第一章勾股定理教案

1、第一章勾股定理1. 探索勾股定理(第 1课时一、学生起点分析八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力.在小学,他们 已学习了一些几何图形面积的计算方法 (包括割补法 , 但运用面积法和割补思 想解决问题的意识和能力还远远不够. 部分学生听说过“勾三股四弦五”, 但并 没有真正认识什么是“勾股定理”. 此外, 学生普遍学习积极性较高, 探究意识 较强,课堂活动参与较主动,但合作交流能力和探究能力有待加强.二、教学任务分析本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级 (上 第一章勾股定 理第一节第 1课时 . 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系,将 形与数密切联系起来,

2、 在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用. 本节是直角 三角形相关知识的延续, 同时也是学生认识无理数的基础, 充分体现了数学知识 承前启后的紧密相关性、 连续性. 此外, 历史上勾股定理的发现反映了人类杰出 的智慧,其中蕴涵着丰富的科学与人文价值.为此本节课的教学目标是:1.用数格子(或割、补、拼等的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾 股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系, 会初步运用勾股定理进行简单 的计算和实际运用.2. 让学生经历 “ 观察 猜想 归纳 验证 ” 的数学思想, 并体会数形结合和特 殊到一般的思想方法.3.进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力;进一步体会数学与

3、现 实生活的紧密联系.4.在探索勾股定理的过程中,体验获得成功的快乐;通过介绍勾股定理在 中国古代的研究, 激发学生热爱祖国, 热爱祖国悠久文化历史, 激励学生发奋学 习.三、教学过程设计本节课设计了五个教学环节:第一环节:创设情境,引入新课;第二环节:探索发现勾股定理;第三环节:勾股定理的简单应用;第四环节:课堂小结;第 五环节:布置作业.第一环节:创设情境,引入新课内容:2002年世界数学家大会在我国北京召开,投影显示本届世界数学家 大会的会标: 会标中央的图案是一个与 “ 勾股定理 ” 有关的图形,数学家曾建议 用 “ 勾股定理 ” 的图来作为与 “ 外星人 ” 联系的信号.今天我们就来

4、一同 探索勾股定理.(板书课题意图:紧扣课题,自然引入,同时渗透爱国主义教育 . 效果:激发起学生的求知欲和爱国热情 .第二环节:探索发现勾股定理 xK b1 .C om1.探究活动一 内容:投影显示如下地板砖示意图,引导学生从面积角度观察图形:问:你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗? 学生通过观察,归纳发现:结论 1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和, 等于以 斜边为边长的正方形的面积 .意图:从观察实际生活中常见的地板砖入手,让学生感受到数学就在我们身 边.通过对特殊情形的探究得到结论 1,为探究活动二作铺垫 .效果:1.探究活动一让学生独立观察,自主探究,培养

5、独立思考的习惯和 能力; 2.通过探索发现,让学生得到成功体验,激发进一步探究的热情和愿望 . 2.探究活动二 内容:由结论 1我们自然产生联想:一般的直角三角形是否也具有该性质呢? (1观察下面两幅图:(2填表: (3你是怎样得到正方形 C 的面积的?与同伴交流.(学生可能会做出多 种方法,教师应给予充分肯定. 图 1 图 2 图 3 学生的方法可能有: 方法一:如图 1,将正方形 C 分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形,13132214=+=C S .方法二:如图 2,在正方形 C 外补四个全等的直角三角形,形成大正方形,用大正方 形的面积减去四个直角三角形的面积,.方法三:如图 3

6、,正方形 C 中除去中间 5个小正方形外,将周围部分适当拼接可成为 正方形, 如图 3中两块红色 (或两块绿色 部分可拼成一个小正方形, 按此拼法,ABD.(4分析填表的数据,你发现了什么? 学生通过分析数据,归纳出:结论 2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和, 等于以斜边 为边长的正方形的面积 .意图:探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般 直角三角形的性质.由于正方形 C 的面积计算是一个难点,为此设计了一个交流 环节 .效果:学生通过充分讨论探究, 在突破正方形 C 的面积计算这一难点后得出 结论 2. 3.议一议内容:(1你能用直角三角形的边长 ,

7、b , c 来表示上图中正方形的面积吗?(2你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗?(3分别以 5厘米、 12厘米为直角边作出一个直角三角形,并测量斜边的 长度. 2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗?勾股定理 :直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 . 如果用 a , b , c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么 222c b a =+.数学小史:勾股定理是我国最早发现的, 中国古代把直角三角形 中较短的直角边称为勾, 较长的直角边称为股, 斜边称为弦, “ 勾股定 理 ” 因此而得名.(在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理意图:议一议意在让学生在结论 2的基础上, 进一步发现

