递归数列通项求解2012年9月

1、递归数列通项求解2012年9月Si （n=1）,一、形如：f（an,Sn）=0,用公式an=将其转化为Sn递推式或an的递推式Sn Sn-1（n2）,求解例1 ：已知正项数列an满足Sn=（ an+丄）,求an的表达式2an提示：将an Sn Sn i代入Sn=1（ an+ ）消a*得S： £ i 1，数列 S是一个等差数列，、 1 1 1或 S1=2( an+ 石),与 Sn 1©an-）相减1得an aan 11两边平方得a： 2 a； 1an12an 1即数列1an为等差数列,OOOOOOOO所以 an 一 n n 1例2：已知数列an的前n项和为Sn, an>

2、0, a1=12且满足4Sn=aj+2an 120,求an的通项公式32anSn , sn 为 an 的前 n答案an n提示：易得an an 1 2。得 an 2n 10例3，设正项数列an对一切n N*都有a3 a； a32项和.（1）求证：an 2Sn an（ 2）求an的通项公式例：已知a1= 1, an+1= an + 2 n S 求 anan =2n+1 -3三、形如:an+1 = an f(n), a1 已知,二、形如:an+1 =an+ f(n)型,求ann 1n1n1n 1用累加法,ak1akf k得aria1f kk 1k1k1k 1或迭代法anan1 fn1an 2f n

3、2f n 1a1f1 f2 .fn 2fn 1n 1n 1p- -jz.辛壬口卄a1ak 1aka1fk或者差和法：ank 1k 1用累积法:或迭代法：an an j f n 1 an 2f n 2n 1冃f 1 f 2 .f n 1或者换元法：化为 一乩，其中 为常数，数列为等比数列g n 1 g ng n例1:已知数列an ,bn满足31= 1,b1 = 4,数列an的前n项和为Sn满足nSn+1 (n+3) Sn=0,2an+1为bn与bn+1的等比中项，求 3n, bnn(n21),bn(n 1)2提示易有Sn 1SnSn(n1)(n2)(n 3),为常数列n(n 1)(n 2) n(

4、n 1)(n 2)例 2： a11,a2(n1)an 1 an 2,( n 3).求 an提示化为anan 1(an 1nan2),累积得anan 11孑，再求和答案an7k!例3已知a11,an,(nN ,n 2)(1)求an(2)设数列bn前n项和Snlog 2an4n(n 1)例4:已知a1(2)记bn(n16,Snn(n 1)2)an证明答案(1)2an.(1)求 ann2(n+1)an(2) bnn 3答案(1)an (n 1)(n2)(2 )略四、形如：an+1= pan+ q, a1 已知,2p an 2用迭代法：anpan 1 q(p, q为常数3q p an 3pqpqn 1

5、n 2.=pa1p q2p p pq q或两边同减X,化递推式为xp q,得X 1 p所以an x成以印 X为首项,公比为q的等比数列，从而求出 an或与an pan 1 q相减得an+1anp(an an 1)则 an+1 an 为以a2 a1为首项以p为an公比的等比数列，求出an 1 an通项公式，再用差和法或与原递推式联立求出或将递推式化为 旦需=竺+ q(-)n+1,如型二求解PPP答案：an 2g3n 11例：已知 a- = 1, an+1 =3 an+ 2,求 an五、形如：a1= a, an+1= pan+ r qn若p=q，则旦需=卑 +匚化为二PPP若pzq，则变为給=竺+

6、 r(q)n，如二p ' pp 丿或变为尘 E旦！匚如四n 1n小 iq q q q或待定系数法：两边同加上 xqn 1整理得an+1 xqn 1p(anqn),pxq为首项以p为公比的等比数列令x Xq-,得x=则an+ x qn为以 a1p p-q从而求出an例 1 :已知 a1 = 1, an+1 = 3an + 5 2 n+1,求 an提示数列 an 5g2n 1是首项为21公比为3的等比数列，答案 an7g3n 5g2n 1n 1例2设ao为常数，且an 32an仆(n N*)1(1) 证明对任意 n 1.an - 3n ( 1)n 12n ( 1)n 2na05 1(2)

