导数中求全参数地取值范围

1、标准实用文案导数中求参数的取值范围求参数取值范围的方法1. 分离参数，恒成立转化为最值问题2. 分离参数，结合零点和单调性解不等式3. 将参数分成若干个区间讨论是否满足题意fx1已知函数f X e -ax( a R，e为自然对数的底数)(I)讨论函数f X的单调性;(U)若a 1，函数g xx在2,上为增函数，求文档实数m的取值范围.f x解：(I)函数的定义域为R，当a 0时，f (U)当a 1时, 0 f x在R上为增函数;当a 0时，由f x 0得x Ina，lna 时,x 0，二函数f x在,lna上为减函数,In a,时,x 0，二函数f x在lna，上为增函数4分exx2.g x

2、在 2,上为增函数；Agxxexme0在2,上恒成立,x xe 1 m 2即 e 1在厶上恒成立,2x1h xx exex 2exxxe e x 2h 令xxex 2x*2x e1 x2,，则e 1ex1令Lxx ex 2L xex 10 在2,上恒成立，即Lxx ex 2 , 在2,上为增函数,即L x L 2e2 4 0h x 即xxe1h xf函数，2e2 1.hx0x e1在2,上为增h 2e2 12e2 1m e 1，所以实数m的取值范围是2e2 1e2 112分2 . (2016 全国甲卷)已知函数 f(x) = (x + 1)ln x a(x 1).(1)当a= 4时，求曲线y

3、= f(x)在(1 , f(1)处的切线方程； 若当x (1 ,+x)时，f(x) >0，求a的取值范围.解：(1)f(x)的定义域为(0，+).当 a = 4 时，f(x) = (x + 1)ln x 4(x 1)，1f(1) = 0，f '(x) = In x + - 3，f'(1) = 2.x故曲线y = f(x)在(1，f(1)处的切线方程为2x + y 2 = 0.a x 1当 x (1，+x)时，f(x) >0 等价于 In x >0.x + 1a x 1 设 g (x) = In x 1则 g (x)二一一x2ax + 1x2 + 2，g(1)二

4、 0.x + 1 当 a <2 , x (1，+x)时，x2 + 2(1 a)x + 1 >x2 2x + 1 >0，故 g (x) >0， g(x)在(1，+)上单调递增，因此g(x) >0 ; 当 a >2 时，令 g (x) = 0 得 X1 = a 1 a 12 1，X2 = a 1 + 、a 12 1.由 X2 > 1 和 X1X2 = 1 得 X1 V 1，故当 x (1，X2)时，g (x) V 0，g (x)在(1，X2) 上单调递减，因此g(x) V 0.综上，a的取值范围是( , 2. . (2016 全国乙卷)已知函数f(x) =

5、 (x 2)ex + a(x 1)2有两个零点.(1)求a的取值范围；设X1 , X2是f(x)的两个零点，证明：X1 + X2<2.解：(1)f '(x) = (x 1)ex + 2a(x 1) = (x 1)(e x + 2a). 设a = 0，则f(x) = (x 2)ex, f(x)只有一个零点. 设 a>0，则当 x ( %, 1)时，f (x)<0 ;当 x (1 ,+x)时，f (x)>0 ,所以f(x)在(一x，1)内单调递减，在(1，+)内单调递增.a又 f(1) = e，f(2) = a，取 b 满足 b<0 且 bvln ；，a3则

6、f(b)>(b 2) + a(b 1)2 = a b2 >0，故f(x)存在两个零点. 设 a<0，由 f'(X)= 0 得 x = 1 或 x = ln( 2a).e右 a A 2，贝U ln( 2a) W1 ，故当x (1，+)时，f (x)>0，因此f(x)在(1，+)内单调递增.又当x <1时，f(x)vo，所以f(x)不存在两个零点.e若 a< ，则 ln( 2a)>1，故当 x (1 , ln( 2a)时，f (x)<0 ;当 x (ln( 2a)，+)时，f (x)>0.因此f(x)在(1 , ln( 2a)内单调递减