8、直角三 角形三边关系,得到勾股定理 .效果:1.让学生归纳表述结论,可培养学生的抽象概括能力及语言表达能 力; 2.通过作图培养学生的动手实践能力 .第三环节:勾股定理的简单应用弦 股勾内容: 例题 如图所示,一棵大树在一次强烈台风中于离地面 10m 处折断倒下, 树顶落在离树根 24m 处 . 大树在折断之前高多少?(教师板演解题过程 练习:1.基础巩固练习:求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度(口答:2.生活中的应用:小明妈妈买了一部 29 in(74 cm 的电视机 . 小明量了电视机的屏幕后, 发现 屏幕只有 58 cm长和 46 cm宽, 他觉得一定是售货员搞错了. 你同意他的

9、想法吗? 你能解释这是为什么吗?意图:练习第 1题是勾股定理的直接运用,意在巩固基础知识.效果:例题和练习第 2题是实际应用问题,体现了数学来源于生活,又服务 于生活,意在培养学生 “ 用数学 ” 的意识.运用数学知识解决实际问题是数学教学 的重要内容 .第四环节:课堂小结内容: 教师提问:1.这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法? 2.对这些内容你有什么体会?与同伴进行交流. 在学生自由发言的基础上,师生共同总结:1.知识:勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用 a , b , c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边, 那么 222c b a =+. http:/w

10、2.方法:(1 观察 探索 猜想 验证 归纳 应用;?225100x15(2 “ 割、补、拼、接 ” 法 .3.思想:(1 特殊 一般 特殊;(2 数形结合思想.意图:鼓励学生积极大胆发言,可增进师生、生生之间的交流、互动. 效果:通过畅谈收获和体会,意在培养学生口头表达和交流的能力,增强不 断反思总结的意识 .第五环节:布置作业内容:布置作业:1.教科书习题 1.1.2 .观察下图,探究图中三角形的三边长是否满足 ?意图:课后作业设计包括了三个层面:作业 1是为了巩固基础知识而设计; 作业 2是为了扩展学生的知识面; 作业 3是为了拓广知识, 进行课后探究而设计, 通过此题可让学生进一步认识

11、勾股定理的前提条件.效果:学生进一步加强对本课知识的理解和掌握.五、教学设计反思(一设计理念依据 “ 学生是学习的主体 ” 这一理念,在探索勾股定理的整个过程中,本节课 始终采用学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行主动学习. 教师只在 学生遇到困难时,进行引导或组织学生通过讨论来突破难点 .(二突出重点、突破难点的策略为了让学生在学习过程中自我发现勾股定理, 本节课首先情景创设激发兴趣, 再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特殊情形入手, 自然过渡到探究一般直角三角形,学生通过观察图形,计算面积,分析数据,发现直角 三角形三边的关系,进而得到勾股定理.第一章 勾股定理1.

12、 探索勾股定理(第 2课时一、学生起点分析学生的知识技能基础:学生在七年级已经学习了整式的加、减、乘、除运算 和等式的基本性质, 并能进行简单的恒等变形; 上节课又已经通过测量和数格子 的方法, 对具体的直角三角形探索并发现了勾股定理, 但没有对一般的直角三角 形进行验证 .学生活动经验基础:学生在以前数学学习中已经经历了很多独立探究和合作 学习的过程, 具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验, 具备了一定的探究 能力和合作与交流的能力;学生在七年级七巧板及图案设计的学习中已 经具备了一定的拼图活动经验 .二、教学任务分析本节课是八 (上 勾股定理第 1节第 2课时, 是在上节课已探索得到勾

13、股定 理之后的内容, 具体学习任务:通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思 想; 应用勾股定理解决一些实际问题, 体会勾股定理的应用价值并逐步培养学生 应用数学解决实际问题意识和能力 , 为后面的学习打下基础 . 为此本节课的教学 目标是:1. 掌握勾股定理及其验证,并能应用勾股定理解决一些实际问题 .2. 在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上, 经历勾股定 理的验证过程,体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想 .3. 在勾股定理的验证活动中, 培养探究能力和合作精神; 通过对勾股定理历 史的了解,感受数学文化,增强爱国情感,并通过应用勾股定理解决实际问题, 培养应用数学的

14、意识 .用面积法验证勾股定理,应用勾股定理解决简单的实际问题是本节课的重点 .三、教学过程本节课设计了七个教学环节:(一复习设疑,激趣引入; (二小组活动, 拼图验证; (三延伸拓展,能力提升 (四 例题讲解,初步应用; (五 追 溯历史,激发情感; ; (六 回顾反思,提炼升华; (七 布置作业,课堂延伸 . 第一环节:复习设疑,激趣引入内容 :教师提出问题:(1勾股定理的内容是什么?(请一名学生回答(2上节课我们仅仅是通过测量和数格子,对具体的直角三角形探索发现 了勾股定理,对一般的直角三角形,勾股定理是否成立呢?这需要进一步验证, 如何验证勾股定理呢?事实上, 现在已经有几百种勾股定理的

