架算子,则有: Hilbert 是 的有界线性算子,且 1 牛晓芳,李建

7、华:空间中框架, 基与正交基之间的关系Hilbert Riesz 22|( |(, ( |. n ng x g x e x =2|( |(, ( (, ( (, ( n n ng x g x g x g x e x e x g x =(, ( (, ( n n ng x e x e x g x =2|(, ( |.n ng x e x =H J |j j J H ( g x H A B0A B 222|, |. j j A g g B g |j j J H A B A BA B =|j j J A B =( g x H 22|, |. j jg A g =1( , . j j jg x A g

8、 =H, j g ( g x |j j J H 1J J 1|j j J H |j j J H |j j J H |j j J 0k J 0, k j j j J j k =j|j j J H H |j j J 2j c l A B 0A B 222|. j j j j jA c c B c A B |j j J H 2:( F H l J ( , |,.j F f f j J f H =|j j J H A B FF2( H l J 2|.F B - 14 -的伴随算子 的作用为 , 2 是 上的有界可逆线性算子 3. 令 ,则 也是 的框架,框架界为 和 称 为 4 , 的对偶框架 .设

9、是相对于框架 的 框架算 子, 是其 伴随, 则 为 上的恒等算子, 所 5 以 ,有两种级数表示:定理 2.2是可分的 空间 中的一列向量,则下列命题等价 Hilbert 是 的 基; 1 Riesz 是 的框架,且 是线性无关的,即 ,如果 ,则 2推论 2.3是可分的 空间 的 基,则 ,存在唯一 使得 Hilbert Riesz推论 2.4是 空间 的 基, 是 的对偶框架,则 Hilbert Riesz 也是 的 基.Riesz 定理 2.5若 为 空间 的无冗余框架,则 是 的 基.Hilbert Riesz 证明 若不然,则 中有限个元 线性相关,不妨设 ,并设则 ,记 ,则 是

10、 的真子集,对 ,有所以 .因此 为框架,这与 是无冗余框架 矛盾.于是 是线性无关组.由定理 可知 是 的 基.2.2, Riesz 注 :定理 的逆不成立.例如:是 的标准正交基, 2.5 1221|, |, |i nr i r r J i f f =+河西学院学报 年第 期 20075F 2:( F l J H (j j j jF c c =2(.jcl J F F H 1( j j F F = |j j J H 1B 1A |jj J |j j J F j F F F F F I = H f H , , . j jj j jjf f f = |j j J H |j j J H |j j

11、 J H |j j J 2( j c l J 0j j jc =0, .j c j J =|j j J H f H 2(, j c l J .j j jf c =|j j J H |j j J |j j J |jj J H |j j J H |j j J H |j j J 01, , , n r r r 01i nr i r i =12max|,|, = |,n 010J J r =1J J f H 1222|, |, |r r r J r Jf f B f 012222|, |, |, |r r r r Jr J A f f f f =+1221|, |, |i nr i r r J i f

12、 f =+12221|, |, |i nr i r r J i f f =+11222|, |, |r r r J r J f f +122(1 |, |r r J f =+2222|, |1r r JA f f B f +1|r r J |j j J |j j J |j j J H 1n n e = H 2, n e e +- 15 -是 的线性无关框架,但 仍为框架.所以线性无关框架 不一定是无冗余的.由定理 的证明可以得到下面的推论:2.5推论 2.6若 为 的无冗余框架,则 为线性无关组.在参考文献 中给出一个判定 基的简便方法:8Riesz 定理 2.7设 是 空间 上的一个 基,且

13、设 是 中的一组向量,假如存 在 Banach Riesz 一个常数 ,对于所有的数列 成立 则 也是空间 的一个 基.Riesz 紧框架与正交基的关系 3 从正交基到紧框架3.1 定理 3.1设 是 空间, 为 中的一个正交基组,且对任意 , 则 Hilbert是 的界为 的紧框架。证明:因为 为正交基,且对任意 , ,所以 为 的标准正交基 因 , 此 ,有 所以 因此 是 以 为界的紧框架.注 :并不是任意的正交基组都能构成 的框架,下面先给出 中正交基为框架的必要条件.定理 3.2设 是 空间, 为 中的正交基,若 构成 中下界为 ,上 界 Hilbert 为 的框架,则对 ,都有 成

14、立. 证明:对于正交基构成的框架 ,在(式两端取 ,则 5因为它们之间的正交性,有 ,所以有下面给出一个正交基但不构成框架的例子,设 为 的标准正交基,令 还是 的正交基,但 已不再是 的框架了,因为 ,所以不存在正数 ,使 恒成 立,由定理 , 不是 的框架. 3.2 从紧框架到正交基3.2 定理 3.3若 为 的一个框架,则证明(反证法 :设 则 取 且 所以 。所以 不为 的框架,与假设矛盾.定理 3.4设 是 空间, 是 中的一个无冗余紧框架 则 必为 的一组基 Hilbert, . 证明:由定理 ,有 另外,由引理 , 的各元素之间必定是线 性 3.32.5 牛晓芳,李建华:空间中框

15、架, 基与正交基之间的关系Hilbert Riesz H 23, n e e e + |j j J H |j j J i i Z f B i i Z g B 0,1i i Z c 11|( |,nni i i i i i i c f g c f =i i Z g B H |j j J H j 2|, j A =|j j J H A |j j J j 2|j A =H g H ( jg x g =( , , j j jAg x g =22|, |.jjg A g =|j j J H A H H H |j j J H|j j J H A B j J 2|j AB |j j J k g =22242

