2015年浙江省高考数学试卷(理科)解析

1、2021年浙江省高考数学试卷理科一、选择题：本大题共 8小题，每题5分，共40分2021年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷数学理科1. 5 分2021?浙江集合 P=x|x2-2x 为, Q=x|1 v x，那么？RPQQ=A . 0, 1B . 0, 2C. 1, 2D. 1, 22021?浙江某几何体的三视图如下列图 单位:cm，那么该几何体的体积是A主视图侧视團1 俯视图2. 5 分A . 8 cm3B. 12cm3c. : :D.'r3ca3. 5分2021?浙江an是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn,假设a3, a4, as成等比数列，那么A . a1d>0,

2、dS4> 0B . a1d v 0, dS4v 0 C. a1d>0, dS4v 0 D. a1d v 0, dS4>04. 5 分2021?浙江命题？nN*, fnN*且fn?"的否认形式是 ?n N*, fn?N*且 fn> n B.* * _?noN , fno？N 且 fno> no D.?nN*, fn?N*或 fn?n0N*, fn。？n*或 fn0> n05. 5分2021?浙江如图，设抛物线 y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不 同的点A , B , C,其中点A , B在抛物线上，点 C在y轴上，那么 BCF与厶ACF

3、的面积之 比是-1A .|时| 2 - 1|af| 2 -1C.-wi+i|b卩 | Ji |AF| 2+l6. 5 分2021?浙江设A, B是有限集,定义:d A , B=card A U B- card A QB，其中card A丨表示有限集 A中的元素个数 命题：对任意有限集 A，B， A毛是d A，B> 0的充分必要条件； 命题：对任意有限集A , B, C, d A, C宅A , B+d B, CA . 命题和命题都成立B . 命题和命题都不成立C . 命题成立，命题 不成立 D . 命题不成立，命题 成立7. 5分2021?浙江存在函数fx满足，对任意x R都有A . f

4、sin2x=sinx B . f sin2x=x2+x C. fx2+1=|x+1| D. f x2+2x=|x+1|& 5分2021?浙江如图， ABC ,D是AB的中点，沿直线CD将厶ACD折成 A CD ,那么所成二面角A - CD - B的平面角为a,C. / A CB<aD. / A CB >a二、填空题：本大题共 7小题,9. 6分2021?浙江双曲线多空题每题 6分，单空题每题 4分，共36分.=1的焦距是，渐近线方程10. 6分2021?浙江函数 fx='，那么 ff- 3=lg, X<1f X的最小值是.211. 6分2021?浙江函数f x

5、=sin x+sinxcosx+1的最小正周期是 ，单调递减区间是 .12. 4 分2021?浙江假设 a=log43,那么 2a+2-a=13. 4 分2021?浙江如图，三棱锥 A - BCD 中，AB=AC=BD=CD=3 , AD=BC=2，点M , N分别是AD , BC的中点，那么异面直线 AN , CM所成的角的余弦值是 2 214. 4分2021?浙江假设实数 x, y满足x +y <1，那么|2x+y - 2|+|6 - x - 3y|的最小值 是15. 6分2021 ?浙江巴匕£是空间单位向量，冷巳2二寺 假设空间向量b满足，且对于任意x, y R,l-：-

6、' I ：T - 丁 - - ； ：1二： j '''，那么x0=, y0= , h| =.三、解答题：本大题共 5小题，共74分解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.I 7L16. 14分2021?浙江在厶ABC中，内角A , B, C所对的边分别为 a, b, c,A= ,4b2 - a2=2"C.1求tanC的值；2假设 ABC的面积为3，求b的值.17. 15 分2021?浙江如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，/ BAC=90 ° AB=AC=2 , A 1A=4 , A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中

7、点.1证明：A1D丄平面A1BC;2求二面角 A1- BD - B1的平面角的余弦值.f x=x2+ax+b a, b R，记 M a, b是 |f x|18. 15分2021?浙江函数 在区间-1 , 1上的最大值.1证明：当|a逻时，M a, b呈;2当a, b满足M a, b2时，求|a|+|b|的最大值.上两个不同的点A， B关于直线y=mx+二对219. 15分2021?浙江椭圆称.1求实数m的取值范围;2求厶AOB面积的最大值0为坐标原点20. 15 分2021?浙江数列an满足a1=+且2an+1 =an annN*1证明:<_<2nN*aTl+l2设数列an2的前n

