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文档简介
1、第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 第第 7 章章 离散信号与系统的离散信号与系统的Z域分析域分析7.1 Z变换变换 7.2 双边双边Z变换的性质变换的性质 7.3 Z逆变换逆变换 7.4 单边单边Z变换变换 7.5 离散系统的离散系统的Z域分析域分析 7.6 离散系统差分方程的离散系统差分方程的Z域解域解 7.7 离散系统的表示和模拟离散系统的表示和模拟 7.8 系统函数与系统特性系统函数与系统特性 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 7.1 Z 变变 换换 7.1.1 从拉普拉斯变换到从拉普拉斯变换到Z变换变换 )()()()()()()(kTtkTfkTttfttftfkkTs对连续
2、信号f(t)进行理想抽样,即f(t)乘以单位冲激序列T(t), T为抽样间隔,得到抽样信号为 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 kskTssekTftfLsF)()()(kkzkTfzF)()(得令),()(,zFsFezssT取双边拉普拉斯变换得对)(tfskkzkfzF)()(第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 nzTsezsT11CkdzzzFjkf1)(21)(第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 7.1.2 双边双边Z变换的定义和收敛域变换的定义和收敛域 1. 双边双边Z变换的定义变换的定义 对于离散序列f(k)(k=0, 1, 2, ), 函数(z的幂级数)kkzkfzF)(
3、)(称为f(k)的双边双边Z变换变换,记为F(z)=Zf(k)。F(z)又称为f(k)的象象函数函数,f(k)称为F(z)的原函原函数数。为了表示方便,f(k)与F(z)之间的对应关系简记为 )()(zFkf第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 2. 双边双边Z变换的收敛域变换的收敛域 F(z)存在或级数收敛的充分条件是 kkzkf)(收敛域收敛域 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 例例 7.1 - 1 已知有限长序列f(k)=(k+1)-(k-2)。求f(k)的双边Z变换及其收敛域。 解解1111)2() 1()()(kkkkkkzzzzkkzkfzFzzzzkfkkkk11)(11zz
4、zzzzF11)(21 z0 z0所以,当所以,当 时式(时式(7.1-8)的级数收敛。于是得)的级数收敛。于是得(7.1-8)第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 例例 7.1- 2 已知无限长因果序列f(k)=ak(k)。求f(k)的双边Z变换和收敛域。 解解 f(k)的双边Z变换为kkkkkzazkazF)()(0)(kkkkzazkf所以,当|z|a|时F(z)收敛。于是得azzzazazazFkk201)(az 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 例例 7.1 3 已知无限长反因果序列f(k)=-ak(-k-1)。求f(k)的双边Z变换及其收敛域。 解解 f(k)的双边Z变换为11
5、)1()(kkkkkkkkzazazkazF1) 1(kkkkkzazka因为因为第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 并且k取负值。所以,当|z|a|。求f(k)的双边Z变换及其收敛域。 解解 f(k)的双边Z变换为 kkkkkkkkzbzazkbkazFkk10) 1()()(第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 )()()(1010bzazzbabzzazzzbzazbzazFkkkkkkkkkk|a|z|b| (7.1-12) 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 图图 7.1-1 例7.1-2、例7.1-3、例7.1-4图 (a)| a |oRezImz(b)| a |oRezImz
6、(c)| b |RezImzo| a |第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 (1) 有限长双边序列的双边Z变换的收敛域一般为0|z|0;有限长反因果序列双边Z变换的收敛域为|z|z0|,z0为复数、虚数或实数,即收敛域为半径为|z0|的圆外区域。 (3) 无限长反因果序列双边Z变换的收敛域为|z|z0|,即收敛域为以|z0|为半径的圆内区域。 (4) 无限长双边序列双边Z变换的收敛域为|z1|z|1|z|a|z|1|z|31|z|3由线性性质得由线性性质得第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 2. 位移位移(时移时移)性性 则有若,),()(zzFkf)()()()(zFzmkfzFzmkf
7、mmzz式中,式中,m为正整数为正整数第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 根据双边Z变换的定义,则有kkzmkfmkfZ)()(令 n=k+m, 则有kmnmkmnzFzznfzznfmkfZ)()()()()(第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 例例 7.2-2 已知f(k)=3k(k+1)-(k-2),求f(k)的双边Z变换及其收敛域。 解解 f(k)可以表示为)2(33) 1(33)2(3) 1(3)(2211kkkkkfkkkk3)(3zzkk3z第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 根据位移性质,得33) 1(321zzzzzkk)3(13)2(322zzzzzkk z33z根据
