矩阵学习指导

1、矩阵【基本要求】1. 理解矩阵的概念.2. 熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置及运算规律, 以及方阵的幂、行列式，对角矩阵的定义及其性质.3. 理解逆矩阵的概念.4. 掌握矩阵的初等变换。知道初等变换与初等矩阵、可逆矩阵与初等矩阵的关系。5. 熟练掌握求逆矩阵的两种方法:伴随矩阵法和初等变换法.6、理解矩阵的秩的概念和基本性质，特别是“矩阵的初等变换不改变矩阵的秩”这一性质。7、熟练掌握用矩阵的初等变换求矩阵的秩的方法【主要内容】一、重要定理：定理1 设A，B是n阶矩阵，则。定理2 如果A是可逆矩阵，则A的逆矩阵唯一。定理3 n阶矩阵A可逆，其中定理4 初等阵左（右）乘给定的矩阵，其结果就

2、是对给定的矩阵作相应的初等行（列）变换。定理5 初等矩阵可逆，且其逆为同类型的初等矩阵，即。二、重要公式、法则：1加法与数乘（1）A+B=B+A; (2 ) (A+B)+C=A+(B+C); (3 ) A+O=O+A=A; (4 ) A+(-A)= O.; (5 ) k (l A)=(kl)A; (6 ) (k+l)A=kA+lA; (7 ) k(A+B)=kA+kB; (8 ) 1A=A, 0A=O.2. 乘法（1）(AB)C=A(BC) (2)A(B+C)=AB+AC (3 ) (kA)(lB)=kl(AB) (4)A0=0A=O3. 转置(1) （AT）T=A; (2) (A+B)T=A

3、T+BT ; (3) (kA)T=kAT ; (4) (AB)T=BTAT; 4. 可逆(1) ; (2) ; (3) ; (4) .5. 伴随矩阵 （1）; （2）; (3) ;(4) ; (5) .6. n阶矩阵的行列式（其中分别是n阶、n阶、m阶方阵）（1） ; (2); (3) ; (4) ; (5) ; (6) ; (7) (其中分别是n阶、m阶方阵)。三、二阶方阵：（1）; （2）即主对角线上的元素调换位置，副对角线上的元素变化符号。四、分块阵： ；;；.五、可逆的判断法：1. n阶矩阵A可逆A的行（列）向量组线性无关 仅有零解，2. 上三角阵的逆阵仍为上三角阵，且其主对角线上的元

4、素为其原对角元素的倒数，下三角类同。六、正交阵：（）1. A正交，; 2. A正交正交; 3. A正交正交; 4. A正交正交; 5. A正交，; 6. A、B正交AB正交。口诀：1、题设条件与代数余子式或有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及。 2、若涉及到A、B是否可交换，即ABBA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 3、若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE。【典型例题】例1 设为三阶方阵，为的伴随矩阵，,求行列式的值。解: 由 , 得 例2 若方阵满足矩阵方程 ,其中为单位阵，证明： 可逆并求其逆矩阵。证明: 将方程改写为 则 可逆，

5、且例3 设为可逆阵，且的元素全为整数，试证 的元素全为整数的充要条件为=1或。证明: 必要性：因为的元素全为整数， 所以 也是整数，又 的元素为整数，则 也为整数，而 ,所以 =1或。 充分性： 因为 =1或，且 , 又因为的元素全为整数，则 的元素也全为整数，所以 的元素全为整数。例4 设方阵满足 ()，则可逆，证明: 可逆，且例5 设为阶方阵，其中可逆且，证明：都可逆。 证明: 由得即两边取行列式 又可逆 ， ，从而；都可逆。例6 设 1.试证：当时，有 2.求 解: 1.证 采用数学归纳法: 当时，经计算 设（）时结论成立，即：两边乘以得： 将 代入，得 2. 例7 设(2EC1B)AT

6、=C1,其中E是4阶单位矩阵,AT是4阶矩阵A的转置矩阵，求A。解: 由题设得C(2EC1B)AT=E，即 (2CB)AT=E。由于，|2CB|=10，故2CB可逆，于是A=(2CB)1T=(2CB)T1【自我练习及解答】一、填空题1已知是三阶方阵，B是四阶方阵，且 则 2设是阶方阵，则 ， ；34 设，是A的伴随矩阵，则（）1= ；5 设A为n阶可逆阵，是A的伴随矩阵，则A= ，若A是可逆的，则()1 = ；6 已知矩阵，则7 8. 二、. 选择题（1）设 ， 则必有（ ）(A). (B). (C). (D). （2）设A是任一阶方阵，是其伴随矩阵，为常数，且，则必有 (A) (B) (C)

7、 (D) （3）A为四阶方阵，则|3A|为( ).（A）43|A|；（B）3|A| （C）4|A| （D）34|A| （4）若|A|=2，且A为5阶方阵，则|2A|=（ ）（A）4 （B）4 （C）64 （D）64；(5) 设A和B都是n阶方阵，且|A+AB|=0，则有（ ）（A）|A|=0（B）|I+B|=0 （C）|A=0|或|I+B|=0 （D）|A|=0且|I+B|=0(6) 设矩阵A、B、C满足AB=AC，且A0，则 。(A) B=C；（B）BC；（C）B可能等于C，也可能不等于C。三、判断题: (若错,请举反例;若对,请论证) （1）若则 （ ） （2）若，则或 （ ） （3）若，

8、则； （ ） （4）设是阶方阵，若存在阶非零方阵B，使得AB=BA=B，则A=I；（ ） （5）若AX=AY，则X=Y。 （ ）四、用两种方法判断下列矩阵是否可逆，若可逆求其逆阵： 五、已知，I为单位阵，试计算的行列式的值。六、设，求矩阵X，使。七、求下列矩阵的n次幂 (1) ; (2) ; 八、设、为阶方阵，且可逆，求证： 均为可逆阵。九、写出下列等式成立的充分条件：（、均为阶矩阵） (1) (2) 十、证明：若为实矩阵，满足且, 则。十一、 若，为阶方阵，和都可逆，且 ,则可逆。十二、 已知 A=,B=(1,-1,2,3),试计算AB，BA及-2BTAT。十三、已知三阶方阵的逆矩阵为，试求

9、A的伴随矩阵的逆矩阵。十四、设A、B为n阶方阵，IAB可逆，证明：IBA也可逆，且。十五、设A、B、A+B为同阶可逆方阵，试证明A1+B1可逆，并求其逆。十六、 设（1）求A的行列式 ； （2）当满足什么条件时，A为正交矩阵？十七、已知矩阵，且，求。十八、设将n阶可逆阵A的第i，j行互换之后得到矩阵B，（1）求证B是可逆的； 十九、设方阵A满足，证明A及A+2I都可逆，并求。习题参考答案一、148 24， 3. 4 5. , 6. 96,7. 8. 二 (1) (C); (2)（B）; （3）D; (4) C; (5) C; (6)C; 三、（1）× 如(2)× 如(3)× 如(4)× 如(5)× 如 四、 (1) (2) (3)五、原式=原式的行列式=六、 提示: 将中的含X的项都移到等式的左端,并提取左提取X得,再验证可逆,再右乘即得. 七、(1) , (提示：. ) (2) 八、 证可逆均可逆 均为可逆阵。九、（1） （2） 十、证明: 设, 展开得: 比较两端的主对角线元素得,故,即A=O.十一、提示：由 两端取行列式即得B可逆, BT可逆, 从而A可逆.十二、 十三、 提示: 利用公式.十四、=十五、因A1+B1=A1(BB1)+(A1A)B1=A1(B+A