第三章第一节 矩阵的概念与运算

1、返回返回11 1 矩阵的概念与运算矩阵的概念与运算一、矩阵的概念一、矩阵的概念二、矩阵的运算二、矩阵的运算返回返回2一、矩阵的概念一、矩阵的概念1212 ,mnyyyx xx设设变变量量能能用用变变量量线线性性表表示示, ,即即引引例例1.1.11111221221122221122, (1).nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xa xyaxaxax 1212,nmx xxyyy这这种种从从变变量量到到变变量量的的变变换换称称为为线线性性变变换换. .1,2,;1,2, ).ijaim jn其其中中为为常常数数( (返回返回3111212122211, (2)nnmmmnaa

2、aaaaaaa 则线性变换则线性变换(1)与数表与数表(2)存在着一一对应关系存在着一一对应关系. . 线性变换线性变换(1)中的系数按方程的顺序可排成中的系数按方程的顺序可排成m行行n列的一张数表列的一张数表引例引例2 2. 一般线性方程组一般线性方程组返回返回411112211211222221122, (3).nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxa xb 方程组方程组 (3) 的解取决于系数与常数项的解取决于系数与常数项, 而而系数与常数项按方程的顺序也可排成如下系数与常数项按方程的顺序也可排成如下m行行(n+1)列的数表列的数表返回返回51112112

3、1222212, (4)nnmmmnmaaabaaabaaab则线性方程组则线性方程组(3)与数表与数表(4)也构成一一对应关系也构成一一对应关系. 因此因此, 对线性变换对线性变换 (1) 和线性方程组和线性方程组(3)的研的研究可转化成对数表究可转化成对数表(2)与数表与数表(4)的研究的研究.为此下面引进矩阵的概念为此下面引进矩阵的概念.返回返回6 (1,2,;1,2, )ijmnaim jn由由个个数数称为称为 矩阵矩阵. .nm 定义定义1. 1. 排成排成 m 行行 n 列的数表列的数表111212122211 (5)nnmmmnm naaaaaaAaaa 简记为简记为()().i

4、jm nm nijAaAa或或(1,2,;1,2, )ijmnaim jn其其中中个个数数称为矩阵称为矩阵A的元素的元素.返回返回7元素是实数的矩阵称为实矩阵元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的元素是复数的矩阵称为复矩阵矩阵称为复矩阵.例如例如123045006 是一个是一个3 阶方阵阶方阵. 是数表是数表.1. 方阵方阵. . 当行数与列数都等于当行数与列数都等于n 时时, ,矩阵矩阵A称为称为n阶阶方阵方阵. .几类特殊矩阵几类特殊矩阵返回返回860054032124 是数是数, 有行列式的运算规律有行列式的运算规律.2. 行矩阵、列矩阵行矩阵、列矩阵. .只有一行的矩阵只有一行的矩阵

5、 ,121nnaaaA 称为称为行矩阵行矩阵. .121mmbbAb 只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为称为列矩阵列矩阵. .返回返回9 对一般的对一般的 阵可构成阵可构成m个行阵个行阵, n个列阵个列阵.nm 如如00000000042 是零阵是零阵.元素都是零的矩阵称为元素都是零的矩阵称为零矩阵零矩阵, ,记为记为O.O.3. 零阵零阵.4. 相等矩阵相等矩阵若若,21222111211nmmnmmmnnaaaaaaaaaA 返回返回10.212222111211nmmnmmnnbbbbbbbbbB ., 2 , 1 , 2 , 1 ,njmibaijij A=B.例例1. 若若,54322

6、2211211 xxxx. 5 , 4 , 3 , 2 22211211 xxxx则则返回返回11再如再如.4221 ,4321 ,4321 CBA则则 A=B, AC. ,321 ,321 BA又又.BA 返回返回12二、矩阵的运算二、矩阵的运算1. 加法加法 111112121121212222221122. (6)nnnnmmmmmnmnababababababABababab定义定义3.3.设有两个设有两个 矩阵矩阵 nm ,bB,aAijij 则矩阵则矩阵 A与与B的和记作的和记作A+B, 规定为规定为返回返回133 23 23111 22, 11,1311AB . .例例2 231

7、11 21211131AB 则则4233 .24 2. 数与矩阵相乘数与矩阵相乘定义定义4.4.(,ijm nAaAA 数数 与与矩矩阵阵) )的的乘乘积积记记作作或或规定为规定为返回返回14111212122211. (7)nnmmmnaaaaaaAAaaa 例例3.1232456246.81012 又如又如:24681012141618 123222 456 .789 返回返回15应为应为:246123810122 456 .141618789 但是但是 18161412108642.987654321222 又如又如:24681012141618 123222 456 .789 返回返回

8、163. 3. 矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘5) (66定义定义P例例4.4.2 35 21627432, .3814249510AB 返回返回17.3055302648252241201834151427102412341059483726135CAB 11064114 + 61. 10 48.4842 C493443 + 94 = 48.1011 C返回返回18一般一般:smmsmmisiisaaaaaaaaaA 212111211(第第i行行) , 11111nssnsjsnjbbbbbbB (第第j列列)返回返回19. 2111111nmmnmmijinjccccccccC .), 2

9、 , 1 ;, 2 , 1( , :2211njmibababacsjisjijiij 若若则称则称C为为A与与B的的乘积乘积.记记C=AB. .ssmnmnABC 或或返回返回20注意注意: 左阵的列数左阵的列数=右阵的行数右阵的行数.否则否则,“,“AB”AB”无意义无意义. .例例5.则则111100.111100AB 111122.111122BA 11112 2, , ,11110 0ABC 112222.110022BC 返回返回21一般情况下一般情况下, 对矩阵对矩阵).( ).1(无无交交换换律律BAAB . 0 0 , 0 .2 BAAB或或不能断言不能断言若若 . , 0

10、.3CABBCBA 不不能能断断言言且且运算规律运算规律 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB BABAAB 3（其中（其中 为数）为数）; 返回返回224. 矩阵的转置与对称阵矩阵的转置与对称阵矩阵的转置矩阵的转置,654321 A若若 .642531 A则则定义定义6.6. 一般一般: 若若,212222111211nmmnmmnnaaaaaaaaaA 返回返回23mnmnnnmmaaaaaaaaaA 212221212111称为称为A的的转置转置.运算规律运算规律 . , .4; .3; .2; .1ABCABCBAABABAABABAAA 返回返回24例例6 6. 方阵方阵对称矩阵对称矩阵,10974986376524321 AA特点特点: .4 , 3 , 2 , 1,. jiaajiij,10974986376524321 AA特点特点: .AA 返回返回25一般一般:, 1111 nnnnaaaaA方阵方阵 , 2 , 1, njiaajiij 若若则称则称A为为对称阵对称阵.注意注意: : A为对称阵为对称阵. AA 例例7. 证明证明:对任何方阵对任何方阵A,. 都是对称阵都是对称阵与与AAAA证明证明:)(AA)(AA .AA . 是对称阵是对称阵AA)(AA)(AA .AA . . 证毕证毕是对称阵