微分中值定理的推广及其应用

1、目 录摘 要14ABSTRACT151前言162预备知识163 Rolle定理条件的探讨与分析174Rolle定理和Lagrange中值定理的推广195新的中值定理226具体运用236.1微分中值定理推广定理的运用236.2新中值定理的运用237结论25致 谢26参考文献27微分中值定理的推广及其应用摘 要本文对微分中值定理中的Rolle定理条件进行了详细的分析与讨论，然后给出Rolle定理和Lagrange中值定理的推广定理，再结合高等代数中的矩阵知识，推导出新的中值定理，进而扩大微分中值定理的应用范围最后，给出具体实例，进行定理的应用关键词：微分，中值定理，推广，应用Differentia

2、l in the value of the law of the promotionand applicationABSTRACTOf differential in the value of the theorem rolle theorem conditions detailed analysis and discussion and rolle lagrange theorem and the value of the law of the theorems, combining the promotion of matrix knowledge, resulting in the va

3、lue of the new law, and then expand the differential in the law of value of the scope of application. finally, the specific instance, the application of a theorem.KEY WORDS：differential，mean value theorem ，expand，demonstrate，application1引言Rolle定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理统称为微分中值定理1微分中值定理是数学分析中最为重要的内容之

4、一，它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使用价值因此讨论微分中值定理的推广具有重要的价值，如25678.一般来说，Lagrange中值定理、Cauchy中值定理的证明都是通过Rolle定理来实现的，故有必要对Rolle定理进行深入的探讨与研究，如4.而Lagrange中值定理的特殊情况f(a)=f(b)就是Rolle定理，故Lagrange中值定理本身就是Rolle定理的一种推广要想对Rolle定理进行推广，就必须对Rolle定理的条件进行详细的分析和探讨同时，在实际运用微分中值定理时，我们常会遇到这样的情况，即定理的条

5、件不全满足，但仍然有这样的结论为此，我们有必要将Rolle定理进行推广 本文详细分析了Rolle定理的条件，进而将Rolle定理向无穷区间进行了推广，然后又在此基础上对Lagrange中值定理进行了推广，再结合高等代数行列式的知识，推导出新的中值定理最后，给出了定理的具体应用2预备知识首先回顾一下微分中值定理Rolle定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理统称为微分中值定理Rolle定理1：设函数在闭区间a,b上连续，在开区间（a,b）上可导，且,则至少存在一点§（a,b），使得Lagrange中值定理1：设函数在闭区间a,b上连续，在开区间（a,b）上可导，且,则至少

6、存在一点，使得Cauchy中值定理1：设和都在闭区间a,b上连续，在开区间（a,b）上可导，且对任意，则至少存在一点，使得 引理1（Fermat引理）1 是的一个极值点，且在处导数存在，则引理22 设函数在闭区间（a,b）内连续，且，则在（a,b）内能取得最小值（最大值）证明 令，由条件知，故存在使得对任意有现取， 因在上连续，故在上能取得最小值与最大值，因为由可知在上的最小值与最大值，就是在（a,b）内的最小值（最大值），引理得证定义13 函数与是定义在区间D上的函数，则行列式定义23 函数与是定义在区间D上的函数，则行列式3 Rolle定理条件的探讨与分析Rolle定理有3个条件：在闭区间

7、a，b上连续；在开区间(a，b)内可导；缺少其中之一，洛尔定理就可能不成立例如：函数. 在0,1上不连续，如图3-1；. 在-1,1内不可导，如图3-2；. ，如图3-3 函数在处不连续，所以函数在0,1上不连续，不满足Rolle定理条件，故函数在0,1上不能运用 Rolle定理函数在处不可到，所以函数在(-1,1)内不可导，不满足Rolle定理条件，故函数在-1,1上不能运用Rolle定理函数在0,1上两端点的函数值不相等，即，不满足Rolle定理条件，故函数在0,1上不能运用 Rolle定理尽管如此，也不能说这3个条件是洛尔定理的必要条件例如：函数 此函数在处不连续，在处不可导，且，所以函

8、数在-2,2上不连续，在(-2,2)内也不可导，且两端点的函数值也不相等，这就是说此函数不满足Rolle定理的3个条件但是，在开区间(一2，2)内仍存在一点 满足这说明，洛尔定理的3个条件都是充分条件Rolle定理中“函数在开区间(a，b)可导”，不宜改为“在闭区间a，b可导”虽然“函数在闭区间a，b上可导”，这一条件包含了“函数在闭区间a，b上连续”和“函数在开区间(a，b)内可导”这两个条件，而且看起来这样替换比以前更简便些，但是，“函数在闭区间a，b上可导”这一条件不仅包含了“函数在闭区间a，b上连续”和“函数在开区间(a，b)内可导”这两个条件，而且比这两个条件（函数在闭区间a，b上连