8、项和为Sn,证明1 1Z (n+2) 口 *2 (n+1 '* 、n N.2021年浙江省高考数学试卷理科参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 8小题，每题5分，共40分2021年普通高等学校招生全国统一考 试浙江卷数学理科1. 5 分考点：交、并、补集的混合运算.专题：集合.分析：求出P中不等式的解集确定出 P,求出P补集与Q的交集即可.解答： 解：由P中不等式变形得：xx-2为，解得：xO 或 x多，即 P=-汽 0 U 2 , + a， ?RP=0, 2，- Q= 1 , 2,？RPnQ= 1, 2，应选：C.点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法那么是解此题的

9、关键.2. 5 分考点：由三视图求面积、体积.专题：空间位置关系与距离.分析：判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可.解答：解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长 2的正方形奥为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+2>2 >2 >2=翌匚口3 .1应选：C.点评：此题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力.3. 5 分考点：等差数列与等比数列的综合.专题：等差数列与等比数列.分析：由a3, a4, a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号.解答：解：设等差数列an的首项为al,那

10、么a3=ai+2d , a4=ai+3d, a8=ai+7d,由更，a4, a8成等比数列，得幻+ 3» 幻 + M屮d，整理得：3己声-5护应选：B.v 0.点评：此题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是根底题.4. 5 分 考点：命题的否认.专题：简易逻辑.分析：根据全称命题的否认是特称命题即可得到结论.解答：解：命题为全称命题，* *那么命题的否认为：？n0N , fn0？N或fno no, 应选：D.点评：此题主要考查含有量词的命题的否认，比拟根底.5. 5 分考点：直线与圆锥曲线的关系.AC专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.解答：解：如下列图，抛物线

11、的准线DE的方程为x= - 1,过A , B分别作AE丄DE于E,交y轴于N, BD丄DE于E,交y轴于M , 由抛物线的定义知 BF=BD , AF=AE ,那么 |BM|=|BD| - 1=|BF| - 1 ,的关系进行求解即可.|AN|=|AE| - 1=|AF| - 1,分析：根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为Saecf|BC|BM|BF|- 1= |AN|=1旺1-应选：A点评:此题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决此题的关键.6. 5 分考点：复合命题的真假. 专题：集合；简易逻辑.分析：命题根据充要条件分充分性和必要性判断即可，借助新定义，根据集合的

12、运算，判断即可.解答：解:命题：对任意有限集 A , B，假设A再，那么A U B執QB,那么cardA U BcardA AB, 故 d A , B 0 成立，假设 d A , B 0，贝U card A U B card A AB，那么 A U B 朮 QB ,故 A用 成立，故命题 成立，命题，d A , B=card A U B 丨-card A AB，d B , C=card B U C- card B AC， d A, B+d B, C=card A U B- card A AB+card B U C- card B AC=card A U B+card B U C - card

13、A AB+card B AC死ard A U C- cardA AC=d A, C，故命题 成立， 应选：A点评：此题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间 的关系，注意此题对充要条件的考查集合的元素个数，表达两个集合的关系，但仅凭借元素 个数不能判断集合间的关系，属于根底题.7. 5 分考点：函数解析式的求解及常用方法. 专题：函数的性质及应用.分析：利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可.解答:解：A .取 x=0，那么 sin2x=0 , / f 0=0 ； f 0=1 ； f 0=0,和1,不符合函数的定义；不存在函数fx，对任意x R都有f

14、 sin2x=sinx ；B. 取 x=0,那么 f0=0 ；2取 x= n,贝y f 0= n + n； f 0有两个值，不符合函数的定义；该选项错误；C. 取 x=1，那么 f 2=2，取 x= - 1,贝y f 2=0 ； 这样f2有两个值，不符合函数的定义；该选项错误；2D. 令 |x+1|=t, t为，那么 f t - 1=t；令 t2- 1=x，那么 t= , ;f (a -Vx+T；即存在函数f X=-：'，对任意x R，都有f x2+2x=|x+1| ;该选项正确.应选：D.点评：此题考查函数的定义的应用，根本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比拟难.& 5

15、 分考点：二面角的平面角及求法.专题：创新题型；空间角.分析：解：画出图形，分 AC=BC , AC书C两种情况讨论即可.解答：解：当AC=BC时，/ A 'DB= a；当AC用C时，如图，点 A投影在AE上，a= / A OE ,连结 AA易得 / ADA 'V / AOA / A DB >Z A OE ,即/ A DB > a综上所述，/ A 'DB >a、填空题：本大题共 7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共36 分.9. 6 分考点：双曲线的简单性质.专题：分析：解答：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.确定双曲线中的几何量，即可求出