15、验证方法, 这节课 我们也将去验证勾股定理 .意图:(1复习勾股定理内容; (2回顾上节课探索过程,强调仍需对一般 的直角三角形进行验证, 培养学生严谨的科学态度; (3 介绍世界上有数百种验 证方法,激发学生兴趣 .效果 :通过这一环节,学生明确了:仅仅探索得到勾股定理还不够,还需进 行验证 . 当学生听到有数百种验证方法时,马上就有了去寻求属于自己的方法的 渴望 .第二环节:小组活动,拼图验证 .内容:活动 1:教师导入,小组拼图 .教师:今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理, 请你利用自己准备 的四个全等的直角三角形,拼出一个以斜边为边长的正方形 . (请每位同学用 2分钟时间独立拼

16、图,然后再 4人小组讨论 . 活动 2:层层设问,完成验证一 .学生通过自主探究,小组讨论得到两个图形: 图 2在此基础上教师提问:(1 如图 1你能表示大正方形的面积吗?能用两种方法吗? (学生先独立 思考,再 4人小组交流 ;(2你能由此得到勾股定理吗?为什么?(在学生回答的基础上板书 (a+b2=4×21ab+c2. 并得到 从而利用图 1验证了勾股定理 .活动 3 : 自主探究,完成验证二 .教师小结:我们利用拼图的方法, 将形的问题与数的问题结合起来, 联系 整式运算的有关知识, 从理论上验证了勾股定理, 你还能利用图 2验证勾股定理 吗?(学生先独立探究,再小组交流,最后

17、请一个小组同学上台讲解验证方法二意图:设计活动 1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成,既为勾 股定理的验证作铺垫,同时也培养学生的动手、创新能力 . 在活动 2中,学生在 教师的层层设问引导下完成对勾股定理的验证,完成本节课的一个重点内容 . 设 计活动 3, 让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数 形结合的思想并体会成功的快乐 .效果 :学生通过先拼图从形上感知,再分析面积验证,比较容易地掌握了 本节课的重点内容之一,并突破了本节课的难点 .第三环节 延伸拓展,能力提升1. 议一议 :观察下图 , 用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足 a 2+b2=c2

18、2. 一个直角三角形的斜边为 20cm , 且两直角边长度比为 3:4, 求两直角 边的长。意图:在前面已经讨论了直角三角形三边满足的关系,那么锐角三角形 或钝角三角形的三边 是否也满足这一关系呢?学生通过数格子的方法可以得 出:如果一个三角形不是直角三角形,那么它的三边 a , b,c 不满足 a 2+b2=c2。通 过这个结论, 学生将对直角三角形三边的关系有进一步的认识, 并为后续直角三 角形的判别打下基础。第四环节:例题讲解 初步应用内容:例题:飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上 方 4000米处,过了 20秒,飞机距离这个男孩子头顶 5000米,飞机每小时飞行 多少

19、千米?意图 :(1 初步运用勾股定理解决实际问题, 培养学生应用数学的意识和能 力; (2体会勾股定理的应用价值 .效果 :学生对这样的实际问题很感兴趣, 基本能把实际问题转化为数学问题 并顺利解决 .第五环节:追溯历史 激发情感活动内容:由学生利用所搜集的与勾股定理相关的资料进行介绍 .国内调查组报告 :用图 2验证勾股定理的方法,据载最早是三国时期数学 家赵爽在为 周髀算经 作注时给出的, 我国历史上将图 2弦上的正方形称为弦 图 .2002年的数学家大会(ICM-2002在北京召开,这届大会会标的中央图案正 是经过艺术处理的弦图, 这既标志着中国古代的数学成就, 又像一只转动的风车, 欢

20、迎来自世界各地的数学家们! 国际调查组报告:勾股定理与第一次数学危机 .约公元前 500年, 毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯 (Hippasus发现了一个惊 人的事实, 一个正方形的对角线的长度是不可公度的 . 按照毕达哥拉斯定理 (勾股 定理 ,若正方形边长是 1,则对角线的长不是一个有理数,它不能表示成两个 整数之比, 这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭, 而且建立在任何两个 线段都可以公度基础上的几何学面临被推翻的威胁,第一次数学危机由此爆发 . 据说,毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、恼怒,为了保守秘密,最后 将希帕索斯投入大海 .不能表示成两个整数之比的数, 15世纪意大利

21、著名画家达 . 芬奇称之为“无 理的数”,无理数的英文“irrational”原义就是“不可比” . 第一次数学危机 一直持续到 19世纪实数的基础建立以后才圆满解决 . 我们将在下一章学习有关 实数的知识 .趣闻调查组报告:勾股定理的总统证法 .在 1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正在 散步, 欣赏黄昏的美景他走着走着, 突然发现附近的一个小石凳上, 有两个 小孩正在聚精会神地谈论着什么, 时而大声争论, 时而小声探讨. 由于好奇心驱 使他循声向两个小孩走去, 想搞清楚两个小孩到底在干什么. 只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形 于是这位中年人

