正余弦定理(老师)

1、正、余弦定理（复习）一、学习目标1理解并掌握正、余弦定理，并会用它解三角形2. 综合应用正、余弦定理解决一些问题二、常用结论1、三角形中的一些常用结论内角和定理： 边角关系： , , , 2、正弦定理：设分别为ABC中角A，B，C的对边，R为外接圆的半径，则有_ =_=_=_变形一（化边为角）：_变形二（化角为边）： 变形三（三角形的面积公式）： 3、余弦定理：设分别为ABC中角A，B，C的对边，R为外接圆的半径，则有 ， ， 常用变形：_4、解三角形_ _叫解三角形（1） 正弦定理可解决以下两类问题： （2） 余弦定理可解决以下两类问题： 三、常见题型题型一：解三角形例1 已知下列各三角形中

2、的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解？有解的解三角（1）a=7，b=8，A=105°；（2）a=10，b=20，A=80°；（3）a=5，A=30°。【变式】1、在中，若，A=300，试讨论当b为何值时（或什么范围内）三角形有解，两解，无解？练习2：在中，求的值。在中，已知，求A,C和c练习3、ABC中，求c的值.思路点拨：已知两边和其中一边的对角，求第三边.思路1：用正弦定理求出B，进而求得C，再利用正弦定理求得c边.思路2：用余弦定理得到关于c的一元二次方程，可直接求得c边.题型二：三角形面积公式的应用例2已知中， ，, 求、及外接圆的半径。思路点拨:根

3、据已知条件，先用正弦定理求出角，再用正弦定理的变形公式求的面积及外接圆的半径.解析：， ， ， 或，当时，外接圆的半径；当时，此时，外接圆的半径。【变式1】在中，求的面积.【变式2】已知：圆内接四边形中，求四边形的面积.【答案】如图：是圆内接四边形，, 根据余弦定理：=即：， ， 。即四边形的面积.题型三：判断三角形的形状例3判断下列三角形的形状：(1)a=6，b=8，c=10；(2)a=6，b=8，c=9；(3)a=6，b=8，c=11思路点拨:已知三边判断三角形的形状，通常先用勾股定理判断是否为直角三角形，斜三角形再用余弦定理判断最大边所对角的余弦值的符号。解析：(1)因为a2+b2=62

4、+82=100=102=c2，所以三角形为直角三角形.(2)因为abc，所以ABC，又， 所以三角形是锐角三角形.(3)因为abc，所以ABC，又， 所以三角形是钝角三角形.举一反三：【变式1】在ABC中，根据下列条件决定三角形形状.(1)； (2).【答案】(1)由 ， 则该三角形为直角三角形；(2), ， 由正弦定理得：, 中，, , ,即， 或,即：或， 是等腰或直角三角形.【变式2】根据下列条件，试判断ABC的形状.（1）；（2）bcosA=acosB；（3）a=2bcosC【答案】（1）解法一：余弦定理化为边的关系 由得， 整理得，即， 当时，为等腰三角形； 当即时，则为直角三角形；

5、 综上：为等腰或直角三角形。 解法二：正弦定理化为角的关系 由，得，即 ，或, 即：或，是等腰或直角三角形.（2）解法一：正弦定理 由bcosA=acosB得2RsinBcosA=2RsinAcosB， 即sin(B-A)=0，于是B=A， ABC为等腰三角形. 解法二：余弦定理 由bcosA=acosB得，即a2=b2， 所以a=b，ABC为等腰三角形.（3）解法一：正弦定理 由a=2bcosC得2RsinA=4RsinBcosC，有sin(B+C)=2sinBcosC，得出sin(B-C)=0， 即B=C，ABC为等腰三角形； 解法二：余弦定理 由a=2bcosC得，得b2=c2， 即b=

6、c，ABC等腰三角形.变式训练：钝角三角形的三边分别为a,a+1,a+2，其中最大内角不超过120°，求a的取值范围。题型四：正、余弦定理的简单应用例4、在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端对于上坡的斜度为15°，向山顶前进100m后，又从B点测得斜度为45°,设建筑物的高为50m，求此山对于地平面的斜度的倾斜角。练习1：要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距 km的C、D两点,并测得ACB=75°, BCD=45°,ADC=30°,ADB=45°,求 A、B之间的距离.解 如图所示在ACD中，ACD=120&

7、#176;，CAD=ADC=30°，AC=CD= km.在BCD中，BCD=45°，BDC=75°，CBD=60°.在ABC中，由余弦定理，得例5、如图所示，已知半圆的直径AB=2，点C在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上的 一个动点，以DC为边作等边PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值.解 设POB=，四边形面积为y，则在POC中，由余弦定理得PC2=OP2+OC2-2OP·OCcos =5-4cos .四、落实技能.测与评题组一正、余弦定理的简单应用1.(2009·广东高考)已知ABC中，A，B