9、续和函数在开区间(a，b)内可导）对的要求更为严格，即要求函数f(x)在点a存在右导数和在点b存在左导数，这样就会使满足Rolle定理条件的函数要比原来少很多例如：函数在闭区间一1，1上连续，在开区间(一1，1)内可导，且，满足洛尔定理的条件因此，在开区间(一1，1)内至少存在一点，使得 显然但是，在闭区间一1，1并不可导因为导数分别在与的左、右导数都不存在由此可见，如果将Rolle定理的条件替换成函数在闭区间a，b上可导，且,那么对函数在闭区间一1，l上就不能应用Rolle定理这样就缩小了Rolle定理的适用范围因而，Rolle定理的条件不宜替换且Rolle定理中前两个条件（函数在闭区间a，

10、b上连续和函数在开区间(a，b)内可导）是彼此有关的函数在开区间(a，b)内可导，则函数在开区间(a，b)内连续，它被包含在“函数在闭区间a，b上连续”之中但是，函数在开区间(a，b)内可导，不能代替函数在闭区间a，b上连续，而函数在闭区间a，b上连续更不能代替函数在开区间(a，b)内可导为了使这两个条件互相独立，可改为“函数在开区间(a，b)内可导和函数在a右连续在b左连续”这样叙述，虽然这两个条件是互相独立的，但是行文很累赘为了叙述上的对称性和便于记忆，不追求条件之间的独立性，数学分析中关于Rolle定理以及微分中值定理的条件仍叙述为“函数在闭区间a，b上连续和函数在开区间(a，b)内可导

11、”然而，在实际运用微分中值定理时，我们常会遇到这样的情况，即定理的条件不全满足，但仍然有这样的结论比如；所给区间为或或为此，我们有必要将Rolle定理进行推广4 Rolle定理和Lagrange中值定理的推广定理1：设函数在（a,b）内可导，且有，则存在点，使得证明：首先对A为有限值进行论证：令则易知函数在a,b上连续，在（a,b）内可导且由Rolle定理可知，在(a,b)内至少存在一点，使得，而在(a,b)内有，所以其次对A=（）进行论证：由引理1，在（a,b）内能取得最小值（最大值）不妨设：函数在处取得最小值（最大值）此时函数在处也就取得极小值（极大值）又因为在处可导，由Fermat引理，

12、可得综上所述，从而定理得证定理2：设函数在(a,),内可导，且，证明：在（a,)中存在一点，使得证明：令，且，于是，复合函数在有穷区间上满足一下条件：（）：在内可导；（）：于是，令 其中由定理1知，存在一点，使得，其中显然，由于，故有定理3：设函数在（，b),内可导，且，证明：在（,b)中存在一点，使得证明：令，且，于是，复合函数在有穷区间上满足一下条件：（）：在内可导；（）：于是，令 其中由定理1知，存在一点，使得，其中显然，由于，故有定理4：设函数在（，),内可导，且，证明：在（,)中存在一点，使得证明：令，于是复合函数在有穷区间内满足一下条件：（）：在内可导；（）：，于是，令 其中由定理

13、1可知，至少存在一点，使得，其中，由于，故有定理5：如果函数满足条件：在开区间（a,b）上可导且存在，则在（a,b）内至少存在一点，使得证明：令，则易知，则根据定理1可得，至少存在一点，使得，则在（a,b）内至少存在一点，使得故命题得证5新的中值定理定理6: 设函数和在闭区间a,b上连续，在（a,b）上可导，则在（a,b）内存在一点，使得证明：令，则，又有，易知在闭区间a,b上连续，在（a,b）上可导，故运用Lagrange中值定理可得，存在一点，使得，即，所以在（a,b）内存在一点，使得，故定理得证定理7: 设函数和在闭区间a,b上连续，在（a,b）上可导，且在闭区间a,b上，有意义，则在（

14、a,b）内存在一点，使得证明：令，易知和在区间a,b上满足Cauchy中值定理条件，故有，,即，所以在（a,b）内存在一点，使得，故定理得证6具体运用6.1微分中值定理推广定理的运用例1，设函数在内可导，且具有二阶连续导数，且，求证：存在，使得证： 由定理2可得，存在，使得又因为在具有二阶连续导数，则在内具有一阶连续导数，故有例2,设函数满足条件：在开区间（a,b）上可导且存在，且，对任意，有，证明证：由题设对任意，函数在上满足定理5的条件，则，由于对任意，有，于是，其中是在0,1上的最大值同理有，对任意自然数n，有因为，所以即，再由的任意性，故对任意有恒等于0即命题得证6.2新中值定理的运用例1 设a,b>0，证明存在一点，使得证：根据定理6，令令，那么 ，则存在一点，使得，即，故存在一点，使得例2 设a,b>0，证明存在一点，使得证: 根据定理6，令，那么，则存在一点，使得，即，故存在一点，使得 例3 设在a,b上连续（），在（a,b）上可导，证明存在一点，使得证：根据定理7，令，那么 ，则存在一点，使得，即，故存在一点，使得例4 设a,b>0，证明存在一点，使得证：根