数学必修ⅴ北师大版 直接证明与间接证明 课件

1、1直接证明与间接证明直接证明与间接证明2三年三年1111考考 高考指数高考指数: :1.1.了解直接证明的两种基本方法了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；分析法和综合法的思考过程、特点；2.2.了解间接证明的一种基本方法了解间接证明的一种基本方法反证法，了解反证法的反证法，了解反证法的思考过程、特点思考过程、特点. . 31.1.本考点在历年高考中均有体现，主要以直接证明中的综合本考点在历年高考中均有体现，主要以直接证明中的综合法为主；法为主；2.2.分析法的思想应用广泛，反证法仅作为客观题的判断方法，分析法的思想应用广泛，反证法仅

2、作为客观题的判断方法，一般不会单独命题一般不会单独命题. .3.3.题型以解答题为主，主要在与其他知识点交汇处命题题型以解答题为主，主要在与其他知识点交汇处命题. . 41.1.直接证明直接证明(1)(1)综合法综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出一系列的推理论证，最后推导出_的证明的证明方法方法. .所要证明的结论成立所要证明的结论成立5框图表示：框图表示：(P(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q Q表示所要表示所要证明的结论证明的结论).)

3、.文字表示为：文字表示为：“因为因为所以所以”或或“由由得得”.”.思维过程：由因导果思维过程：由因导果. .6(2)(2)分析法分析法定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为件，直至最后，把要证明的结论归结为_(_(已知条件、定义、定理、公理等已知条件、定义、定理、公理等) )为止的证明方法为止的证明方法. .判定一个明显成立判定一个明显成立的条件的条件7框图表示：框图表示：(Q(Q表示要证明的结论表示要证明的结论).).文字表示为：文字表示为：“要证要证”，“只需证只需证”，“即即证证”思维过程：

4、执果索因思维过程：执果索因. .8【即时应用即时应用】(1)(1)思考下列思维特点：思考下列思维特点：从从“已知已知”逐步推向逐步推向“未知未知”，即逐步寻找已知成立的必，即逐步寻找已知成立的必要条件要条件. .从从“未知未知”看看“需知需知”，逐步靠拢，逐步靠拢“已知已知”即逐步寻找结即逐步寻找结论成立的充分条件论成立的充分条件. .满足综合法的是满足综合法的是_，满足分析法的是，满足分析法的是_(_(请填写请填写相应序号相应序号).).9(2)(2)已知已知t=a+2b,s=a+bt=a+2b,s=a+b2 2+1,+1,则则s,ts,t的大小关系是的大小关系是_._.(3)(3)在正项等

5、比数列在正项等比数列aan n 和正项等差数列和正项等差数列bbn n 中，中，a a1 1=b=b1 1,a,a3 3=b=b3 3, ,a a1 1aa3 3，则，则a a5 5与与b b5 5的大小关系为的大小关系为_._.10【解析解析】(1)(1)由分析法、综合法的定义可判断由分析法、综合法的定义可判断. .满足综合法；满足综合法；满足分析法满足分析法. .(2)(2)由由s-t=a+bs-t=a+b2 2+1-a-2b=b+1-a-2b=b2 2-2b+1=(b-1)-2b+1=(b-1)2 20,0,故故st.st.(3)(3)由由a a1 1aa3 3, ,得得b b1 1bb

6、3 3, ,所以所以b b1 1bb5 5, ,且且b b1 10,b0,b5 50,0,又又a a3 3= = =b= = =b3 3 , ,即即 , ,又又a a1 1=b=b1 1, ,所以所以a a5 5bb5 5. .答案：答案：(1)(1) (2)st (3)a (2)st (3)a5 5bb5 51 5a a15bb215b b1 5a a15b b112.2.间接证明间接证明(1)(1)反证法的定义：反证法的定义：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明明_，从而证明，从而证明_的证明方法的证明方法. .(2

7、)(2)利用反证法证题的步骤利用反证法证题的步骤假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立. .简言之，否定简言之，否定归谬归谬断言断言. .假设错误假设错误原命题成立原命题成立12【即时应用即时应用】(1)(1)判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确.(.(请在括号内打请在括号内打“”“”或或“”)”)综合法是由因导果法综合法是由因导果法 ( )( )综合法是顺推法综

8、合法是顺推法 ( )( )分析法是执果索因法分析法是执果索因法 ( )( )分析法是逆推法分析法是逆推法 ( )( )反证法是间接证法反证法是间接证法 ( )( )(2)(2)用反证法证明命题用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于三角形三个内角至少有一个不大于6060”时，应假设时，应假设_._.13【解析解析】(1)(1)由分析法、综合法、反证法的定义可知由分析法、综合法、反证法的定义可知都正确都正确. .(2)(2)因为因为“至少有一个至少有一个”的反面是的反面是“一个也没有一个也没有”，所以，所以“三角形三个内角至少有一个不大于三角形三个内角至少有一个不大于6060” 的否定是