7、，在(ln( 2a) ,+引内单调递增.又当x <1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点.综上，a的取值范围为(0，+x).证明：不妨设 X1VX2，由知，xi ( S, 1) , X2 (1 ,+x), 2 X2 (g, 1)，又f (x)在(g, 1)内单调递减，所以 X1 + X2<2 等价于 f(X1)>f(2 X2)，即 f(2 X2)<0.由于 f (2 X2) = X2e2 X2 + a(X2 1) 由 f '(X)>0，得 x >一, a，而 f(X2)= (X2 2)e X2+ a(X2 1)2= 0，所以 f (2

8、X2)= X2e2 X2 (X2 2)e X2.设 g (x) = xe2-X (x 2)eX，则 g '(x) = (x 1)(e 2 x ex).所以当 x>1 时，g(x)<0，而 g(1) = 0，故当 x>1 时，g(x)<0.从而 g(X2)= f(2 X2)<0，故 X1 + X2<2.4 .已知函数 f(x) = ax 1 In x(a R).(1) 讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(2) 若函数f(x)在x = 1处取得极值，？x (0，+g)，f(x) >bx 2恒成立, 求实数b的取值范围.1 ax 1 解：(1

9、)由已知得 f (x) = a (X > 0).XX当aO 时，f (x) <0在(0，+g)上恒成立，函数f(x)在(0，+g)上单调递减,f(x)在(0，+g)上没有极值点.1当 a>0 时，由 f '(X)v0，得 0 vx<_,a11f(x)在0，-上单调递减，在，+x上单调递增,aa1即f(x)在x =处有极小值.a当a<0时，f(x)在(0 ,+)上没有极值点， 当a>0时，f(x)在(0，+)上有一个极值点.(2) v函数f(x)在x = 1处取得极值,1 In xf '(1) = 0，解得 a = 1，Af(x) >bx

10、 2? 1 + >b，x x1 In x令 g(x)二 1 +-x x则 g (x) =In x 2x2令 g (x) = 0，得 x = e2.则g(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，+x)上单调递增,1即 b <1 二，e2 g(X)min = g (e2) 1 e1故实数b的取值范围为一x, 1 二.e2 . (2015 全国卷出已知函数f(x) In x + a(1 x).(1)讨论f(x)的单调性；当f(x)有最大值，且最大值大于2a 2时，求a的取值范围.1解：(1) f(x)的定义域为(0，+x), f (x)一一 a.x若aO，则f (x)>0，所以f(

11、x)在(0，+x)上单调递增.1若 a>0，则当 x 0, 一 时，f (x)>0 ;a1当 x ,+x 时，f，(x)vO.a11所以f(x)在0 ,上单调递增，在-，+上单调递减.aa 由 知，当a <0时，f(x)在(0,+)上无最大值;1当a>0时，f(x)在x = -处取得最大值，最大值为a111f = In 一 + a 1 一 = In a +a 1. aaa1因此 f 一 >2 a 2 等价于 In a + a 1<0. a令 g (a) = In a + a 1，则g(a)在(0,+x)上单调递增，g(1) = 0.于是，当 0<a&l

12、t;1 时，g(a)<0 ；当 a>1 时，g(a)>0.因此，a的取值范围是(0,1).6 . (2016 全国甲卷)已知函数 f(x) = (x + 1)ln x a(x 1).(1)当a= 4时，求曲线y = f(x)在(1，f(1)处的切线方程；若当x (1，+)时，f(x) >0，求a的取值范围.解：(1)f(x)的定义域为(0，+).当 a = 4 时，f(x) = (x + 1)ln x 4(x 1)，1f(1) = 0，f (x) = In x + 一一 3，f'(1) = 2.x故曲线y = f(x)在(1，f(1)处的切线方程为2x + y

13、2 = 0.a x 1当 x (1，+x)时，f(x) >0 等价于 In x >0.x + 1a x 1设 g (x) = In x 1 2a则gg=；一Rx1 2 + 2,g(1) 当 a <2 , x (1 , +x)时，x2a所以当a O时，g(x)的单调增区间为(0，+x)；11当a>0时，g(x)的单调增区间为0，丁，单调减区间为 丁，+* .2a2a(2)由(1)知，f (1) = 0 .当a<0时，f (x)单调递增,所以当x (0,1)时，f'(x) v 0，f(x)单调递减; + 2(1 a)x + 1 >x2 2x + 1 &g

