第三章矩阵的初等变换

1、第三章矩阵的初等变换 本章通过引进矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念，然后再利用矩阵的初等变换求矩阵的逆矩阵和解线性方程组.3.1 矩阵的初等变换3.2 矩阵的秩3.3 初等矩阵3.4 线性方程组的解矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到非常重要的作用。引例：用消元法解下面的线性方程组123412341234123422(1)24(2) 46224(3)36979(4)211 1 21 12 1 446 22 43 69 7 9xxxxxxxxxxxxxxxxB方程组的增广矩阵123(1)(2)12342(3) 2123412341234

2、24 (1)1 12 1 422 (2)211 1 2232 (3)23 11 23 69 7 936979 (4)rrrxxxxxxxxxxxxxxxx32214(3) (2)2(2) 2 (1)12343(4) 3 (1)23423423424(1)1 12 14336 (2)03 3162220(3)02 22 00 33 433343 (4)rrrrrrxxxxxxxxxxxxx 33243( 2)(3) ( 2)(3)(2)1234(3) (4)234234424(1)1 12 140(2)0 11 1003 316336 (3)0 003939 (4)rrrrrxxxxxxxxxx

3、x 3243(3) 3 (2)12343(4) 32344424(1)1 12 1 40(2)0 11 1 00 0 0 2626 (3)0 0 0 133(4)rrrxxxxxxxxx 34432(3) 2 (4)1234(4)(3)234424(1)1 12 1 40(2)0 11 1 00 0 0 133 (3)0 0 0 0 000(4)rrrrxxxxxxxx 12323(1) (2) (3)13(2) (3)2344(1)1 01 0 43(2)0 11 0 30 0 0 133 (3)0 0 0 0 000(4)rrrrrxxxxx 13233443 3xxxxxcx 令，即方程

4、组的解为： 在上述过程中，对线性方程组的消元操作实际上就是对整个线性方程组进行了三种操作:(1)对某一方程两边同时乘以不为零的常数；(2)交换方程组中两个方程的位置；(3)给某一方程乘以常数k加到另一个方程上去。123441431310303xcxccxcx x上述的三种操作又都是可逆的，因而变换前的方程组与变换后的方程组是同解方程组。同时还看到，上述变换过程中实际上只对方程组的系数和常数进行运算，这就相当于是对该方程组所对应的增广矩阵进行了：(1)给某一行所有元素都乘以一个非零常数；(2)交换两行元素的位置；(3)给某一行所有元素乘常数 k 加到另一行的对应元素上去。定义：定义：下面三种变换

5、称为矩阵的初等行变换初等行变换：1)交换两行(记为rirj);2)以数k 0乘某一行所有元素（记作rjk）;3)把某一行所有元素的k倍加到另一行的对应元素上去（记作ri+krj ）把定义中和“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换初等列变换的定义（所用记号是把“r”换成“c”）。矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为矩矩阵的初等变换阵的初等变换。 显然，三种初等变换都是可逆的，且其变换是同一类型的初等变换。变换rirj的逆变换就是本身；变换 rjk 的逆变换为 rjk ；变换 ri+krj 的逆变换为ri k rj。如果 A 经过有限次初等变换变为矩阵 B，称矩阵 A与 B是等价的，记为AB 。矩

6、阵的等价关系有如下性质： 反身性： A A 对称性： AB ，则B A 传递性： AB， B C，则A C在数学上，我们把满足上述三条性质的关系称之为等价。由前面的引例可以看出，同时也不难证明对矩阵进行行的初等变换，可以把矩阵化为行对矩阵进行行的初等变换，可以把矩阵化为行阶梯矩阵，进而可以化为行最简矩阵阶梯矩阵，进而可以化为行最简矩阵。对行最简矩阵再施以列的初等变换列的初等变换，行最简矩阵可变成一种形状更简单的矩阵，称它为矩阵的标准形。矩阵标准形的特点是：其左上其左上角是一单位矩阵，其余元素全是零角是一单位矩阵，其余元素全是零。可以证明，任何一个任何一个mn阶矩阵阶矩阵 A，都可以经过初等，都

7、可以经过初等rm nEF00 0 此标准形由m、n、r三个数完全确定，其中r就是行阶梯矩阵中非零行的行数，所有与A等价的矩阵组成了一个集合，这个集合称为一个等价类，标准形F是这个等价类中形状最简单的矩阵。2 3 1371 2 02432 8 3023 7 4.31A把矩阵化为行阶梯阵和行最简阵，并求它的例标准形。变化化为标准形变化化为标准形F。41321212322 3 1371 2 0241 2 02401 1 1132 8 3008 8 9 1223 7 4306 6 7 10rrrrrrrrA解：324243286( 1)1 2 0241 2 0240 11110 11110 0 014