9、的否定是“三三角形三个内角一个也没有不大于角形三个内角一个也没有不大于6060”，即，即“三角形三个内三角形三个内角都大于角都大于6060”. .答案：答案：(1)(1) (2)(2)三角形三个内角都大于三角形三个内角都大于6060 14 综合法的应用综合法的应用【方法点睛方法点睛】利用综合法证题的基本思路利用综合法证题的基本思路15【例例1 1】已知已知x+y+z=1x+y+z=1，求证：，求证：x x2 2+y+y2 2+z+z2 2 . .【解题指南解题指南】由基本不等式由基本不等式x x2 2+y+y2 22xy,2xy,得到关于得到关于x x、y y、z z的的三三个不等式，将三式相

10、加整理变形个不等式，将三式相加整理变形, ,然后利用然后利用x+y+z=1x+y+z=1得得(x+y+z)(x+y+z)2 2=1=1从而可证从而可证. .1316【规范解答规范解答】xx2 2+y+y2 22xy,x2xy,x2 2+z+z2 22xz,y2xz,y2 2+z+z2 22yz,2yz,2x2x2 2+2y+2y2 2+2z+2z2 22xy+2xz+2yz,2xy+2xz+2yz,3x3x2 2+3y+3y2 2+3z+3z2 2xx2 2+y+y2 2+z+z2 2+2xy+2xz+2yz,+2xy+2xz+2yz,即即3(x3(x2 2+y+y2 2+z+z2 2)(x+

11、y+z)(x+y+z)2 2, ,x+y+z=1,(x+y+z)x+y+z=1,(x+y+z)2 2=1,=1,3(x3(x2 2+y+y2 2+z+z2 2)1,)1,即即x x2 2+y+y2 2+z+z2 2 . .1317【反思反思感悟感悟】利用综合法证明不等式是不等式证明的常用利用综合法证明不等式是不等式证明的常用方法之一，即充分利用已知条件与已知的基本不等式，经过方法之一，即充分利用已知条件与已知的基本不等式，经过推理论证推导出正确结论，是顺推法或由因导果法推理论证推导出正确结论，是顺推法或由因导果法. .其逻辑其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就需保证前提正确，推依据是三段论

12、式的演绎推理方法，这就需保证前提正确，推理合乎规律，这样才能保证结论的正确理合乎规律，这样才能保证结论的正确. .18【变式训练变式训练】设设a0,b0,a+b=1,a0,b0,a+b=1,求证：求证： 8.8.【证明证明】a+b=1,a+b=1, = = =2+2 =2+2+4=8.2+2 =2+2+4=8.故故 8,8,等号成立的条件是等号成立的条件是a=b= .a=b= .111abab111abababababababbaab11abab 2b aababa b()2111abab1219 分析法的应用分析法的应用【方法点睛方法点睛】分析法的特点与思路分析法的特点与思路分析法的特点和思

13、路是分析法的特点和思路是“执果索因执果索因”，即从，即从“未知未知”看看“需需知知”，逐步靠拢，逐步靠拢“已知已知”或本身已经成立的定理、性质或已或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等经证明成立的结论等. .通常采用通常采用“欲证欲证只需证只需证已知已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范的格式，在表达中要注意叙述形式的规范. .20【例例2 2】(2012(2012南通模拟南通模拟) )已知已知m0,a,bR,m0,a,bR,求证：求证： 【解题指南解题指南】利用分析法，去分母后移项作差，最后变形可利用分析法，去分母后移项作差，最后变形可证证. .【规范解答规范解答】m0,1+m

14、0.m0,1+m0.所以要证原不等式成立，所以要证原不等式成立，只需证明只需证明(a+mb)(a+mb)2 2(1+m)(a(1+m)(a2 2+mb+mb2 2),),即证即证m(am(a2 2-2ab+b-2ab+b2 2)0,)0,即证即证(a-b)(a-b)2 20,0,而而(a-b)(a-b)2 200显然成立，故原不等式得证显然成立，故原不等式得证. .222ambamb().1 m1 m21【反思反思感悟感悟】1.1.逆向思考是用分析法证题的主要思想，通逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件. .正确把握转化方

15、正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键向是使问题顺利获解的关键2.2.在求解实际问题时，对于较复杂的问题，可以采用两头凑在求解实际问题时，对于较复杂的问题，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价的办法，即通过分析法找出某个与结论等价( (或充分或充分) )的中间的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，使原命题结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，使原命题得证得证22【变式训练变式训练】已知已知a,b(0,+),a,b(0,+),求证：求证： . .【证明证明】因为因为a,b(0,+)a,b(0,+)，要证原不等式成立，要证原不等式成立, ,只需证只需证 6 6 6

16、 6, ,即证即证(a(a3 3+b+b3 3) )2 2(a(a2 2+b+b2 2) )3 3, ,即证即证a a6 6+2a+2a3 3b b3 3+b+b6 6aa6 6+3a+3a4 4b b2 2+3a+3a2 2b b4 4+b+b6 6. .只需证只需证2a2a3 3b b3 33a3a4 4b b2 2+3a+3a2 2b b4 4. .1333(ab )1222(ab )1333(ab )1222(ab )23因为因为a,b(0,+),a,b(0,+),所以即证所以即证2ab3(a2ab2ab)6ab2ab成立成立, ,以上步骤步步可逆以上步骤步步可逆, ,所以所以 .nx