8、线性性质,得)3(327)3(9)3(3)()(32zzzzzzzkfZzF z3第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 3. 序列乘序列乘ak(Z域尺度变换域尺度变换) 则若,),()(zazFkfazFkfak)(azaa式中,式中,a为常数(实数、虚数、复数),为常数(实数、虚数、复数),0a证证 根据双边Z变换的定义,则有kkkkkkazkfzkfakfaZ)()()(第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 得令,1azz azFzFzkfkfaZkzzkk1)()()(1azaa|若若a=-1 , 则有则有)()() 1(zFkfk za |第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 例例 7
9、.2-3 已知 ),1(321)(1kkfkk求f(k)的双边Z变换及其收敛域。 解解 令f1(k)=3k+1(k+1),则有 )(21)(1kfkfk由于33)()(211zzzzzkfZzF3|z|第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 根据时域乘ak性质,得32432)2()2()(21)(2211zzzzzFkfZkfZzFk)(|23z第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 4. 序列域卷积序列域卷积 若若)()()()(2211zFkfzFkf2211zaza则)()()()(2121zFzFkfkf第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 证证 根据双边Z变换的定义,则有kkkkkzmk
10、fmfzkfkfkfkfZ)()()(*)()(*)(212121交换上式的求和次序,得 kkkzmkfmfkfkfZ)( )()(*)(1121式中,方括号中的求和项是f2(k-m)的双边Z变换。根据位移性质,有 )()(22zFzzmkfmkk)()()()()()()(*)(21212121zFzFzFzmfzFzmfkfkfZkmkm第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 例例 7.2-4 已知已知 ).()()(),2() 1()(),1()(2121kfkfkfkkfkkfk 求f(k)的双边Z变换和f(k)。 解解 由位移性质得 11)()(211zzzzzkfZzF) 1(11)
11、2(2zzzzzk1|z|1 由序列乘ak性质得 ) 1(1) 1(12-) 1()(2zzzzkZzFk)(|z|1 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 根据卷积性质,得 ) 1() 1(21) 1)(1()()()()()(2121zzzzzzzzFzFkfkfZzF|z|1 F(z)的原函数f(k)为 )() 1(21)(21)(kkkfk第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 5. 序列乘序列乘k(Z域微分域微分) 式中, m为正整数。 若f(k) F(z),|z|,则有 dzzdFzkkf)()()( z)()()()(2zFdzdzdzdzkfk z)()()(zFdzddzdzd
12、zdzkfkm z第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 证证 根据双边Z变换的定义,则有 kkzkfzF)()(kkkkkkkkzkfkzzkkfzdzdkfzkfdzddzzdF)()()()()()(11|z|a| (7.2 - 13)第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 式(7.2 - 13)重复应用位移性质和Z域微分性质,可得如下重要变换对: 1)() 1() 1()2)(1(!1mmkazzkamkkkkm于是得 3)(2)()(azzkfzzF第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 6. 序列除序列除(k+m)(Z域积分域积分) 若f(k) F(z), |z|, 则有 zmmdFzm
13、kkf1)()(|z|0。 若m=0,k0, 则有 zmdFmkkf1)()(|z| (7.2 - 16)第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 证证 由双边Z变换的定义 kkzkfzF)()(|z|0,故上式为 kkmmkkzmzmkkfzmkzkfdF)()()()()()(1上式两端乘以zm,得 mkkfzzmkkfdFzkkzmm)()()()(1即 zmmdFzmkkf1)()(|z|2 根据Z域积分性质式(7.2 - 16) , 则有 212212)2(11)(2)(zznznzdzkkzzFzzk|z|2 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 7. K域反转域反转 若f(k) F(
14、z),|z|,则有f(-k)F(z-1) 证证 根据双边Z变换的定义,则有 11 zkkzkfkfZ)()(第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 令m=-k,则上式为 mmmmzmfzmfkfZ)()()(1令z1=z-1,则 )()()()(111zFzFzmfkfZzzmm由于F(z)的收敛域为|z|,所以F(z-1)的收敛域|z-1, 即为 11 z第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 例例 7.2-7 已知f(k)=2-k-1(-k-1),求f(k)的双边Z变换F(z)。 解解 由于 2)(2zzkk2z根据K域反转性质 zzzkk2112)(21121z根据位移性质,则有 zzzzz