8、0 0 0140 0 0140 0 000rrrrrrr 1 0 2 021 0 0 0 00 11 0 30 1 0 0 00 0 0 1 40 0 1 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 在mn阶矩阵A中，任取k行与k列(km，k n)，位于这些行列交叉点处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。 mn阶矩阵A中的k阶子式共有 个。 设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r1阶子式(如果存在的话)全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵的秩。记作R(A)。同时规定，零矩阵的秩等于0。knkmCC 由行列式性质可知，

9、在 A中当所有r1阶子式全等于零时，所有高于r1阶的子式也全等于零，因此 A的秩 R(A)就是 A中不等于零的子式的最高阶数。由矩阵秩的定义可知，矩阵与它的转置矩阵的秩是相等的。定理：定理：若AB ，则R(A)= R(B)证：证：先证明：若A经过一次行的初等变换变为B，则 R(A) R(B) 设 R(A) = r，且 A的某个r 阶子式 Dr 0.(1) (2) (3) . . . . . .ijrkrrrrrrrrrilriljlDiBDDijBDDijDaBakaA B当时，分三种情况来讨论：不含第行，；既含第行，也含第行，这时，；只含第行，不含第行，这时 ，在B中总能找到与Dr相对应的子

10、式Br，由于Dr= Br或Dr= Br或Br= kDr，因此Br0，从而R(B)r。 ijirrr kA BA B当或时0 0 R( )rrrrrrrrBDkDDBDDDiirrAB，若，则；若，则因中不含第行可知 中有不含第行的阶非零子式，由(1)可知 以上证明了A经过一次行初等变换变为 B时，有R(A)R(B).由于B也可经过一次行初等变换变为A，那么同样有R(A)R(B).所以有 R(A)R(B). 经一次行初等变换矩阵的秩不变，即可知经有限次行的初等变换矩阵的秩也不变。 设 A 经过列的初等变换变这 B，那么， AT经过行的初等变换变为 BT，由上面的讨论可知， R(AT)=R(BT)

11、又因为，R(A) = R(AT) = R(BT) = R(B)所以，矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。上面的命题给出了求矩阵的秩的一种常用办法。即就是对待求秩的矩阵进行行的初等变换化为行阶梯矩阵，那么非零行的行数就是矩阵的秩。12243414243432443233214162 1 8 3 71 032023 0 75036 35 32 5 8 0024 201 0 3 2 00 121 71 0 3 201 0 3 2 00 1 21 70 1 21 7 0 0 0 0 1400 0 0 0 16rrrrrrrrrrrrrrrrr解：0 0 0 10 0 0 0 0R( )3A2 1 8 3 7

12、23 0 75A32 5 8 01 0 3 2 01.AA设 ，求矩阵 的秩，并求 的一个最高阶的非例零子式。334512345125 ( )3 3 C C4 1040 , 40 (,) 2 17235(,) , ()332 01 00RRAAAAAa a a a a Ba a a B B B由于，可知 的最高阶的非零子式为阶，而的三阶子式共有个要从个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的，但考察的行梯矩阵，记：则由矩阵知，故中必有三阶非零子式。 中的三阶子式42 1 7 32 0140 1 0 0A只有 个显然 ，所以该子式便是的最高阶的一个非零子式。12 21124 802 2 42 3336

13、 064 ( | ) .(, )(, )( )( ).12 21 124 80 2 2 42 3 336 062.4rRR AbABAbBBA bAABA bABB设，求矩阵及矩阵的秩对 进行行的初等变换变为行阶梯矩阵则就是 的行阶梯矩阵，故可从中同时解求出例、：21312122312 21 10 042 00 021 50 063 1rrrrr323423243223512 21 112 21 112 21 10 021 00 0 2 1 00 0 2 1 0 0 021 50 0 0 0 50 0 0 0 10 063 10 0 0 0 10 0 0 0 0 ( )2( )3rrrrrrr

14、rrRRAB因此，11 1 231 2( )25 33.6aRabbAA设，已知，求 、例的值.32213131355111211120344034408540 51 0( )2 50105,1rrrrrrrraaba bRabab AA解：由于，、T0( )min , (2) ()( )(3) ,( )( )(4) ()( )(5) max ( )( )(|)( )( )(6) ()( )( )(7) ()min ( )( )(8) ( )(m nn pRm nRRRRRRRRRRRRRRRRRRRAAAA BABPQPAQAABA BABABABABABAB0AB关于矩阵的秩，有如下(1)