17、nxxn+1,nNn+1,nN+ +) )至多有至多有n-1n-1个个( (即即xnx0,-30,且且(x-1)(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2+(z-1)+(z-1)2 20,0,a+b+c0,a+b+c0,这与这与a+b+c0a+b+c0矛盾矛盾. .因此因此a,b,ca,b,c中至少有一个大于中至少有一个大于0.0.23640【反思反思感悟感悟】反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、矛盾可以是：与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等方面，反证法常常是解决公理、定理

18、矛盾，与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些某些“疑难疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器器. .41【变式训练变式训练】在在ABCABC中，中，A A，B B，C C的对边分别为的对边分别为a,b,a,b,c c，若，若a,b,ca,b,c三边的倒数成等差数列，求证：三边的倒数成等差数列，求证：B90B90. .【证明证明】假设假设B90Ba,bc.ba,bc. , , , ,相加得相加得 + + + + 这与这与 + + 矛盾矛盾. .故故B90B90不成立不成立. .因此因此B90B0,ac+bd0,要分两要分两种情况分析，可证种情况分

19、析，可证. .2222(ab )(cd )44【规范解答规范解答】(1)(1)当当ac+bd0ac+bd0时，时， 0,0,2 2分分故不等式显然成立，此时故不等式显然成立，此时a=b=c=d=0a=b=c=d=0时等号成立时等号成立. .4 4分分(2)(2)当当ac+bd0ac+bd0时，要证原不等式成立，只需证时，要证原不等式成立，只需证(ac+bd)(ac+bd)2 2(a(a2 2+b+b2 2)(c)(c2 2+d+d2 2), ), 6 6分分即证即证a a2 2c c2 2+2abcd+b+2abcd+b2 2d d2 2aa2 2c c2 2+a+a2 2d d2 2+b+b

20、2 2c c2 2+b+b2 2d d2 2. . 8 8分分即证即证2abcda2abcda2 2d d2 2+b+b2 2c c2 2, ,即即0(bc-ad)0(bc-ad)2 2. . 1010分分a,b,c,dR,a,b,c,dR,上式恒成立，故不等式成立，此时等号成立的条件为上式恒成立，故不等式成立，此时等号成立的条件为bc=ad.bc=ad.由由(1)(2)(1)(2)知原命题成立知原命题成立. . 1212分分 2222(ab )(cd )45【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：下失分警示和备

21、考建议： 失失分分警警示示 在解答本题时有两点容易造成失分：在解答本题时有两点容易造成失分：(1)(1)不去分类，而是直接平方作差判断不去分类，而是直接平方作差判断. .(2)(2)在平方作差变形时运算失误或对等号成立的条件在平方作差变形时运算失误或对等号成立的条件说明不到位而失分说明不到位而失分. . 46备备考考建建议议 解决此类不等式证明问题，还有以下几点容易造成失解决此类不等式证明问题，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注分，在备考时要高度关注: :(1)(1)对常用三种不等式的证明方法：综合法、分析法、对常用三种不等式的证明方法：综合法、分析法、反证法的解题过程与推理形式理解

22、不到位反证法的解题过程与推理形式理解不到位. .(2)(2)用反证法证题时反设错误用反证法证题时反设错误. .(3)(3)已知条件较多，表达不清，逻辑混乱已知条件较多，表达不清，逻辑混乱. .另外要熟练掌握求差比较及简单的放缩证明等方法另外要熟练掌握求差比较及简单的放缩证明等方法. . 471.(20121.(2012南阳模拟南阳模拟) )在证明命题在证明命题“对于任意角对于任意角,cos,cos4 4-sin4=cos2”sin4=cos2”的过程：的过程：“coscos4 4-sin-sin4 4=(cos=(cos2 2+sin+sin2 2)(cos(cos2 2-sin-sin2 2

23、)=cos)=cos2 2-sin-sin2 2=cos2”=cos2”中应用了中应用了( )( )(A)(A)分析法分析法 (B)(B)综合法综合法(C)(C)分析法和综合法综合使用分析法和综合法综合使用 (D)(D)间接证法间接证法【解析解析】选选B.B.从已知条件出发，推出要证的结论，满足综合法从已知条件出发，推出要证的结论，满足综合法. . 482.(20122.(2012咸阳模拟咸阳模拟) )用反证法证明命题：用反证法证明命题：“三角形的内角中三角形的内角中至少有一个不大于至少有一个不大于6060度度”时，反设正确的是时，反设正确的是( )( )(A)(A)假设三内角都不大于假设三内角都不大于6060度度(B)(B)假设三内角都大于假设三内角都大于6060度度(C)(C)假设三内角至多有一个大于假设三内角至多有一个大于6060度度(D)(D)假设三