15、kk2121)1(21)1(第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 于是得 zzkZkZzFkk21)1(2)1(2)()1(121z第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 8. 部分和部分和 若f(k) F(z),|z|1 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 所以,根据卷积性质,得 )(1)()()(zFzzkkfmfkm)(1zFzz的收敛域应为|z|1和|z|的公共部分,故应为max(, 1)|z|1 根据部分和性质,则 21) 1() 1(1zzkmkmkm)(|z|1 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 令 21111) 1()()(),1()(zzzFkfmkfkm, 则有 )()
16、(1kfakfk由序列乘ak性质,得 221)(1)(azazazazazFzF|az 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 9. 初值定理初值定理 )()(zFkf)(lim)(zFzNfNz若kN(N为整数)时,f(k)=0,并且 |z| 证证 根据双边Z变换的定义 )2()1()2() 1()()()()(NNNkNkkkzNfzNfzNfzkfzkfzF第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 两端乘以zN,得 21)2() 1()()(zNfzNfNfzFzN取z 的极限,得 )(lim)(1zFzNfNz第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 10. 终值定理终值定理 )(1lim)(1
17、zFzzfz若k1 并且F1(z)在z=-1处有极点,所以 在单位圆上不收敛,f1()不存在,终值定理不适用。若根据终值定理求f1(),则有 )(11zFzz 011lim)(1lim)(1111zzzFzzfzz第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 (2) 求f2()。 由于 ,21) 1(234211)()(22zzzzzzzzkfZzF F2(z)在z=1有一阶极点, 的极点为 , 收敛域为 。因此,根据终值定理得 )(12zFzz 21z21z12134lim)() 1(lim)(1212zzzFzzfzz第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 7.3 Z 逆逆 变变 换换 7.3.1
18、双边双边Z逆变换的定义逆变换的定义 复变函数理论中的柯西公式为 Cmjdzz02m=-1m-1 序列f(k)的双边Z变换的定义为 kkzkfzF)()( |z| 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 CnkkCkknCndzzkfdzzkfzdzzF111)()()()(2)(1njfdzzzFCnCkdzzzFjkf1)(21)(把上式中的n用k代替, 得 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 7.3.2 双边双边Z逆变换的计算逆变换的计算 1. 幂级数展开法幂级数展开法 根据双边Z变换的定义,若f(k)为双边序列,则F(z)为z和z-1的幂级数,收敛域为|z|。即 )()()()()()(
19、2110zFzFzkfzkfzkfzFkkkkkk|z| 式中: 0211)()()()(kkkkzkfzFzkfzF|z| 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 若f(k)为因果序列,则F(z)为z-1的幂级数,收敛域为|z|,即 )()()(21zFzFzF3210) 3()2() 1 ()0()()(zfzfzffzkfzFkk若f(k)为反因果序列,k0时f(k)=0,则F(z)为z的幂级数,收敛域为|z|1,求F(z)的原函数f(k)。 解解 因为F(z)的收敛域为|z|1,所以其原函数为因果序列。第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 即 212253112)(zzzzzzzF于是得
20、 , 5)2(, 3) 1 (, 1)0(, 00)(, 0fffkkfk第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 例例 7.3-2 已知已知 ,12)(22zzzzzF|z|1,求F(z)的原函数f(k)。 解解 因为F(z)的收敛域为|z|1,故F(z)的原函数f(k)为反因果序列。 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 即 zzzzzzzzF13312)(2322于是得 0)(, 0, 5) 3(, 3)2(, 1) 1(, 0kfkfffk第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 例例 7.3-3 已知已知 , 31 ,322)(2zzzzzF求F(z)的原函数f(k)。 解解 F(z)的原函
21、数f(k)为双边序列。F(z)可以表示为 )()(31) 3)(1(2)(21zFzFzzzzzzzzF1|z|3 式中: 1)(3)(21zzzFzzzF13zz第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 2. 部分分式展开法部分分式展开法 若F(z)为有理分式,则F(z)可表示为 01110111)()()(azazazabzbzbzbzAzBzFnnnnmmmm式中,ai(i=0,1, 2, , n)、bj(j=0,1, 2, , m)为实数,取an=1。 若mn,F(z)为假分式,可用多项式除法将F(z)表示为 )()()()()()(210zAzDzNzAzDzczczcczFnmnmnm
22、nmzczczcczN210)(第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 设 为有理真分式, 可表示为 zzF)()()()()()()(21mzzzzzzzBzMzBzzF 用部分分式展开法求Z逆变换与部分分式展开法求拉普拉斯逆变换类似。但由于常用指数函数Z变换的形式为 ,因此, 一般先把 展开为部分分式,然后再乘以z,得到用基本形式表示的F(z),再根据常用Z变换对求Z逆变换。 azzzzF)(azz第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 (1) 的极点为一阶极点。 zzF)(zzF)(的部分分式展开式为 miiimmzzKzzKzzKzzKzMzBzzF12211)()()(式中的系数Ki的计