7、假设对任意n 1.有an an 1.求a0的取值范围。答案0厂3六、形如：a1= a, an+1= pan+ f(n),求 an类似五变形，用待定系数法化为an 1 g n 1p(ang n ),构造等比数列解之其中g n与f n同型同构例 1.已知 a1 = 1, an+1=3 an+ 2n+ 1 + 5 2 n+1，求 an提示化为 an 1 (n 2) 5g2n 23® (n 1) 5g2n 1答案：an23g3n 1 5g2n 1 n 1例 2.已知 a1 = 1, an+1=3 an+ (2 n + 1) 2n+1，求 an提示可化为 ani (2n7)2n 23E (2n

8、5)2n 1答案：n 1n 1an 29g3(2n 5)g七、形如：an 2 f n 1 an+1 an =f(n),a1 已知.由 anf n可对 an分奇数项、偶数项分别求通项。或对递推式两边取对数成类型五解决2 1例1 ：已知无穷数列an相邻两项an, an+1是方程x Cnx+ (§)"=。两根，玄11。求Ci + C2 + C3+ Cn+a19提示易得亠 对an ,Cn分奇数项，偶数项分别求通项。答案()an321例 2：已知数列an满足 a1 = 1, a2= ，且3+( 1)n an+2 2an+ 2( 1)n 1 = 0求an设bn= a2n - 1 a2n

9、 ,求数列 bn的前n项和为Sn提示：对n分奇偶性讨论。(1)易得a2k 21a2k > a2k 1a2k 12 即 a2k 是公比2为1的等比数列,2a2k 1是公差为2的等差数列(2)对n分奇偶性讨论：略答案当n为奇数时，an n.当n为偶数时an2n 32n八、形如：an+1= f(n) an + g(n), a1 已知.nan + 2( n +1) 例1 :已知an满足a1= 1,对任意n N , an+1 =求an1若bn=扃,数列an的前n项和为Sn证明SnV 3提示化递推式为(n 1)(n2)amn(n 1)an22(n1),再用差和法答案(1)an(n 1)(n1 2)(

10、2)提示bn12 n(n1) (n 1)(n2)九、整式线性递归数列:a1 = a, a2= b,且 an+2=p an+1+ qan,求an用待定系数法：两边同减去xan 1，化简整理得an 2xan 1(P x)(an 1-an)x Pq。设其两根为x1, x2.则X|1x1an)若X1X2 R.则原递推式可化为an 2 X& 1 X2(an及an 2x2an 1x1(an 1x2an)即an 1x1an是以a2x1a1为首项以x2为公比的等比数列。an 1X2an是以a2 X2ai为首项以Xi为公比的等比数列。所以:an 1Xian(a?为印“；1鸟1 X2an(a： X2a1)

11、x o o o(2 )联立解得an若XiX2(P)则有an 22空n1舟(12 2-an 是以a2 a1为2 2首项以p为公比得等比数列。2所以an 11n 1o两边同除以卫 得2an 1n 1P2annP2a?a122_P2O即数列P2是一个等差数列，从而可导出an若X!,X2为虚数,则数列 an为周期数列。1: 已知 a1 = 1, a2= 5, an+1 = 5an 6 an-1,求 an答案an 32n2:已知 a1 = 1, a2= 2, an+1 = 6an 9 an-1，求 an答案an (4n)3n 23: 已知 a1 = 1, a2= 3, an+1 = an an-1，求

12、an答案：1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, 2, -1 ,。表达式an cos n_135、3 n 1 sin33例4：已知数列 an满足：a1a2 1,an 2an 1an.(n求证：an 1 口亦 21 .5 n2十、形如： a1= a, a2= b,且 an+2=p an+1+ qan + f(n), 变形如九，或用九变形成六求an由x2PX q得两根X1, X2。则递推式可化为 an 1"nX2(an Xan 1) f(或X2anX1 (an X2an 1) f n )。记 an 1XnbnX20 1f n成型六可得bnan。特殊的当fr且p+r 1时递推