22、不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他留下的难题 . 他经过反复的思考与演算,终于弄清楚了其中的道理,并给出了简洁的证明方法.a b1876年 4月 1日,他在新英格兰教育日志上发表了他对勾股定理的这 一证法 .1881年,这位中年人伽菲尔德就任美国第二十任总统 . 后来,人们为了纪 念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统”证 法 .说明 :这个环节完全由学生来组织开展,教师可在两天前布置任务,让部 分同学收集勾股定理的资料, 并在上课前拷贝到教师用的课件中便于展示, 内容 可灵活安排 .意图 :(1介绍与勾股定理有关的历史,激发学生的爱国热情; (2学生 加强了对

23、数学史的了解,培养学习数学的兴趣; (3通过让部分学生搜集材料, 展示材料,既让学生得到充分的锻炼,同时也活跃了课堂气氛 .效果 :学生热情高涨,对勾股定理的历史充满了浓厚的兴趣,同时也为中 国古代数学的成就感到自豪 . 也有同学提出:当代中国数学成就不够强,还应发 奋努力 . 有同学能意识这一点,这让我喜出望外 .第六环节:回顾反思 提炼升华内容 :教师提问:通过这节课的学习,你有什么样的收获?师生共同畅谈收 获 .目的:(1归纳出本节课的知识要点,数形结合的思想方法; (2教师了解 学生对本节课的感受并进行总结; (3培养学生的归纳概括能力 .效果:由于这节课自始至终都注意了调动学生学习的

24、积极性, 所以学生谈的 收获很多, 包括利用拼图验证勾股定理中蕴含的数形结合思想, 学生对勾股定理 的历史的感悟及对勾股定理应用的认识等等 .第七环节:布置作业,课堂延伸内容:教师布置作业1.习题 1. 2 1, 2, 32.上网或查阅有关书籍,搜集至少 1种勾股定理的其它证法,至少 1个勾 股定理的应用问题,一周后进行展评 .意图 :(1巩固本节课的内容 . (2充分发挥勾股定理的育人价值 .六、教学设计反思1. 设计说明勾股定理作为 “千古第一定理” 其魅力在于其历史价值和应用价值, 因此我 注意充分挖掘了其内涵. 特别是让学生事先进行调查, 再在课堂上进行展示, 这 极大地调动了学生,

25、既加深了对勾股定理文化的理解, 又培养了他们收集、 整理 资料的能力. 勾股定理的验证既是本节课的重点, 也是本节课的难点, 为了突破 这一难点, 我设计了拼图活动, 先让学生从形上感知, 再层层设问, 从面积 (数 入手,师生共同探究得到方法 1,最后由学生独立探究得到方法 2.这样学生较 容易地突破了本节课的难点.2. 教学建议如果学生的程度较好可以按照本教学设计进行教学, 并且可以把分层练习中 “知识拓展”作为课堂教学内容.如果学生程度稍差, 可以舍弃第三环节以及第五环节中的 (2 (3 两个问题. 而 把分层练习中“基础训练”作为课堂过关使用.第一章 勾股定理2. 一定是直角三角形吗一

26、、学生知识状况分析学生已经了勾股定理, 并在先前其他内容学习中已经积累了一定的逆向思维、 逆向研究的经验,如:已知两直线平行,有什么样的结论?反之,满足什么条件 的两直线是平行?因而, 本课时由勾股定理出发逆向思考获得逆命题, 学生应该 已经具备这样的意识, 但具体研究中, 可能要用到反证等思路, 对现阶段学生而 言可能还具有一定困难,需要教师适时的引导。二、学习任务分析本节课是北师大版数学八年级 (上 第一章 勾股定理 第 2节。 教学任务有:探索勾股定理的逆定理, 并利用该定理根据边长判断一个三角形是否是直角三角 形, 利用该定理解决一些简单的实际问题; 通过具体的数, 增加对勾股数的直观

27、体验。本节课的教学目标是:1.理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念;2.能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形;3.经历一般规律的探索过程,发展学生的抽象思维能力、归纳能力;4.体验生活中的数学的应用价值,感受数学与人类生活的密切联系,激发 学生学数学、用数学的兴趣;教学重点理解勾股定理逆定理的具体内容。三、教法学法1.教学方法:实验猜想归纳论证本节课的教学对象是初二学生 , 他们的参与意识较强 , 思维活跃 , 对通过实验 获得数学结论已有一定的体验, 但数学思维严谨的同学总是心存疑虑, 利用逻辑 推理的方式,让同学心服口服显得非常迫切,为了实现本节课的教学目标 , 我力

28、 求从以下三个方面对学生进行引导 :(1从创设问题情景入手 , 通过知识再现 , 孕育教学过程;(2从学生活动出发 , 通过以旧引新 , 顺势教学过程;(3利用探索 , 研究手段 , 通过思维深入 , 领悟教学过程。2.课前准备教具:教材、电脑、多媒体课件。学具:教材、笔记本、课堂练习本、文具。四、教学过程设计本节课设计了七个环节。第一环节:情境引入;第二环节:合作探究;第三 环节:小试牛刀;第四环节:登高望远;第五环节:巩固提高;第六环节:交流 小结;第七环节:布置作业。第一环节:情境引入内容:情境:1.直角三角形中,三边长度之间满足什么样的关系?2.如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边

