第一节 非正弦周期信号的谐波分析

1、第一节第一节 非正弦周期信号的谐波分析非正弦周期信号的谐波分析 在实际工程中，除了正弦激励和响应外,还会经常遇到非正弦激励和响应。 在电力工程中，交流发电机发出的波形是个近似正弦波，见图 71所示图 71如图7-2是晶体管交流放大电路中的电流波形。图7-2 而电子线路中信号源的电压多数情况下也是非正弦.例如收音机天线上同时接收几个不同频率的正弦信号，它们叠加起来则是非正弦。图7-3说明两个不同频率的正弦波叠加后是非正弦波图7-3计算机、自动控制等领域内应用的脉冲波、方波、扫描用的锯齿波等，如图7-4所示图7-4 在无线电工程和其它电子工程中，由语言、音乐、图象等转换过来的电信号也都是非正弦信号

2、。 当电路中含有非线性元件,如二极管、三极管、晶体管、铁芯线圈等，即使激励为正弦，也会在电路中出现非正弦电压和电流响应。非正弦周期电路： 一种是电路为线性电路，激励为非正弦，经线性元件，使得响应为非正弦。 一种是电路为非线性电路，激励为正弦，经非线性元件，使得响应为非正弦。 这里只讨论非正弦周期量激励下线性电路稳定状态的分析和计算。 周期电压信号可以用周期函数表示。一个满足狄里赫利条件的周期函数，可以分解为傅里叶级数。 在我们电工技术所遇到的非正弦周期信号都满足狄里赫利条件。 设f（t）为一非正弦周期函数，其周期为T，角频率=2/T，则f（t）的傅里叶级数展开式为（7-1）)sincos(1)

3、(kkkottkbtkaafa0 的直流分量；akcoskt 余弦项； bksinkt 正弦项；a0 、 ak 、 bk 傅里叶系数 , 计算公式：)(cos)(1)(cos)(1)(cos)(2)()(1)()(1200)(2200ttdktfttdktfttdktfTatdtfTtdtfTaTtTTT（7-2）上式中的k=1、2、3，)(sin)(1)(sin)(1)(sin)(2200)(ttdktfttdktfttdktfTbTt10)cos()(kkkmtkAAtf（7-3） kkmkkkmkkkkkkkmAbAaabbaAaAsincosarctan2200其中（7-4）直流分量

4、A0，是非正弦周期函数一周内 的平均值。基波分量 A1mcos（t+k） k=1时的波 的成分。谐波分量 除上述以外的分量；如 k=1称一 次谐波；k=2 称二次谐波 谐波， 对k1的谐波统称高次谐波。谐波分析：即将一个非正弦周期函数分解为直流分量和无穷多个频率不同的谐波分量之和。实际工程采用直接查表对照其波形直接查出展开式。见表7-1。 表 7-1 几种典型周期函数的傅里叶级数半波整流波正弦波平均值有效值傅里叶级数 波形名称.)6cos754cos532cos31cos421(2)(ttttAmtftAmtfsin)(2mAmA22mAmA 一个非正弦周期函数分解可以分解成傅里叶级数，也可绘

5、出其直流分量和各次谐波的波形图，还可用频谱图表示，以锯齿波为例图7-5 设Um=10V，则傅里叶级数的展开式为ttU2sin210sin105.3sin310t频谱图图7-5 实际工程中常见的非正弦波形往往具有某种对称性。由于对称，在作谐波分析时，可能不含某些谐波分量。下面研究几种常见的对称波形。一、奇函数一、奇函数原点对称原点对称 由数学知满足f(t) =- f(-t)的周期函数称为奇函数。图7-6所示波形图7-6将偶函数分解为傅里叶级数时，数系bk=0 ,即无正弦谐波分量，10cos)(kktkaatf（7- 6）三、奇谐波函数三、奇谐波函数横轴对称横轴对称 由数学知满足f (t) = -

6、f (t T/2)的周期函数称为奇谐波函数。图7-8所示波形图 7- 8 将奇函数分解为傅里叶级数时，数系a0=ak=0 ，即无直流分量和余弦谐波分量，1sin)(kktkbtf（7-5）二、偶函数二、偶函数纵轴对称纵轴对称 由数学知满足f(t) = f(-t)的周期函数称为偶函数。图7-7所示波形图7-7将奇谐波函数分解为傅里叶级数时，无直流分量和偶次谐波分量，只含奇谐波函数分量，即(k=1, 3, 5) （7- 7）1)sincos()(kkktkbtkatf四、偶谐波函数四、偶谐波函数 与奇谐波函数对应，也有偶谐波函数。所谓偶谐波函数是满足f (t) = f (t T/2)条件的函数。图

7、7-9所示波形图 7- 9其傅里叶级数展开式中，含直流分量和偶次谐波分量，不含奇谐波函数分量，故20)sincos()(kkktkbtkaatf(k=2, 4, 6) （7- 8）例7-1 求图7-10(b)所示三角波f2(t)的傅里叶级数展开式。是奇函数解：由表7-1中不能直接查得的f2(t)的傅里叶级数展开式，但可以直接查得图7-10(a)三角波f1(t)的展开式为.)5sin2513sin91(sin8)(21tttAtfm f1(t)是奇函数，比较(a)(b)图波形，若将(a)图的纵轴向右平移1/4周期， （a）（b）图 7-10f1(t)中的t 用(t T/2)代入即可，故有 由波形看出 f2(t) 是偶函数。 .)5cos2513cos91cos8.)4(5sin251)4(3sin91)4(sin8)(222tttATtTtTtAtf