8、，C的对边分别为a，b，c.若ac，且A75°，则b ()A2 B42 C42 D.解析：如图所示在ABC中，由正弦定理得=4，b=2.答案：A2在锐角ABC中，BC1，B2A，则的值等于_，AC的取值范围为_解析：由正弦定理得.即.2.ABC是锐角三角形，0A，02A，03A，解得A.由AC2cosA得AC的取值范围为(，)答案：2(，)3(2009·全国卷)在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2c22b，且sinAcosC3cosAsinC，求b.解：由余弦定理得a2c2b22bccosA.又a2c22b，b0，所以b2ccosA2.又sinAco

9、sC3cosAsinC，sinAcosCcosAsinC4cosAsinC，sin(AC)4cosAsinC，sinB4sinCcosA.由正弦定理得sinBsinC，故b4ccosA.由、解得b4.题组二利用正、余弦定理判断三角形的形状4.(2010·天津模拟)在ABC中，cos2，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为 ()A正三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形解析：cos2，cosB，a2c2b22a2，即a2b2c2，ABC为直角三角形答案：B5在ABC中，已知2sinAcosBsinC，那么ABC一定是 ()A直角三角形 B等腰三角

10、形C等腰直角三角形 D正三角形解析：法一：因为在ABC中，ABC，即C(AB)，所以sinCsin(AB)由2sinAcosBsinC，得2sinAcosBsinAcosBcosAsinB，即sinAcosBcosAsinB0，即sin(AB)0.又因为AB，所以AB0，即AB.所以ABC是等腰三角形法二：利用正弦定理和余弦定理2sinAcosBsinC可化为2a·c，即a2c2b2c2，即a2b20，即a2b2，故ab.所以ABC是等腰三角形答案：B题组三三角形面积公式的应用6.在ABC中，AB，AC1，B，则ABC的面积等于 ()A. B. C.或 D.或解析：由正弦定理知，si

11、nC，C或，A或，S或.答案：D7在ABC中，面积Sa2(bc)2，则cosA ()A. B. C. D.解析：Sa2(bc)2a2b2c22bc2bc2bccosAbcsinA，sinA4(1cosA),16(1cosA)2cos2A1，cosA.答案：B8(2009·浙江高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos，·3.(1)求ABC的面积；(2)若c1，求a的值解：(1)因为cos，所以cosA2cos21，sinA.又由·3，得bccosA3，所以bc5.因此SABCbcsinA2.(2)由(1)知，bc5，又c1，所以b5，由余

12、弦定理，得a2b2c22bccosA20，所以a2.题组四正、余弦定理的综合应用9.若ABC的周长等于20，面积是10，A60°，则BC边的长是 ()A5 B6 C7 D8解析：依题意及面积公式SbcsinA，得10bcsin60°，得bc40.又周长为20，故abc20，bc20a，由余弦定理得：a2b2c22bccosAb2c22bccos60°b2c2bc(bc)23bc，故a2(20a)2120，解得a7.答案：C10(文)在三角形ABC中，已知B60°，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为 ()A60° B75° C90

13、° D115°解析：不妨设a为最大边由题意，即，(3)sinA(3)cosA，tanA2，A75°.答案：B(理)锐角ABC中，若A2B，则的取值范围是 ()A(1,2) B(1，) C(，2) D(，)解析：ABC为锐角三角形，且A2B，B，sinAsin2B2sinBcosB，2cosB(，)答案：D11已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m(，1)，n(cosA，sinA)，若mn，且acosBbcosAcsinC，则角B_.解析：mn，cosAsinA0，tanA，A.acosBbcosAcsinC，sinAcosBsinBcosAsin

14、CsinC，sin(AB)sin2C，sinCsin2C，sinC0，sinC1.C，B.答案：12(文)(2010·长郡模拟)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C且(1)判断ABC的形状；(2)若|2，求·的取值范围解：(1)由及正弦定理得sinBsin2C，B2C，且B2C，若B2C，C，B，BC(舍)；B2C，则AC，ABC为等腰三角形(2)|2，a2c22ac·cosB4，cosB(ac)，而cosBcos2C，C，cosB1，1a2，又·accosB2a2，·(，1)(理)(2010·广州模拟)在ABC中，A

15、，B，C分别是三边a，b，c的对角设m(cos，sin)，n(cos，sin)，m，n的夹角为.(1)求C的大小；(2)已知c，三角形的面积S，求ab的值解：(1)m·ncos2sin2cosC，又m·n|m|n|cos，故cosC，0C，C.(2)SabsinCabsinab，又已知S，故ab，ab6.c2a2b22abcosC，c，a2b22ab×(ab)23ab.(ab)23ab18，ab.备用题：1在中，已知，且最大角为，求的三边长2在中，则等于_3在中，则的度数是_4（1）在中，若，则最大角的余弦值等于_（2）在中，若，则最大角的度数等于_5在中，则的值为_6在中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A，B，C， D，7已知三角形