29、的平方,那么这个三角形是否就是直角三角形呢?意图:通过情境的创设引入新课,激发学生探究热情。效果:从勾股定理逆向思维这一情景引入, 提出问题, 激发了学生的求知欲, 为下一环节奠定了良好的基础。第二环节:合作探究内容 1:探究下面有三组数,分别是一个三角形的三边长 c b a , , , 5, 12, 13; 7, 24, 25; 8, 15, 17;并回答这样两个问题:1.这三组数都满足 吗?2.分别以每组数为三边作出三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角 形吗?学生分为4人活动小组,每个小组可以任选其中的一组数。意图:通过学生的合作探究,得出“若一个三角形的三边长A B D ,满足 AB

30、 C E F,则这个三角形是直角三角形”这一结论;在活动中体验出数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程,同时遵循由“特殊一般 特殊”的发展规律。效果:经过学生充分讨论后,汇总各小组实验结果发现: 5, 12, 13满足 222c b a =+,可以构成直角三角形; 7, 24, 25满足 222c b a =+,可以构成直角 三角形; 8, 15, 17满足 222c b a =+,可以构成直角三角形。从上面的分组实验很容易得出如下结论:如果一个三角形的三边长 c b a , , ,满足 222c b a =+,那么这个三角形是直角三 角形内容 2:说理提问:有同学认为测量结果可

31、能有误差, 不同意这个发现。 你认为这个发现 正确吗?你能给出一个更有说服力的理由吗?意图:让学生明确,仅仅基于测量结果得到的结论未必可靠,需要进一步通 过说理等方式使学生确信结论的可靠性,同时明晰结论:如果一个三角形的三边长 c b a , , , 满足 222c b a =+, 那么这个三角形是直角三角 形满足 222c b a =+的三个正整数,称为勾股数。注意事项:为了让学生确认该结论,需要进行说理,有条件的班级,还可利 用几何画板动画演示,让同学有一个直观的认识。活动 3:反思总结 提问:1.同学们还能找出哪些勾股数呢?2.今天的结论与前面学习勾股定理有哪些异同呢?3.到今天为止 ,

32、 你能用哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢 ?4.通过今天同学们合作探究,你能体验出一个数学结论的发现要经历哪些 过程呢?意图 :进一步让学生认识该定理与勾股定理之间的关系第三环节:小试牛刀内容:1.下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长?请说明理由。 9, 12, 15; 15, 36, 39; 12, 35, 36; 12, 18, 22解答:2. 一个三角形的三边长分别是 , 则这个三角形的面积是 ( A250B 1502cm C 200 2cm D 不能确定 解答:B3. 如图, 在 ABC 中, BC AD 于 D ,20, 12, 9=AC AD BD , 则 ABC 是 ( A

33、 等腰三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 钝角三角形 解答:C C4.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后,得到的三角形是( A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 不能确定解答:A意图:通过练习,加强对勾股定理及勾股定理逆定理认识及应用效果:每题都要求学生独立完成 (5分钟 , 并指出各题分别用了哪些知识。第四环节:登高望远内容:1.一个零件的形状如图 2所示,按规定这个零件中 DBC A , 都应是直角。 工人师傅量得这个零件各边尺寸如图 3所示,这个零件符合要求吗?解答:符合要求 222543=+, =90DAB 又 22213125=+ , =90DBC2.一艘在海上

34、朝正北方向航行的轮船,航行 240海里时方位仪坏了,凭经 验,船长指挥船左传 90°,继续航行 70海里,则距出发地 250海里,你能判断 船转弯后,是否沿正西方向航行? C13534D AB BAD E解答:由题意画出相应的图形AB=240海里 ,BC=70海里 , , AC=250海里 ; 在 ABC 中2222240250-=-AB AC =(250+240(250-240=4900=270=2BC 即 222AC BC AB =+ ABC 是 Rt 答 :船转弯后 , 是沿正西方向航行的。意图:利用勾股定理逆定理解决实际问题,进一步巩固该定理。效果: 学生能用自己的语言表达清

35、楚解决问题的过程即可;利用三角形三 边数量关系 222c b a =+判断一个三角形是直角三角形时,当遇见数据较大时,要 懂得将 222c b a =+作适当变形(222a b c =- ,以便于计算。第五环节:巩固提高内容:1.如图 4,在正方形 ABCD 中, AB=4, AE=2, DF=1, 图中有几个直角三 角形,你是如何判断的?与你的同伴交流。解答:4个直角三角形,它们分别是 ABE 、 DEF 、 BCF 、 BEF 2.如图 5,哪些是直角三角形,哪些不是,说说你的理由?图 4 图 5解答:是直角三角形,不是直角三角形 意图:第一题考查学生充分利用所学知识解决问题时, 考虑问题