23、算方法为 izziizzFzzK)()(7.3 - 10)第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 式(7.3 - 10)两端乘以z, 得 imiizzzKzF1)(|z|zi| |z|2,所以f(k)为因果序列。 的极点全为一阶极点,可展开为 zzF)(求K1、 K2、K3, 得 1)(01zzzFzK第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 3)()2(3)() 1(2312zzzzFzKzzFzK于是得 23131)(zzzzzF故 23131)(zzzzzF|z|2 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 由于 1)(k1)(21)(zzkzzkk21zz 并且以上三个常用函数变换的收敛域的公共
24、部分为|z|2, 所以得F(z)的原函数为 )()2( 3)(3)()(kkkkfk第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 例例 7.3-5 已知 , 2,) 3)(2()(2zzzzzF求F(z)的原函数f(k)。 解解 因为F(z)的收敛域为|z|2,所以f(k)为反因果序列。对 进行部分分式展开, 得 zzF)(2233)3)(2()(zzzzzzzF于是得 3233)(zzzzzF|z|2 2) 1()2(3) 1() 3(zzkzzkkk|z|3 |z|2 ) 1()2() 3() 1() 3( 3)2(2)(11kkkfkkkk第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 例例7.3-6 已
25、知 , 32 ,) 3)(2)(1(3)(2zzzzzzzF求F(z)的原函数f(k)。 (1) 由于F(z)的收敛域为2|z|3,所以f(k)为双边序列。 展开为 zzF)(332512)3)(2)(1(3)(zzzzzzzzzF故有 332512)(zzzzzzzF2|z|1 |z|2 |z|2 |z|3 上面两个Z变换的收敛域的公共部分为2|z|3。 于是得 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 (2) zzF)(有重极点。 设 在z=z0有m阶重极点,另有n个一阶极点zi(i=1, 2, ,n), 则 可表示为 zzF)(zzF)()()()()()(210nmzzzzzzzzzBzz
26、F则 可展开为以下部分分式: zzF)(niimmmmzizKzzKzzKzzKzzF1011101101)()()()(第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 系数K1i(i=1, 2, , m)、Ki(i=1, 2, , n)的计算方法为 izziizzimmizzFzzKzzFzzimK)()()()()!(10)(01F(z)的部分分式展开式为 niiimiiizzzKzzzKzF1101)()(|z| 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 例例 7.3-7 已知已知 , 21 ,)2)(1(2)(2zzzzzF求F(z)的原函数f(k)。 解解 f(k)为双边序列。 zzF)(的部分分
27、式展开式为 zzzzzKzKzKzKzzzzzzF2113225)2(21)2()2()2)(1(2)(2211121222113225)2(2)(2zzzzzzzF1|z|2 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 1)(1) 1(2) 1(2)2() 1(221kzzkzzkzzkkkk|z|2 |z|1 所以 )(21)(3) 1(2)25()(21)(3) 1(225) 1(22)(11kkkkkkkkkkfkkk第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 (3) 有共轭复极点。 zzF)(例例 7.3-8 已知 :84)(2zzzzF(1) 若F(z)的收敛域为, 求原函数f(k); (2)
28、 若F(z)的收敛域为,求原函数f(k)。 22z22z第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 解解 (1) F(z)的收敛域为 22z 这种情况下,f(k)为因果序列。F(z)的极点为z1,2=2j2, 可展开为 zzF)()22()22()22(2)22(1)(21jzKjzKjjzzzF2*122221414141)()22(2jjjzejKKejzzFjK第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 于是得于是得 )(24cos)22(21kkk)()22(41)()22()22(41)(24244442keekeeeezFkjkjkkjjkjj第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 (2) F(
29、z)的收敛域为 .22z) 1(24cos)22(21)(kkkfk一般情况下,若F(z)有共轭复极点z1,2=cjd,并且令 jjrejdczrejdcz21则复极点对应的部分分式为 jjjjrezeKrezzeK11(7.3 - 18)第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 若式(7.3 - 18)的收敛域为|z|r,则其Z逆变换为 )()cos(21kkrKk若式(7.3 - 18)的收敛域为|z|r,则其Z逆变换为kkKkrKrk)cos()cos(2211112若式(7.3 - 21)的收敛域为|z|r,则其Z逆变换为第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 *3. 反演积分法反演积分法(