16、|, |, |,k k j k k j k jk jA B =+242|k k k A B 2|. k A B n e H n f =n f H n f H 2lim |0n n f =A 2|j f A n f H |j j J H |.j span j J H =|j span j J H |j span j J H , 0g H g |,j g span j J 22|, |0|j jg g =,|j j J =j J |j j J 1A B =00,|1, j j J 00,|j j J |j j J |j j J H k g =2224|, |, |,k k j k k j jk j

17、A =+222|(| |, |0k k k j k jA =2|. k A 2|kA =2|, |0k j k j=, k j , 0k j =k |jj J 0r J 00000022221|, |, |, |r r j r j r r jj r =+0000242|, |, |1,r j r r j j r j n=+=+0j r 0, 0r j =0r |j j J |1j =|j j J 00J J j =f H 000222222|, |, |, |, |,j j j jj j Jj J j J f f f f f =+00222(1| |, |, j j j J f f 0222|

18、, |, |, j j j J j Jf f f 002222(1| |, |, j j j J f f f 0|j j J |j j J |j j J H A |j j J H j 2|j A =j 2|j A =|j j J H |j j J H k g =j 2,|k k A =牛晓芳，李建华：Hilbert 空间中框架， Riesz 基与正交基之间的关系 顺便指出，在文献 5， 6 中皆认为“H 中A = 1 的紧框架即构成H 的正交系” ，实际上，如果缺 少 en n =1是它的一个规 对框架元素的模的限制性条件，这个结论是错误的，例如： H 是可分的 Hilbert 空间， 范正交

19、基， e1 , 交的 定理 3.7 e2 e2 e3 e3 e3 , , , , , 是 H 的一个紧框架，框架界为A = B = 1，但显然它不是两两 正 2 2 3 3 3 j 中其余元素构成 V0 的正交补空间 V0 的界为 A 紧框架 成 V0 的正交基， 证明 下面证明 j 由定理 3.5 j = j j | j J 是H 的界为 A 的紧框架，记V0 若 = span j | j |2 = A ，则 j | j |2 = A 构 | j |2 = A中的元素两两相互正交，且与 j 中其余元素正交，对任意 f H , f 2 2 2 有唯一的直交分解 f = f1 + f 2 , f

20、1 V0 , f 2 V0 , 所以 | f | =| f1 | + | f 2 | . 由定理 3.5 知 j 又因为 | j |2 A构成 V0 的界为 A 的紧框架 | j |2 = A j | j |2 A ，显然 j | j |2 = A 构成 V0 的正交基 A | f |2 = |2 = j |k | = A 2 | + 2 | j | A | 2 2 = 且 |k | = A | + A, | j | A | , f 2 k ,| k |= A , f1 j ,| j | 所以 |k | = A | + 2 | j | A | = 2 2 |k | = A | + 2 | j

21、| A | 2 = A | f1 |2 + 因此 A | | j | A | , 2 f 2 |2 = | j | A | , 即 j | j |2 A是 V0 的界为 A 的紧框架 H，记 f 与 j 的夹角为 j ( f ， j = 1, 2, ,则 定理 3.8 f 若 j | j J 为 H 的一组非正交基， inf f H cos j 2 j ( f 1. f H j 证明 因为 j | j J 为 H 的一组非正交基，不妨设 1 与 span2 ,3 , 不正交 , 记V1 = span2 , 3 , , 取 f V1 ，则 1 ( f 2 j , j ( f = 2 2 , j

22、1, cos 所以 inf f H j ( f = cos 2 1 ( f + cos 2 j ( f = cos 2 1 ( f 1 2 f H j cos j 2 j ( f 1. 定理 3.9 证明 （紧框架为正交基的充分条件） Hilbert 空间 H 中的无冗余紧框架一定是 H 的正交基 设 j | j J 是 Hilbert 空间 H 界为 A 的无冗余紧框架，由引理 3.4 有 j | j J 是 H 的一 组 基下面证明它是一组正交基，用反证法假设 j | j J 是 H 的一组非正交基，对任意 f H, 记 f 与 j 的夹角为 j ( f ，由定理 3.8 可知， inf

23、f H cos j 2 j ( f 1, （9 ） - 17 - 河西学院学报 2007 年第 5 期 由紧框架的定义知 A | f |2 = |2 , 于是 j 1= j | j | A 2 f f = cos 2 j ( f , | f | | j | | f | | j | j j j， | j |2 = A. 2 2 从而 inf f H cos j 2 j ( f 1, 与（ 9）式矛盾，故假设不成立 推论 3.10 设 j | j J 是 Hilbert 空间H 的界为 A 的无冗余紧框架，则对任意 参考文献： 1 吴兆荣 Hilbert 空间中框架的几个性质 J内蒙古师大学报，

24、1997（ 4） ： 1921 2 曹怀信 Bessel sequences in a Hilbert spaceJ工程数学学报， 2000： 9298 3 曹怀信，赵建伟小波分析综述 J咸阳师范学院学报， 2002（ 6） ： 58 4 陈祥训对几个小波基本概念的理解 J电力系统自动化， 2004（ 1） ： 16 5 刘贵忠，邸双亮小波分析及其应用 M西安电子科技大学出版社， 1992 6 李水根，吴纪桃分形与小波 M科学出版社， 2002 7丁宣浩，孙建明，杨美香 Hilbert 空间中的框架与 Riesz 基 J桂林电子工业学院学报，2005：79-83 8 赵平，刘贵忠等Hilbert 空间上框架扰动定理的一个推广及其对小波框架的应用 J 中国科学 E 辑， 2003（ 2 ） ： 147153 The Relationship among