16、焦距、渐近线方程.解：双曲线焦距是2c=2 :3渐近线方程是_ ' =1 中，a=丄:故答案为：2 -":； y=点评:此题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比拟根底.10. 6 分考点：函数的值.专题：计算题；函数的性质及应用.分析：根据函数可先求 -3=1 ,然后代入可求f- 3；由于x耳时，fx=岸 3, 当xV 1时，f fx=lg f"+1，分别求出每段函数的取值范围，即可求解+ ；，易得最小正周期，解不等式由三角函数公式化简可得f fx2k n7T2可得函数的单调递减区间. f f- 3=lg10=1 ,那么 f ff f- 3=f f 1=0

17、,当x羽时，f fx=疋-3?2近-乳即最小值2近-3,当 xV 1 时，x2+1?，fX=lg fX2+1为最小值 0,故f f x的最小值是；故答案为：0； 2近点评：此题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于根底试题.11. f 6 分考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性. 专题：三角函数的求值.分析：解答:sin 2x+1解：化简可得 f f x=sin2x+sinxcosx+1 =丄 f 1 - cos2xJV2i f 2= sin f 2x2原函数的最小正周期为 T：=n，由 2k n+w2x-可得k n+37TV函数的单调递减区间为k y，k n

18、+77T故答案为：n; k n+'I，kn+77TTf k Z点评:此题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属根底题.12. f 4 分考点：对数的运算性质.专题：函数的性质及应用.分析：直接把a代入2a+2-a，然后利用对数的运算性质得答案.解答：解：/ a=log43，可知 4a=3, 即2日=所以 2a+2a= :+；.V3 3故答案为：上：.3点评：此题考查对数的运算性质，是根底的计算题.13. 4 分考点：异面直线及其所成的角.专题：空间角.分析：连结ND，取ND的中点为：E,连结ME说明异面直线 AN , CM所成的角就是/ EMC通 过解三角形，求解即可.解

19、答：解：连结ND，取ND的中点为：E,连结ME，那么ME / AN，异面直线AN , CM所成的角 就是/ EMC ,/ AN=2 二， ME=.?=EN , MC=2 .二，又 EN 丄 NC , EC= f 二二,2 2 22吃七n72EII2><V2x2V21 cos/ EMC=故答案为:点评：此题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力.14. 4 分考点：函数的最值及其几何意义.专题：不等式的解法及应用；直线与圆.分析：根据所给x, y的范围，可得|6- x - 3y|=6 - x - 3y，再讨论直线2x+y - 2=0将圆x2+y2=i分成 两局部，分别

20、去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值.2 2解答：解：由 x +y <1，可得 6-x - 3y > 0,即 |6 - x - 3y|=6 - x- 3y, 如图直线2x+y - 2=0将圆x2+y2=i分成两局部，在直线的上方含直线，即有2x+y - 2为，即卩|2+y - 2|=2x+y - 2,此时 |2x+y - 2|+|6 - x - 3y|= 2x+y - 2+ 6 - x - 3y=x - 2y+4,利用线性规划可得在A，：处取得最小值 3;5 5在直线的下方含直线，即有2x+y - 2<0,即 |2+y- 2|=- 2x+y - 2,此时 |2x+

21、y - 2|+|6 - x - 3y|= - 2x+y - 2+ 6 - x - 3y=8 - 3x- 4y,利用线性规划可得在A二：处取得最小值3.综上可得，当 x<!, y='-时，|2x+y - 2|+|6 - x - 3y|的最小值为3.5£故答案为：3.iAa.* $-31点评：此题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题.15. 6 分专题： 分析：考点：空间向量的数量积运算；平面向量数量积的运算.创新题型；空间向量及应用.由题意和数量积的运算可得v 切？巳> ，不妨设亡=订，0，亡三=1， 0, 0，由 可解b=舟

22、，乂, t，可得|b -试引十卩巳2|2=x 2咗y - 22+t2，由题意可得 当x=xo=1 , y=y 0=2时，x+ - 2+ y - 22+t2取最小值1，由模长公式可得 h|.£TZ解答:解：旬_百冋cosvE !?e2_丄,逼,0,2 2J；-> _-一，不妨设3_ _m+Jn_2 ,2 2L x - y ,2 2点评:2 2 2_x +xy+y - 4x - 5y+t +7_ x+> =cosv>=21, 0, 0， b=_m_，解得2丄2m, n, t，m_5 , n_ , '2 2,t,2+t2y- 22+t2取最小值1,此题考查空间向量