30、留数法留数法) 双边Z逆变换也可以根据其定义式计算,这种方法称反演反演积分法积分法。双边Z逆变换的定义为 CkdzzzFjkf1)(21)(-k 内极点CkzzzFskfi)(Re0)(1100kk第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 反因果序列f2(k)由F(z)中收敛域为|z|的部分决定,该部分用F2(z)表示。F2(z)的极点在半径为|z|=的圆上和圆外区域中,即在积分路径C的外部。根据留数定理,f2(k)等于积分路径C的外部区域内F(z)zk-1的极点留数之和并取负号, 即 )(Re)(Re)()()(1121kCzkCzzzFszzFskfkfkfii外极点内极点0)(Re)(12k
31、CzzzFskfi内极点k0k0 f(k)等于f1(k)与f2(k)之和,即 (7.3 - 27)第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 F(z)为有理分式时,F(z)zk-1的极点留数计算方法如下: 若F(z)zk-1在z=zi有一阶极点,则极点zi的留数为 iizzkrirrkzzzFzzdzdrzzFs)()()!1(1)(Re1111若F(z)zk-1在z=zi有r重极点 ,则极点zi的留数为 iizzkikzzzFzzzzFs11)()()(Re第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 RezImzoC图图7.3-1 F(z)的收敛域及反演积分路径的收敛域及反演积分路径第 7 章 离散信号
32、与系统的Z域分析 例例 7.3-9 已知已知 ,) 3() 1(4)(2zzzzF1|z|3,求F(z)的原函数f(k)。 解解 F(z)的原函数为双边序列。F(z)zk-1为 ) 3() 1(4)(21zzzzzFkk极点z1和z2的留数分别为 1121)() 1()(Re1zkkzzzFzdzdzzFskzkkzzzFzzzFs3)() 3()(Re3112第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 由式(7.3 - 27)得 ) 1(3)() 12() 12(3)(Re)(Re)(1112kkkkzzFszzFskfkkkzkzk0 k0 k0k0 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 7.4
33、 单单 边边 Z 变变 换换 7.4.1 单边单边Z变换的定义和收敛域变换的定义和收敛域 对于离散信号f(k),幂级数 0)()(kkzkfzF称为f(k)的单边Z变换,记为F(z)=Zf(k)。积分 CkdzzzFjkf1)(210)(k,收敛域为以|z|=为半径的圆外区域。有限长因果序列单边Z变换的收敛域为|z|0。 (k)的单边Z变换的收敛域为全Z复平面; (2) 对于不同的离散信号,其单边Z变换的收敛域必有公共部分。因果信号f(k)与其单边Z变换F(z)一一对应。因为这一特点,不再强调单边Z变换的收敛域。 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 7.4.2 常用序列的单边常用序列的单边Z
34、变换变换 azzzkazFkakfzzzkzFkkfzFkkfkkkkkk00)()()()() 3(1)()()()()2(1)()()() 1 (|z|1 |z|a| 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 jkkkjkjezzzkezFkekf0)()()()(|z|1 (4)() 1()2)(1(!1)(kamkkkkmkfmk(5)1)()(mazzzF|z|a| 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 7.4.3 单边单边Z变换的性质变换的性质 1. 位移位移(时移时移)性质性质 若f(k)F(z),|z|,则 )()()()()()()()()(1010zFzmkmkfzmkfzFz
35、mkfzkfzFzmkfmmkkmmkkmm|z| |z| |z| 式中,m为整数,m0。 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 根据单边Z变换的定义,则 kkzmkfmkfZ0)()(imiiimimimmimizifzifzzifzzifmkfZ100)()()()()()(令和式中的k+m=i,则 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 用k代替i,得 1010)()()()()(mkkmmkmkkmimzkfzFzzkfzkfzmkfZ根据单边Z变换的定义,则 kmkkkzmkfzmkmkfmkmkfZ)()()()()(0令k-m=i,得 )()()()()(00)(zFzzifzzi
36、fmkmkfZmiimiim第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 例例 7.4-1 求(k-m)和(k-m)(m0)的单边Z变换。 解解 由于(k)和(k)是因果信号,并且 1)(1)(zzkk|z|1 11)()(1zzzzzmkzmkmmm|z|1 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 例例 7.4-2 已知f(k)=ak-2,求f(k)的单边Z变换F(z)。解解 f(k)为非因果信号。令f1(k)=ak,则f1(k)的单边Z变换为 azzkaZaZzFkk)()(1|z|a| 根据位移性质 , 则azzazaaazzzzazFzzkfzFzkfZaZzFkkkkkk21122102121
37、011212)()2()()2()(|z|a| azzakaaZkaZaZzFkkk2222)()()(或者 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 2. 卷积性质卷积性质 若f1(k)、f2(k)为因果序列,并且 )()()()(2211zFkfzFkf|z|1 |z|2 则 )()()()(2121zFzFkfkf|z|max(1, 2) 单边Z变换的卷积性质要求f1(k)、f2(k)为因果序列,而双边Z变换的卷积性质则无此限制。 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 例例 7.4-3 已知f1(k)和f2(k)均为因果序列, , N为正整数,f(k)=f1(k)*f2(k)。求f(k)的单