36、要全面, 不要漏解; 第二题在于考查学生如何利用网格进行计算,从而解决问题。效果:学生在对所学知识有一定的熟悉度后, 能够快速做答并能简要说明理由即可。注意防漏解及网格的应用。第六环节:交流小结内容:师生相互交流总结出:1. 今天所学内容会利用三角形三边数量关系 222c b a =+判断一个三角形是 直角三角形;满足 222c b a =+的三个正整数,称为勾股数;2.从今天所学内容及所作练习中总结出的经验与方法:数学是源于生活 又服务于生活的; 数学结论的发现总是要经历观察、 归纳、 猜想和验证的过程, 同时遵循由“特殊一般特殊”的发展规律;利用三角形三边数量关系222c b a =+判断

37、一个三角形是直角三角形时,当遇见数据较大时,要懂得将222c b a =+作适当变形, 222a b c =-便于计算。意图:鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想, 体会到勾股定理及其逆定 理的广泛应用及它们的悠久历史; 敢于面对数学学习中的困难, 并有独立克服困 难和运用知识解决问题的成功经验, 进一步体会数学的应用价值, 发展运用数学 的信心和能力,初步形成积极参与数学活动的意识。效果:学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获, 总结出利用三角形三边数量关系222c b a =+判断一个三角形是直角三角形从古至今在实际生活中的广泛应用。第七环节:布置作业课本习题 1. 3第 1, 2,

38、4题。五、教学反思:1. 充分尊重教材, 以勾股定理的逆向思维模式引入 “如果一个三角形的三 边长 c b a , , ,满足 222c b a =+,是否能得到这个三角形是直角三角形”的问题;充 分引用教材中出现的例题和练习。2. 注重引导学生积极参与实验活动, 从中体验任何一个数学结论的发现总 是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程,同时遵循由“特殊一般特殊”的 发展规律。3. 在利用今天所学知识解决实际问题时, 引导学生善于对公式变形, 便于 简便计算。4.注重对学习新知理解应用偏困难的学生的进一步关注。5. 对于勾股定理的逆定理的论证可根据学生的实际情况做适当调整, 不做 要求。由于本班

39、学生整体水平较高,因而本设计教学容量相对较大,教学中,应 注意根据自己班级学生的状况进行适当的删减或调整。附:板书设计 第一章 勾股定理3. 勾股定理的应用一、学生知识状况分析本节将利用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题, 其中需要学生了 解空间图形、 对一些空间图形进行展开、 折叠等活动. 学生在学习七年级上第一 章时对生活中的立体图形已经有了一定的认识, 并从事过相应的实践活动, 因而 学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础.二、教学任务分析本节是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级(上第一章勾股定理 第3节. 具体内容是运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.

40、当然, 在这些具体问题的解决过程中,需要经历几何图形的抽象过程,需要借助观察、 操作等实践活动, 这些都有助于发展学生的分析问题、 解决问题能力和应用意识; 一些探究活动具体一定的难度, 需要学生相互间的合作交流, 有助于发展学生合 作交流的能力.本节课的教学目标是:1. 通过观察图形,探索图形间的关系,发展学生的空间观念.2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中, 提高分析问题、 解决问题的能力及 渗透数学建模的思想.3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性.利用数学中的建模思想构造直角三角形, 利用勾股定理及逆定理, 解决实际问题 是本节课的重点也是难点.四、教法学法1.

41、教学方法引导探究归纳本节课的教学对象是初二学生, 他们的参与意识教强, 思维活跃, 为了实现 本节课的教学目标,我力求以下三个方面对学生进行引导:(1从创设问题情景入手,通过知识再现,孕育教学过程;(2从学生活动出发,顺势教学过程;(3利用探索研究手段,通过思维深入,领悟教学过程.2.课前准备教具:教材、电脑、多媒体课件.学具:用矩形纸片做成的圆柱、剪刀、教材、笔记本、课堂练习本、文具.五、教学过程分析本节课设计了七个环节.第一环节:情境引入;第二环节:合作探究;第三 环节:做一做;第四环节:小试牛刀;第五环节:举一反三;第六环节:交流小 结;第七环节:布置作业.第一环节:情境引入内容:情景

42、1:多媒体展示: 提出问题:从二教楼到综合楼怎样走最近? 情景 2:如图:在一个圆柱石凳上, 若小明在吃东西时留下了一点食 物在 B 处, 恰好一只在 A 处的蚂蚁捕捉到这一信息, 于是它想从 A 处爬向 B 处,你们想一想,蚂蚁怎么走最近?意图:通过情景 1复习公理:两点之间线段最短; 情景2的创设引入新课, 激发学 生探究热情.效果:从学生熟悉的生活场景引入, 提出问题, 学生探究热情高涨, 为下一环节奠 定了良好基础.第二环节:合作探究内容:学生分为4人活动小组, 合作探究蚂蚁爬行的最短路线, 充分讨论后, 汇总 各小组的方案, 在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法, 通过具体计算,