15、 若则若 、 可逆，则，若，则性质：)n定义：由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 三种初等变换所对应的三个初等矩阵为1.1.1( , ).1.1.11100i jE1.1( ( )1.111.11( ( ) ( ( ).11. .11i kij kkoij kkkrEEE 设矩阵Amn，Em(i,j)，En(i,j)，Em(i(k)， En(i(k)，Em(ij(k)， En(ij(k)，则可以验证：( )( ( )( ( )ijiijrrm nm nmm nm nk rm nm nmm nm nrkrm nm nmm nm niji kij kABEABABEABABE

16、AB( )( ( )( ( )ijiijccm nm nm nnm nk cm nm nm nnm nckcm nm nm nnm niji kij kABAEBABAEBABAEB定理定理1.设 A是一个 mn 阶矩阵，对 A 施行一次初等行变换，相当于对 A 左乘以相应的 m 阶初等阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于对 A右乘以相应的 n 阶初等矩阵。111 1 ( , )( , ) ( ( )( ( ) ( ( )( ()i ji ji kikij kijkEEEEEE由于初等变换对应初等矩阵，而初等变换是可逆的，所以初等矩阵也可逆，且此初等变换的逆变换也就对应此初等矩阵的逆矩阵。1

17、1311232111221222122313231321112111121212222122231323313231 0(1) 0 1 00 0 11 0 0(2) 000 0( 1.1nnnnnnakaakaaakaaaaaaaaaa. aaa.akaa. akaka. kaaa. aaa. a例1112131113122122232123223132333133321 0 03)0 0 10 1 0bbbbbbbbbbbbbbbbbb初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵12121212112. . . .2.nnnrrnnAPPPAPPPA EEAPPP

18、PPP EPPAAPPP设 为可逆矩阵，则存在有限个初等矩阵 ， ， ，使因，故 经有限次初等变换可变为，也就是存在有限初等个 ， ，使即：定理证： mnmnA BPQPAQBA B阶矩阵的充分必要条件是：存在阶可逆矩阵 及阶可逆矩阵 ，使证：因有相同的标准形，设推论.它们的标12121211211211211111112,.,., . . .nmrrnkkmrrnkkmkkrrrE0P PP00Q QQE0PPP APP00E0QQQ BQQ00PPP APPQQQ BQQPQ QQ PP准形为，则存在初等和初等矩阵使得所以令1111., . rrnmkP QPP QQPAQB则121111

19、121111111211120 . . . . mmmmmmAAPPPP PP P AEP PP P EAAEEAP P由定理 ，可得出一种求逆矩阵的方法：当时，由有及上面的式子说明， 经过一系列初等行变换可以化为 ，同时也可经过同一系列初等行变换可以化为用分块矩阵形式，上面两式可合并为：11111211.( | )(|)2( | ) .mnnP PAEE AAEAEEA即把阶矩阵进行初等行变换，并把化为，则原来的就成为11 2 32 2 1 .3 4 31 2 3 1 0 01 231 0 0 (|)2 2 1 0 1 0 0252 1 03 4 3 0 0 10263 0 11 2310

20、01 0 0 1 32 0252 1 0 02 0 3 650 0111 10 0 1 1 111 0 013235 0 1 03222.AAA E设，求例解：113235 3220 0 1111111 A利用初等变换求逆矩阵的方法，还可用于求A1B.由 A1(A|B)=(E|A1B)可知，若对矩阵(A|B)施行初等行变换，当把A变为E时，B就变为A1B.14 1213 2 2 1 2 23 1131 (|)4 12 131 01221 01222 2 1 2 2 2 2 122 0 2 3663 11 313 11 310 195.2XAXBABXA BA B求矩阵 ，使，其中，例3解：11

21、11TT1 01241 01241 0 0 100 0 01124 0 1 295 0 1 01530 1 2950 0 1 12 40 0 1 124 A BCAEAACCCACAAC用初等行变换的方法可求得，同理如果要求，则可对矩阵进行初等列变换，使，即可得。不过通常都习惯作初等行变换，那么可改写为对作初等行变 TTT111T1T T() ()ACEACCAAC换，使，即可得1231123123(1)0 0 1 0110 1 0 011 0 0 0110 0 0 111(.)4kcPPPPP PPP P设初等矩阵求例及1230 0 1 0110 1 0 01(1)1 0 0 0110 0

22、0:111kcPP P解1111123321110101 10110111()110 0 1 010 1 0 0 11 0 0 0110 0 0 1110 0 1 00 1 0 0 1 0 0 010 0 0 11kkkkccccPP PP P P1111kc1212(2):,10 00 0 11 2 32 1 00 1 02 3 400 11 0 03 4 5 APBPAPPB已知求其中10 01 2 30 0 12 1 02 3 40 1 000 13 4 51 0 01230 0 1321 0120 1 021 03451 0 0543: A解,12 2 2 . 20 1 1 . 1,0