13、式可化为an 1 X p(an x) q(an 1 x).(其中 r px qx r)成型九例 1:已知 a1 = 1, a2= 5, an+2=5an+1 6an+ 2,求 anan 1成型九提示化递推式为 an 2 1 5(an 1 1) 6(an 1),令bn答案 an3n 2n 1例2：设数列an , bn满足a01. b00 且 k 17an 6bn 3, bn 1 8an 7bn 4.提示:bn 得 an 114anan化为an 114 an法同上例1得an122，再证-.3_ n2 .,3N例3 :已知13,bnan1bn44提示anbn数列1an印2,01.an34an4bn1

14、1 且1 ° (n>2)求 an,bn1an1 bn1 2，an bn 2(an1 bn1)annbn例 43:已知 a1= 1, a2= 5, an+2=5an+1 6an+ 5n+2,求 an提示易得数列an 1 2an5 n 9首项31公比为3的等比数列，数列244an 1 3an 5n 7是首项为14公比为2的等比数列。答案a.31池n17g2n519n 一24例 5:已知 a1 = 1, a2= 5,an+2=5an+1 6an+ 2“ 1,求 an求证：an是完全平方数提示易得数列 an 1 2an 2n1首项为7公比为3的等比数列，数列an ；n汽 是首项为1公差

15、为1的等差数列。答案an 7理1 (n 2)2n若S=0,则1 =an+1> i+ p，记 bn=i，则bn 1qbn卫，b1丄化为型四r r q十一、分式线性递归数列：ran + sa1= a，an+1= p an+ q( PF 求 an(r px) anqx s若S丰0 , 两边同减X 得 an 1X r px，令 x qx s即pan qr pxXrX s r求得X1 X2PX q若X1X2 则有 an 1 X(rpx)(anX)记 anxbn ,则 bn 1(r pX)bn 为 s0pan qpbn q px的型式,若 XiX2可得 aniXi(PXl)GXl)及 aniX2&q

16、uot;2)®pan qpanq两式相比得an 1 X1(r pX|) anX1，所以an X1是以a1X1为首项，以an 1X2rpX2anX2anX2a1X2r pX1为公比的等比数列，从而可求出anX1的通项公式，再求出an的通项公式r px?an X2若Xi,X2是虚数，则数列 an是有限数列或周期数列。例 1 ：已知 a1 = 2, an +1 =4an 2右，求an答案an6g5n 14g6n 14c6n 1 3g5n 1提示递推式化为 an 11an 12an 1an 2是等比数列例2：已知ai = 1,an+1 =an 1右，求an答案an1提示可化为 一an 1an

17、-,数列2是等差数列例3已知a02.an2an 16an 1(n)求an提示:递推式可化为1 3an 1 2anan3an2易得a3g4n1 2g 1)n14n ( 1)n例4:数列Xn中,Xj1 且 Xn1Xn1(1)1设an j=,求数列Xn 2an的通项公式(2)设 bn |Xn,2 |,数列bn的前n项和为Sn，证明：Sn答案:（1）an12 "23:2 4 1,2例5:已知ai = 1,提示可化为an 12anan+1= 3 5n an+ 4，求 an-3g5n，先求2anan十二、非线性递推数列1配方例1:已知正项数列证明anV an+1V 2提示（2）配方为2例2：已知

18、数列a,(2)略答案an25n 3g2nan中，ao= 1, an+1 = an(4 an)( n N)an求2an的表达式2an再取对数解决。an1 2n 121 2满足aoan an 1 2nann2(n Nnk求证 akCnk 1n 1n2提示：递推式可化为 an(an 1、2n） 可得anan2例 3:已)知 a 1 = 4, , an+1 =2an 2,，求 an提示用比例性质化为一也-12 ananan2,取对数解决。2n 1 122 112n例4：已知a1an 1(n 1)a；2nan n求an提示：an(n2nanan 12nananan 1 (n 1)anan n易得色an2