38、边Z变换F(z)。 解解 根据位移性质,则 )()(02mNkkfmmNzmNk)(|z|0 根据线性性质,则 020221 )()()(mNNmNmzzzmNkZkfZzF(7.4 - 13)第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 式(7.4 - 13)的幂级数在|z|1时收敛, 于是得0211)(mNmNzzzF设f1(k)的单边Z变换为F1(z),收敛域为|z|。根据卷积性质,得 NzzFzFzFkfkfZzF1)()()()()()(12121|z|max(1, ) 若f1(k)为有限长因果序列,序列长度小于N,则 001121)()()()()()(mmmNkfmNkkfkfkfkf第
39、 7 章 离散信号与系统的Z域分析 3. 部分和性质部分和性质若f(k)F(z),|z|,则有 kmzFzzmf0)(1)(|z|max(1, ) 证证 因为 kmmmfmkmmfkkkf0)()()()()()()(并且,f(k)的单边Z变换为 )()()()(kkfZkfZzF|z| 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 所以,根据卷积性质,得 )(1)()()()()()( )(0zFzzkZkkfZkkkfZmfZkm|z|max(1, ) 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 例例 7.4-4 已知已知)()(,2) 1()(101kkfkfkfkmmk求f(k)的单边Z变换F(z)
40、。 解解 设 ,2)(02kmmkf 则 )()(1kkfkf 根据部分和性质,得 )2)(1()2() 1()()(222zzzzzzzkfZzF根据序列乘ak性质,则 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 )2)(1(1)() 1()(2221zzzzFkfZzFk|z|2 根据序列乘k性质,则 22211)2() 1()43()()()()()(zzzzzFdzdzkkfZkfZzF|z|2 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 7.4.4 单边单边Z逆变换的计算逆变换的计算 1. 部分分式展开法部分分式展开法 例例 7.4 5 已知 |z|3, 求F(z)的单边Z逆变换f(k)。 ,)
41、 3)(2()(32zzzzF解解 首先对 进行部分分式展开。 的部分分式展开式为 )2() 3() 3() 3() 3)(2()(2112123133zKzKzKzKzzzzzFzzF)(zzF)(第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 有一阶极点z=2, 有三重极点z=3。各系数分别为 zzF)(2)()2(4)() 3()!13(12)() 3()!3(13)() 3(2233221133123313zzzzzzFzKzzFzdzdKzzFzdzdzKzzFzK第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 于是得 ,)2(2) 3(4) 3(2) 3(3)()(23zzzzzzzzzzFzzF |
42、z|3 )(2)(3342521)(2234323) 1(23)(11212kkkkkkkkkfkkkkkk 若F(z)有一阶共轭复极点,F(z)的单边Z逆变换可用例7.3 - 8(1)的方法计算,也可根据式(7.3 - 18)和式(7.3 - 19)计算,该式表示的变换对为 jjjjkrezeKrezeKkkrK111)()cos(2第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 *2. 反演积分法反演积分法(留数法留数法) 单边Z逆变换可以根据定义式直接求解,称反演积分法。单边Z逆变换的定义为 dzzzFkfkC1)(210)(k。C为收敛域中围绕坐标原点逆时针方向的围线。根据双边Z逆变换反演积分法
43、,单边Z变换F(z)的逆变换f(k)等于围线C内F(z)zk-1的极点留数之和,即 内极点CkzzFskf)(Re0)(1k 即H(z)是系统单位序列响应h(k)的单边Z变换。 H(z)称为离散系统的系统函数离散系统的系统函数,zk称为系统的特征函数系统的特征函数。 式(7.5 - 3)表明,离散系统对基本信号zk的响应等于zk与系统函数H(z)的乘积。 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 7.5.3 一般信号一般信号f(k)激励下的零状态响应激励下的零状态响应 若离散系统的输入为因果信号f(k),其单边Z变换为F(z),则f(k)可以分解为基本信号zk之和,如式(7.5 - 1)所示。 对
44、于围线C上任一z,根据式(7.5-3),信号zk产生的零状态响应为zkH(z)。 zk与其响应的对应关系表示为 kkzzHz)(根据线性系统的齐次性,对于围线C上任一z, 为复常数,则信号 产生的零状态响应可以表示为 kkzzHzzFjzzzFj)()(21)(21kzzzFj)(21kzzzFj)(21第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 根据线性系统的可加性,由于f(k)可以分解为围线C上不同z的信号 之和(积分), 因此,系统对f(k)的零状态响应就等于不同z的信号 产生的零状态响应之和(积分)。 表示为 kzzzFj)(21kzzzFj)(21第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 另一
45、方面,由于yf(k)=f(k)*h(k),因此 )()()(zHzFkyZf 由于f(k)、h(k)为因果信号,所以yf(k)也是因果信号。令 , 则得到以下变换对: )()(zYkyZff第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 在Z域,离散系统的零状态响应可按以下方法求解: (1) 求系统输入f(k)的单边Z变换F(z); (2) 求系统函数H(z), H(z)=Zh(k); (3) 求零状态响应的单边Z变换Yf(z), Yf(z)=F(z)H(z); (4) 求零状态响应yf(k),yf(k)=Z-1Yf(z)。 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 例例7.5-1 已知离散系统输入为f1(