23、 0 1 . 1. . .0 0 0 . 15.niji jnAAA已知 阶方阵求 中所有元素的代数余子式之和例*11| 2,|22 2 2 . 2 1 0 0 . 00 1 1 . 1 0 1 0 . 0|0 0 1 . 1 0 0 1 . 0. . . . . .0 0 0 . 1 0 0 0 . 1:AAA AAA E解111 0 0 . 01 0.020 1 0 . 0 011 .0 . . . . . . .0 0 . 1 0 00.110 0 . 0 1 00.0111 0.02011 .0. . . .00.1100.01A,112(1)(1)12niji jnnA1002011

24、.6.00A将矩阵表示成初等矩阵乘积的形式例211211121122,.,.10010020100101 001 0:kSkrrAP PPPP PAEAP PPA因为矩阵 可逆 所以存在初等矩阵使得而解2332( 1)( 1)1 001 0 01 0 001 00 1 00 1 00 010 010 0 1rrrr 1111:11111112 1=111111112 11111111 A EA即11112 11111111 ( ) ( ) D D ( ) ( ) ( )1m nnnnRnRnnnRnRnRrAx0AAAAAA元齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩先证必要性假设，则 中

25、必有一个阶非零子式，然而所对应的个方程只有零解，这与方程组有非零解矛盾，因此不能成立，即：再证充定分性：当理 .证： 1 nrnrA，即在的行阶梯矩阵中只有个非零行，进而知其有个自由未知量，任取一自由未知量为，其余未知量为零，即得方程组的非零解。 ( )(| ) ( )(| ) (| ) 01 (2 ( )m nnRRRRRRAxbAA bAA bA bA元非齐次线性方程组有解的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相等。即先证必要性：当，则的行阶梯矩阵中的最后一行非零行是一个矛盾的方程 ，这与方程组有解相矛盾，所以有定理证：. | )( )(| )() (| ) RRr rnrrA bAA bA

26、b再证充分性：当，则的行梯矩阵中有 个非零行，把前个非零行的第一个非零元素所对应的未知量作为非自由未知量，其余 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )() ,., ,., n rn rnrnrRRnRRr rnnrcccnrcccABAB个未知量作为自由未知量，并令个自由未知量全为零，即可得方程组的一个解。当时，方程组没有自由未知量，所以方程组只有唯一解；当时，这时方程组有个自由未知量，令它们分别等于，可得含有个参数的解，这些参数可取任意的值，因 nr此这时方程组有无限多个解。并且这些含有个参数的解可表示方程组的任一解，因此这些解称为方程组的通解。在解线性方程组时，对于齐次线性方程组，

27、只需要把的系数矩阵化为行最简矩阵，便能写出该方程组的通解；对于非齐次线性方程组，只需把它的增广矩阵化为行梯矩阵，便能根据定理2判断该方程组是否有解；在有解的前提下，再把增广矩阵进一步化为行最简矩阵，便能写出它的通解。123412341234 220 22204301 2 2 11 2211 22142 122 0364 0 1 23114303640 0 0 01 025 3 0 1 24 3001.00 xxxxxxxxxxxxAA求解齐次线性方程组对矩阵 进行行的初等变换化为行最简矩阵：例解：134234 3 1 4 211212212123431425203 4203 , 5523234

28、242 133001 xxxxxxxcxcxccxxxccccxxxcxc 即得同解方程组令，则有：12 ()cc， 为任意常数123412341234231 35322223 12 31 112 31 1 31 53 2 0 54 012 1 22 30 54 0112 31 1 0 54 01R(0 00022.xxxxxxxxxxxxBBA求解非齐次线性方程组对增广矩阵施行初等行变换可得，例解：)2R( )3B故方程组无解。1 234123 1 | 0 7210 3. 3tttt ABABOABOBOAx0AA方阵， 为三阶非零矩阵，且，求由且知齐次线性方程组有非零解，故方程组的的例系数

29、行列式，而设解：12341234134124-212 -23 23 -3511 2 1 111 2 1 111 2 1 121 1 2 30 13 0 10 13 01 01 1 20 13 0 131 0 3 50 2046.2x xxxx xxxxxxx xxBB求非齐次线性方程组的通解。对增广矩阵 进行初等行变换化为行最例解：简矩阵：10 00 0 00 00 0 01 01 1 20 13 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 01341342323314211221123124( )( )2422 3113, 221113130010001RRxxxxxxxxxxxc xcxccxcccxccx AB因，所以行最简矩阵对应的方程为：，即令，即得：123123123(2)2212(5)4224(5)1,.a xxxxa xxxxa xaa 设 问 为何值时 此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求例其通解523133112222( 1)2221( | )2542245