14、t;0，故 g '(x) >0 , g(x)在(1 ,+x)上单调递增，因此g(x)>0 ; 当 a >2 时，令 g '(X)= 0 得 X1 = a 1 a 12 1 , X2 = a 1 +a 1 _.由 X2 > 1 和 X1X2 = 1 得 X1V1，故当 x (1，X2)时，g '(X)v0，g(x)在(1，X2) 上单调递减，因此g(x) v 0.综上，a的取值范围是( , 2.7.(2016 山东高考)设 f(x) = xln x ax2 + (2 a 1)x，a R.(1) 令g(x) = f'(x)，求g(x)的单调区

15、间；(2) 已知f(x)在x = 1处取得极大值，求实数a的取值范围.解：(1)由 f (x) = In x 2ax + 2a，可得 g (x) = In x 2ax + 2a，x (0，+).11 2 ax所以 g '(x)= 2a =.xx当a O，x (0，+x)时，g (x) > 0，函数g(x)单调递增；1当a>0，x 0，丁时，g '(x) >0，函数g(x)单调递增，2a当 x (1 ,+x)时，f f(x) >0 , f(x)单调递增.所以f (x)在x = 1处取得极小值，不合题意.11当 0 v a v 一时，> 1 ,22a1

16、由知f (X)在o, 2a内单调递增,1可得当 x (0,1)时，f'(x) V 0，当 x 1 , 时，f'(x) >0 . 2a1所以f(x)在(叩)内单调递减，在1，初内单调递增,所以f (x)在x = 1处取得极小值，不合题意.1当a=2时,1=1 2af '(X)在(0,1)内单调递增，在(1 , +)内单调递减，所以当x (0,+x)时，f'(x) <0 , f(x)单调递减，不合题意.1当a > 2时,10 v v 12a1当x 二,1时，f (x) >0，f(x)单调递增,当 x (1 , +)时，f (x) V0 , f

17、(x)单调递减.所以f (x)在x = 1处取极大值，符合题意.1综上可知，实数a的取值范围为 2，+mm8. (2016 海口调研)已知函数 f(x) = mx , g (x) = 3ln x . x(1)当m = 4时，求曲线y = f(x)在点(2 , f(2)处的切线方程;若x (1 ,e(e是自然对数的底数)时，不等式f(x) g(x) v 3恒成立, 求实数m的取值范围.44解： 当 m = 4 时，f(x) = 4x 一，f'(x) = 4 + ,xx2f 二 5 ,又 f(2)二 6 ,所求切线方程为y 6 = 5( x 2),即 y = 5x 4.(2)由题意知，x

18、(1 , - ；e时，mmx 3ln x v 3 恒成立，x即 m (x2 1) v 3x + 3xln x 恒成立，x (1，;e ,.x2 1 > 0 ,3x + 3xl n x则m v 2 恒成立.x2 1e,3x + 3xln x令 h(x)二二，x (1，则 m v h(x)min .3 h '(x)二x2 + 1 S x 63x2 12x2 12x (1，:e, '(x) v 0 ,即 h(x)在(1 ,-e上是减函数.当 x (1 , -厂9 ee时，h(x)min = h(.：e) = 212 e i'm的取值范围是一X,2e 29. (2017

19、福建省质检已知函数 f(x) = ax ln( x + 1) , g(x) = ex x 1.曲 线y = f(x)与y = g(x)在原点处的切线相同.(1) 求f(x)的单调区间；(2) 若x>0时，g(x) >kf (x)，求k的取值范围.1解：因为 f'(x) = a(x> 1) , g '(x) = ex 1 ,x + 1依题意，f '(0) = g '(0)，即 a 1 = 0，解得 a = 1 ,1 x所以 f '(x) = 1 =,x + 1 x + 1当一1 v x v 0 时，f '(x) v 0 ；当 x > 0 时，f'(x) > 0 .故f(x)的单调递减区间为(一1,0)，单调递增区间为(0，+X).(2)由(1)知，当x = 0时，f(x)取得最小值0 ,所以 f (x) >0，即 x >n(x + 1)，从而 ex >x + 1 .设 F(x) = g(x) kf (x) = ex + kin( x + 1) (k + 1)x 1 ,kk则 F'(x) = ex + (k +