43、总 结出最短路线.让学生发现:沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形,研究“蚂蚁怎 么走最近” 就是研究两点连线最短问题, 引导学生体会利用数学解决实际问题的 方法.意图:通过学生的合作探究,找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法,将曲面最短距 离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解.在活动中体验数学建摸, 培养学生与人合作交流的能力,增强学生探究能力,操作能力,分析能力,发展 空间观念.效果:学生汇总了四种方案:(1 (2 (3 (4学生很容易算出:情形(1中 A B 的路线长为:' AA d +,情形(2中 A B 的路线长为:所以情形(1的路线比情形(2要短.学生在情形(3和(4的比较

44、中出现困难,但还是有学生提出用剪刀沿母 线 AA 剪开圆柱得到矩形,情形(3 A B 是折线,而情形(4是线段,故根据 两点之间线段最短可判断(4较短,最后通过计算比较(1和(4即可.如图: (1中 A B 的路线长为:ABD.(2中 A B 的路线长为:ABCEF>AB .(3中 A B 的路线长为:AO +OB >AB . (4中 A B 的路线长为:AB . 得出结论:利用展开图中两点之间,线段最短解 决问题. 在这个环节中, 可让学生沿母线剪开圆柱体, 具体观察.接下来后提问:怎样计算 AB ?在 Rt AAB 中 , 利 用 勾 股 定 理 可 得222' B A

45、 A A AB +'=,若已知圆柱体高为 12cm ,底面半径为 3cm , 取 3,则22212(33 , 15AB AB =+=.注意事项:本环节的探究把圆柱侧面寻最短路径拓展到了圆柱表面, 目的仅 仅是让学生感知最短路径的不同存在可能. 但这一拓展使学生无法去论证最短路 径究竟是哪条. 因此教学时因该在学生在圆柱表面感知后, 把探究集中到对圆柱 侧面最短路径的探究上.方法提炼:解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型, 解决 这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下:AAA1.审题分析实际问题; 2.建模建立相应的数学模型; 3.求解运用勾股定理计算;4.检验是否符合

46、实际问题的真实性.第三环节:做一做内容 : 李叔叔想要检测雕塑底座正面的 AD 边和 BC 边是否分别垂 直于底边 AB ,但他随身只带了卷尺, (1你能替他想办法完成任务吗?(2李叔叔量得 AD 长是 30厘米, AB 长是 40厘米, BD 长 是 50厘米, AD 边垂直于 AB 边吗?为什么?(3小明随身只有一个长度为 20厘米的刻度尺,他能有办法检验 AD 边是否 垂直于 AB 边吗? BC 边与 AB 边呢?解答:(2 222230402500AD AB +=+=22500BD =222AD AB BD += AD 和 AB 垂直.意图 :运用勾股定理逆定理来解决实际问题, 让学生

47、学会分析问题, 利用允许的工 具灵活处理问题.效果 :先鼓励学生自己寻找办法, 再让学生说明李叔叔的办法的合理性. 当刻度尺 较短时, 学生可能会在上面解决问题的基础上, 想出多种办法, 如利用分段相加 的方法量出 AB , AD 和 BD 的长度,或在 AB , AD 边上各量一段较小长度,再去 量以它们为边的三角形的第三边,从而得到结论.第四环节:小试牛刀内容: A3220BA 1. 甲、 乙两位探险者到沙漠进行探险, 某日早晨 8:00甲先出发, 他以 6 km/h的速度向正东行走, 1时后乙出发,他以 5 km/h的速度向正北行走.上午 10:00,甲、乙两人相距多远?解答:如图 :已

48、知 A 是甲、乙的出发点, 10:00甲到达 B 点,乙到达 C 点. 则 : AB =2×6=12(km AC =1×5=5(km 在 Rt ABC 中 :22222251216913BC AC AB =+=+=. BC =13(km . 即甲乙两人相距 13 km.2.如图,台阶 A 处的蚂蚁要爬到 B 处搬运食物,它怎么走最近?并求出最 近距离.解答:2222152062525AB =+=.3. 有一个高为 1.5 m , 半径是 1m 的圆柱形油桶, 在靠近边的地方有一小孔, 从孔中插入一铁棒,已知铁棒在油桶外的部分为 0.5 m ,问这根铁棒有多长?解答:设伸入油

49、桶中的长度为 x m.则最长时 :2221.522.5x x =+=. .最长是 2.5+0.5=3(m . 最短时 :.最短是 1.5+0.5=2(m .答 :这根铁棒的长应在 23m 之间. 意图:对本节知识进行巩固练习,训练学生根据实际情形画出示意图并计算. 效果:学生能独立地画出示意图,将现实情形转化为数学模型,并求解. 第五环节:举一反三内容 :1. 如图, 在棱长为 10cm 的正方体的一个顶点 A 处有一只蚂蚁, 现要向顶点 B 处爬行,已知蚂蚁爬行的速度是 1 cm/s,且速度保持不变,问蚂蚁能否在 20 s 内从 A 爬到 B ? 解:如图,在 Rt ABC 中:051015