19、“ 1所以ann?n 12 1例5：已知a11.a2an2anbnanbn求 an,bn提示：易得an1bn 1anbn.4，消 bn 得 ana； 42anan 12an 122an2an 2推得：an3n 13n 1bn 22 1般地、anAa2 BCan的通项公式，可用函数DAx2Cx DB的不动点来求，在C 2A时，xAx2Cx Da有两个相异实根X1 X2则1ananX1an X2例6:已知ai = 3,an'+ 3 anan+1=盂,求an提示用比例性质可化为an 11an 11an1an13,再取对数解决。an3n 13n 12换元 例1 :已知a1 = 2 , an+1

20、 = an + 1 + 4a n+ 1,求证对一切n N*,an N设bn、.、4an 1 得 bn 1bn2.答案 an n(n 1)例2：已知a11,an 116(14an1 24an)。求 a24anbn ,有 bn 1131bn5可由型四求bn再求an答案an 3例3:已知数列Xn满足2 二X13, xn+1Xn + 3 +求Xn表达式1 1证明S1+y+1 1 12Xn+ 1,且数列Xn的前n项和为3319v _Sn 4Sn提示：设bn12Xn 1 则 bn 1bn 2，b1 3可得bn 2n 1从而可得Xn答案（1 ） xn例4：已知数列an，bn满足,bo = 1,且 an+1

21、=21 + bn2 11 '； 1 an , bn+1 = 'bn证明：2 n+2 anvn v 2n+2 bn提示设ansinn , bitan n得an sin尹,bn tan尹，再由x时，sinx x tanx 即证例 5：已知 ao 2,a_1 J。求 an提示设anCOS n， n0,. COS n COS n i2则 n是等比数列谷木an COS3g2n例6设p(x)x2 2.已知a0a 且an 1p(an)(1)若a . 3求an(2)提示(1 )易得lanl2 设an2cosn 1 2COS 2 n,n 12 n.(2)易得 |an| 2an2设anXn2 21

22、1an 1an2XnXn 1XnXn1其中X)X。14.X。23答案3转化为线性右a4求an2cos n,n(0,)则a 2cos且6j 1J 1n2c2n-g2oan2cos6331,(Xn1)Xn22n2n2nXn1Xn易得XnX .anX0X。2n2nan2、32例1 :已知x11.x22且xn 22XnXn 1求Xn提示：取倒数得1 1111亠 1一记 yn有 yn 2yn 12 Xn 12XnXn2xn xn 1Xn 2-yn成型九2求出yn再求Xn答案Xn例 2 :已知 a1 = 1 , an+1 = 2an+ *?3an2+ 1，求 an提示移项平方整理得 a21 4anan 1

23、 a： 1 0进而a： 1 401a2 1 0由一元二次方程根与系数关系得an 1 an 1 4an可用型九解之得12 <32 'J例 3 :已知 a1 = 0, an+1 = 5an+ 24an2 + 1,求 an N提示：法同例1 得 an 110anan 1再用整数性质证之例4:已知a a?a31 且 an 31an 1an 2。求anan°n 1 an 1an 1an 3令bn 1提示递推式可化为an 1an 1则 bi2,b23.且bn 1bn 3b2n 12,b>n例5:已知正项数列anana2n 1an 2ana2n 1 2a2n 且 a2na2n3

24、a2n 1再解之满足a12,2an 1 an2an an 1anan(1)求an(2)设Snnak ,Tnk 14.确定最小正整数n使SnTn为整数提示：原递推式可化为k i aka； 1数列a； 1an 1anan为以91a1|为首项以2为公比的等比数列1答案（1）an（2n 13十三、归纳，猜想与论证解决数列通项.22n 2 9)。SnTn%271)2n.n小=91：已知11x+ - = 2cos 0，且an= Xn+飞求an关于B的表达式x答案2:已知答案3:已知an 2cos n答案ana1 = 1, an+1 = ancosx+ cosnx,求 ansin nxan；sin x1a1 = 1, a2=413n 2an+1 = 12二ni色求 ann an例4:已知数列an满足a12a26(1)求an的通项公式(2)令