46、k)=(k)时,零状态响应y1f(k)=3k(k)。求输入为f2(k)=(k+1)(k)时系统的零状态响应y2f(k)。 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 7.6 离散系统差分方程的离散系统差分方程的Z域解域解 7.6.1 差分方程的差分方程的Z域解域解 以二阶离散系统为例,设二阶离散系统的差分方程为 )2() 1()()2() 1()(01201kfbkfbkfbkyakyaky 设y(k)的单边Z变换为Y(z),根据单边Z变换的位移性质,对式(7.6- 1)两端取单边Z变换,得 (7.6- 1)()()()2()() 1()()(201121020
47、11zFzbzFzbzFbzkyzYzayzYzazykk第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 )()2() 1()()()1 (2011201002011zFzbzbbyayzaazYzaza)分别令 )2() 1()()()(1)(0101201122011yayzaazMzbzbbzBzazazA)()()()()()(zFzAzBzAzMzY则第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 只与y(k)的初始值y(-1)、y(-2)有关,而与F(z)无关,y(-1)、y(-2)为系统的初始状态,所以 是系统零输入响应yx(k)的单边Z变换Yx(z); 只与F(z)有关,而与初始状态无关,因此,它
48、是系统零状态响应yf(k)的单边Z变换Yf(z); A(z)称为系统的特征多项式系统的特征多项式,A(z)=0称为系统的特征方程系统的特征方程,其根称为特征根特征根。)()(zAzM)()(zAzM)()()(zFzAzB)()()()()()()()()()()()()(111zFzAzBZkyzAzMZkyzFzAzBzAzMZkyfx(7.6 - 7)第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 由于Yf(z)=H(z)F(z),因此,由式(7.6 - 7)得到系统函数为 2011201121)()()(zazazbzbbzAzBzH设n阶离散系统的差分方程为 mjjmniinjkfbikya0
49、0)()(式中,mn,an=1,ai(i=0, 1, , n-1)、bj(j=0, 1, , m)为实常数。则系统函数为 nnnmmmmzazazazbzbzbbzAzBzH02211022111)()()(第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 对于n阶线性时不变离散系统,若输入f(k)为因果信号,则yf(-i)(i=1, 2, , n)等于零, 但yf(i)一般不等于零。 由于 )()()(kykykyfx因此y(k)、yf(k)、yx(k)的初始值有以下关系: )()()()()()()(iyiyiyiyiyiyiyfxxfxi=1, 2, , n i=0, 1, 2, , n 初始值y(
50、i)和y(-i)可根据系统差分方程应用递推法相互转换。 例如,设二阶离散系统的差分方程为 )()2(2) 1(3)(kfkykyky第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 f(k)=(k), y(0)=1,y(1)=2。 对式(7.6 - 13),令k=1,得 1)1 ()0(3) 1 (21) 1(fyyy令k=0, 得 23)0() 1(3)0(21)2(fyyy第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 例例 7.6-1 已知二阶离散系统的差分方程为 ) 1()2(6) 1(5)(kfkykyky. 1)2(, 1) 1(),(2)(yykkfk求系统的完全响应y(k)、零输入响应yx(k)、零
51、状态响应yf(k)。解解方法方法1 输入f(k)的单边Z变换,得22)(2)(zzzkZzFk第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 yf(k)满足的差分方程为) 1()2(6) 1(5)(kfkykykyfffyf(k)的初始条件yf(-1)、yf(-2)均为零。第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 7.6.2 离散系统的频率响应离散系统的频率响应 1. 离散系统对正弦序列的响应离散系统对正弦序列的响应设离散系统的输入为 )cos()(TkAkf-k 式中,A、T、为正实数,称模拟角频率,称数字角频率,f(k)可以看作连续正弦时间函数的抽样值序列,抽样周期
52、为T。设系统的初始时刻k0=-,系统的响应为y(k),并且设y(-)=0,则y(k)也是零状态响应。为了讨论方便,令=0,但不失一般性, 则系统输入f(k)可以表示为 )(2)(TkjTkjeeAkf第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 设系统对ejTk的零状态响应为y1(k),根据离散系统时域分析的结论: mTjkTkjmkTjkTkjemheemhekhky)()()()()(1kTjkTkjmTjmTkjekheemheky)()( )()(001对于因果离散系统,单位序列响应h(k)为因果序列。 因此得 (7.6 - 18)第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 若系统函数H(z)的极点
53、全部在单位圆内,则H(z)的收敛域包含单位圆,即H(z)在单位圆|z|=1上收敛,因此,H(z)在z=ejT时也收敛。于是,式(7.6 - 18)可以表示为 )(| )(|)()(01TjTkjkezTkjezkTkjeHezHezkhekyTjTj设系统对e-jTk的响应为y2(k), 同理可得 )(*)()(2TjTkjTkjeHeekhky第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 )(*)(2)()(2)(21TkjTjTkjTjeeHeeHAkykyAky令 .| )(|)(*,| )(|)()()(TjTjTjTjTjTjeeHeHeeHeH则式(7.6 - 21)可以表示为 )(cos