50、2025 500>202 .不能在 20s 内从 A 爬到 B .2.在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题,这个问题 的意思是:有一个水池,水面是一个边长为 10尺的正方形,在水池的中央有一 根新生的芦苇, 它高出水面 1尺, 如果把这根芦苇垂直拉向岸边, 它的顶端恰好 到达岸边的水面,请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?解答:设水池的水深 AC 为 x 尺,则这根芦苇长为AD =AB =(x +1尺, 在直角三角形 ABC 中, BC =5尺 .由勾股定理得 :BC 2+AC 2=AB 2.即 52+ x 2=(x +1 2.25+x 2= x 2+2x +1.2x

51、 =24. x =12, x +1=13.答:水池的水深 12尺,这根芦苇长 13尺.意图 :第 1题旨在对“蚂蚁怎样走最近”进行拓展,从圆柱侧面到棱柱侧面,都是 将空间问题平面化; 第 2题, 学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用,了解我国古代人民的聪明才智;运用方程的思想并利用勾股定理建立方程. 效果 :学生能画出棱柱的侧面展开图,确定出 AB 位置,并正确计算.如有可能, 还可把正方体换成长方体进行讨论.学生能画出示意图,找等量关系,设适当的未知数建立方程.注意事项:对于普通班级而言,学生完成“小试牛刀” ,已经基本完成课堂 教学任务. 因此本环节可以作为教学中的一个备选环节,

52、 共老师们根据学生状况 选用.第六环节:交流小结内容 :师生相互交流总结:1.解决实际问题的方法是建立数学模型求解.2.在寻求最短路径时,往往把空间问题平面化,利用勾股定理及其逆定理 解决实际问题.意图 :鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想, 体会到勾股定理及其逆定 理的广泛应用及它们的悠久历史.效果 :学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获,总结出在寻求曲面最短路径时, 往往考虑其展开图, 利用两点之间, 线段最短进行求解. 并赞叹我国古代数学的 成就.第七环节:布置作业1.课本习题 1. 4第 1, 2, 3题.2.如图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面,并多出了一段,现在老师想知

53、道旗杆的高度,你能帮老师想个办法吗 ? 请你与同伴交流设计方案 ?注意事项:作业 2作为学有余力的学生的思考题. 六、教学设计反思本节从生动有趣的问题情景出发, 通过学生自主探究, 运用勾股定理及其逆 定理解决简单的实际问题, 既巩固了基本知识点, 又在将实际问题抽象成几何图 形过程中,学会观察,提高分析能力,渗透数学建摸思想.在设计中,我注重以 下两点:1.要充分利用好教材提供的素材“蚂蚁怎么走最近” 是一个生动有趣的问题, 让学生充满了探究的欲望, 这 个问题体现了二、三维图形的转化,对发展学生的空间观念很有好处.2.合理使用教材提供的练习本节课通过“小试牛刀”和“举一反三”把教材中的练习

54、重组,使练习有梯 度, 既巩固了基本知识点, 又训练了学生的应用能力. 第一个作业让学生深入理 解和应用勾股定理及逆定理.3.突破重点、突破难点的策略在教学过程中教师应通过情景创设, 激发兴趣, 鼓励引导学生经历探索过程, 得出结论,从而发展学生的数学应用能力,提高学生解决实际问题的能力. 4.分层教学根据本班学生实际情况可在教学过程中选择:基础训练“小试牛刀” ; 提高训练“举一反三” ;拓展训练作业第 2题.5.评价方式根据新课标的评价理念, 在教学过程中应关注学生的参与程度, 关注活动中 所反映出的思维水平, 关注对实际问题的理解水平, 关注学生对基本知识的掌握 情况和应用勾股定理及逆定

55、理解决实际问题的意识和能力. 在教学过程中尊重学 生的个体差异, 对于学生的回答教师应给予恰当的评价与鼓励, 并帮助学生树立 学习数学的自信,充分发挥教育的价值.附:板书设计 第一章 勾股定理回顾与思考一、学生起点分析通过前面三节的学习, 学生已经基本掌握了勾股定理及逆定理的知识, 并能 应用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题, 因而学生已经具备解决本课 问题所需的知识基础和活动经验基础. 同时在以前的数学学习中学生已经经历了 很多合作学习的过程, 具有了一定的合作学习的经验, 具备了一定的合作与交流 的能力.八年级学生已初步具有几何图形的观察, 几何证明的理论思维能力. 他们希 望老师创设便于他们进行观察的几何环境, 给他们发表自己见解和表现自己才华 的机会, 希望老师满足他们的创造愿望, 让他们实际操作, 使他们获得施展自己 创造才能的机会. 但对于勾股定理的综合应用, 还需要学生具备一定的分析、 归 纳的思维方法和运用数学的思想意识, 但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能 力并不是很成熟,可能部分同学会有一些困难.二、教学任务分析勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论, 它揭示了直角三角形三边 之间的数量关系, 将形与数密切联系起来, 理论上占有重要的地位, 它有着悠久 的历史,