23、的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题.2 -：三、解答题：本大题共 5小题，共74分解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. 14 分 考点：余弦定理.专题：解三角形.分析：分析1由余弦定理可得：=- 2bccos, b2 - a2：用余弦定理可得 cosC.可得sinC_ | - ：,即可得出_：c2 可得|厂匚cosCtanC,a-2由二,丄W十；_3,可得c,即可得出b.解答：解：1 A_,由余弦定理可得:2XX9TT一.；. , b2 - a2_. _bc - c2,又b2-亡c2.二be - c21 25 ?2C"8C2 2a _bc2c2. Lb'c.可得

24、2 2 旳VTo 即a_ .52丄 9228C f8c c 2ab'=Vio 3V2 " cosC_ C 0, n,2V5一. sinC_ .1-：.i.-'吕mC tanC_ _2.cosL2：血土尿皿冷X晋M 晋百聲i =3,解得c=2 .二.点评：此题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形根本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题.17. 15 分考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定.专题：空间位置关系与距离；空间角.分析：1以BC中点0为坐标原点，以 OB、OA、OA1所在直线分别为 x、y、z轴建系， 通过、？f ,= :

25、 | ? |： =0及线面垂直的判定定理即得结论；2所求值即为平面 A1BD的法向量与平面 B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对 值的相反数，计算即可.解答：1证明：如图，以BC中点0为坐标原点，以 OB、OA、0A1所在直线分别为x、y、z轴建系.那么 BC= tAC=2j, A10=._：=山，易知 A10, 0,B血，0, 0，C近，0, 0_A 0, Vs, 0，D 0，-西，n，B1 2 , t/14, -j= 0, - . :, 0, Li=-宀,-:，一 ，戶一二,0 , 0,= 一 2 二,0 , 0,二=0 , 0, . 1'j,亡.？ I - . =0 , A1D

26、丄 OA1,又. 一？卜=0 , A1D 丄BC ,又OA1QBC=O, A1D 丄平面 A1BC ;2解：设平面 A1BD的法向量为：=x , y , z,_V2y=oV2s_V2y+V14z=0取 z=1 ,得 i =V： J, 0 , 1,设平面B1BD的法向量为-x, y , z,取 z=1,得 t j= 0 , |_Lj , 1, COSV I , I |>_ an _1_1h丘百12®加壮又该二面角为钝角,.面角A1 - BD - B1的平面角的余弦值为-点评：此题考查空间中线面垂直的判定定理,考查求二面角的三角函数值， 注意解题方法的积累，属于中档题.18. 15

27、 分考点：专题：分析：二次函数在闭区间上的最值.函数的性质及应用.1明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合以及三角 不等式变形所求得到证明；解答:2讨论a=b=O以及分析 M a, b屯得到- 3<a+bW 且-3b - aE ,进一步求出|a|+|b|的求值. 解：1由可得 f 1=1+a+b, f- 1=1 -a+b，对称轴为x=-弓， 因为|a逻，所以-专<一1或一 ?， 所以函数fx在-1, 1上单调，所以 Ma, b=max|f 1，|f- 1|=max|1+a+b| , |1- a+b|,所以 M f a, b乞 f |1+a+b|+|1

28、- a+b|三|1+a+b-f 1 - a+b| 丰 |2a|呈;2f 2当 a=b=0 时，|a|+|b|=O 又 |a|+|b|%，所以 0 为最小值，符合题意；又对任意x - 1, 1.有-2$2+ax+b得到- 3<a+b<1 且-3住-aE，易知 |a|+|b|=max|a - b|, |a+b|=3，在b= - 1, a=2时符合题意，点评:所以|a|+|b|的最大值为3.此题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答此题的关键是正确理解M a，b是|f x|在区19. 15 分考点：直线与圆锥曲线的关系. 专题： 分析：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题. 1由题意，可设直线2=0,设 A x1, y1， BAB的方程为x= - my+n，代入椭圆方程可得m2+2y2- 2mny+n2-x2, y2.可得>0，设线段AB的中点Px0, y0，利用中点坐标公式及其根与系数的可得P,代入直线y=mx+丄，可得2，代入厶。，即可解出.2直线AB与x轴交点横坐标为n,可得oab=|n| | 舟-|，再利用均值不等式即间-1,1上的最大值，以及利用三角不等式变形.可得出.解答:解：1由题意，可设直线 AB的方程为x=-my+n，代入椭圆方程