54、(| )(| | )(|2)()()(TTkeHAeeeHAkyTjTTkjTTkjTj第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 若f(k)=A cos (Tk+),0,则)(cos(| )(|)(TTkeHAkyTj-k 式(7.6 - 22)的结果表明,若离散系统的系统函数H(z)的收敛域包含单位圆(极点全部在单位圆内),则系统对正弦序列的响应仍为同频率的正弦序列,称为正弦稳态响应正弦稳态响应。当输入正弦序列的频率变化时,响应正弦序列的振幅和初相位的变化完全取决于H(ejT)。因此,H(ejT)表征了系统的频率特性。 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 2. 离散系统的频率响应离散系统的频率
55、响应 若离散系统的系统函数H(z)的极点全部在单位圆内,则H(ejT)称为离散系统的频率响应或频率特性。H(ejT)为 )()()()()(TjTjTjezTjeeHeHzHeHTj 称为幅频响应或幅频特性幅频特性,(T)称为相频响应或相频特性。 )(TjeH第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 例例 7.6-2 已知离散系统的系统函数为 ,21,122)(zzzzH求系统的频率响应。 解解 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 图 7.6-1 例7.6-2图 T|H(ejT )|o22(a)T(T )o2(b)44第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 例
56、例 7.6-3 已知离散系统的系统函数为 .21,211)(11zzzzH系统的输入f(k)为 kkkf)cos(66)(求系统的稳态响应。21z所以 在单位圆解 因为)(zH的收敛域为,上收敛。)(zH)(zH可以表示为21122211)(11zzzzzH第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 分别求系统对 的各分量的正弦稳态响应:(1)系统对分量 的稳态响应。)(kf6)(0k)(0k可以看成=0、初相位=0的正弦系列。当=0时,系统的频率响应以及幅频响应和相频响应分别为122)()(TjezTjezHeHTj系统的频率响应为32122)(0jjeeH第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 0
57、)0()(32)(0jeH设系统对 的稳态响应为 ,由式(7.6-22)得)(0kf)(0kys4326)(0kys第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 4 .632cos34. 522cos)(6)(21kkeHkyjs第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 7.7 离散系统的表示和模拟离散系统的表示和模拟 7.7.1 离散系统的方框图表示离散系统的方框图表示 图 7.7-1 离散系统的方框图表示 f (k)y (k)第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 1. 离散系统的串、并联离散系统的串、并联 )(*)()()(21khkhkhkhn h(k)与hi(k)之间的关系为 根据单边Z变换的时域
58、卷积性质,复合系统的系统函数H(z)与各子系统的系统函数Hi(z) 之间的关系为 )()()()(21zHzHzHzHn第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 图 7.7-2 离散系统的串联 hn(k)Y(z)Hn(z)f (k)h1(k)F(z)H1(z)h2(k)(a)H2(z)(b)y (k)第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 niiniizHzHkhkh11)()()()(图图 7.7-3 离散系统的并联离散系统的并联 h1(k)h2(k)hn(k)(a)F(z)Y(z)H1(z)H2(z)Hn(z)(b)f (k)y (k)第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 例例 7.7-1 已知
59、离散系统的方框图表示如图7.7-4所示。图中,h1(k)=(k-2),h2(k)=(k),h3(k)=(k-1)。 (1) 求系统的单位序列响应h(k); (2) 若系统输入f(k)=ak(k),求系统的零状态响应yf(k)。 图图 7.7-4 例例7.7-1图图 h1(k)h2(k)h3(k)f (k)y (k)h4(k)第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 解解 (1)求h(k):设由子系统h2(k)和h3(k)串联组成的子系统的单位响应为h4(k),该子系统的函数为H4(z),则 144324)()() 1() 1()()()()(zkhZzHkkkkhkhkh因此,系统的单位序列响应h
60、(k)为21411)()()2() 1()()()()()(zzkhZzHkkkkkhkhkh0z第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 (2)求系统的零状态响应yf(k):) 2() 1()()2() 1()(*)()(*)()(211kakakakkkkakhkkykkkk或azazzkfzF)()(第 7 章 离散信号与系统的Z域分析 2. 用基本单元表示离散系统用基本单元表示离散系统 图图 7.7-5 离散系统的基本单元离散系统的基本单元 af (k)aF(z)aF(z)a(a)f1(k) f2(k)f1(k)f2(k)F1(z) F2(z)F1(z)F2(z)(b)DF(z)Y(z)
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