矩阵A的m重伴随矩阵的性质

1、矩阵A的m重伴随矩阵的性质 数学系 01数本 2001141105 程清妹 指导老师：杨忠鹏摘要本文定义了矩阵的重伴随矩阵，并利用已有的理论成果，对的性质进行推广，主要讨论了的行列式、秩、转置和逆矩阵与的关系，及为特殊阵与为特殊阵之间的联系，发现的重伴随矩阵的性质与的性质很相似.关键词矩阵；伴随矩阵；秩；特征值；数学归纳法0引言设是阶方阵，的伴随矩阵定义如下定义1设是阶方阵的元素的代数余子式，则阶方阵，其中，称为的伴随矩阵本文推广了这一定义，给出了的重伴随矩阵的概念定义2设为阶方阵，称阶方阵为的重伴随矩阵，记为, 特别地，引理设为阶方阵，则秩证明：（1）当秩，即可逆时，由于，故也是可逆的，即秩

2、；（2）当秩时，有，于是，从而秩；又因为秩，所以至少有一个代数余子式，从而又有秩，于是秩（3）当引理设为阶方阵，则有证明：（1）当时，由引理1知秩，如果，由引理1知秩，因此如果，令也有（2）当时，则也，则，于是主要结果命题1.1当时，秩当>2时，秩证明：当>时由引理1知，秩 所以秩秩 当时 设，则， 所以因此秩秩命题得证命题1.2设为阶方阵（），证明：（1）因为当，时 从而得到关于的指数的一个数列，且 由数列的性质得到通项公式，则同理可证，当， 从而得到关于的指数的一个数列，且 由数列性质得到通项公式，则（2）用数学归纳法证明结论 当，时，取，有，则，等式成立设时，等式成立，即当时

3、， = 等式成立综上所述，当，有同理可证，当，有命题得证命题1.3证明：若，由引理1知，当时，则有若， 即时，有命题1.4可逆时，有=证明：（数学归纳法）当时，等式成立设时，当时，综上所述，当时，有又由1.2知，命题得证命题1.5证明：由数学归纳法和1.2即可证得命题1.6若是幂等阵，则也是幂等阵。证明：因为，所以或 若，由引理1知，则 若，可逆，则，即，所以 命题得证命题1.7若是对合阵，则也是对合阵。反之也成立证明：由，得或，且由1.2知，当时，由知， 当时，由知所以，当时，有 反之，若，则或=，且 由1.2知，或， 由1.4，当时， 所以，由知，即同理可证，当时，因此，当，时，有命题得证

4、命题1.8若是正定阵，则也是正定阵，反之为正定阵，且为偶数，可逆时，为正定阵证明：若正定，则，有因为，又由，正定，得正定同理可证，正定，以此类推，正定 反之，若正定，有正定因为，当为偶数时，有为奇数，则由1.2知，当时，正定，所以为正定阵同理可证，当时，也是正定阵命题得证命题1.9若是正交阵，则是正交阵。反之也成立证明：由已知得，且或 当时，由1.5知由1.4知， 由上述可得时，有，即为正交阵若， 当， ，由，知同理可证，当时，有 所以，有，即为正交阵综上所述，若是正交阵，则是正交阵 反之，若，且或，则由1.2知或由1.5知，当时， 得，由知，即同理可证，当时，综上所述，当时，有命题得证命题1

5、.10 设是阶方阵（），若是幂零阵，则是幂零阵证明： 由，得或秩（1）若，则（2）若秩，由1.1知，当时，秩，则当时，有 所以，当，有命题1.11若是对称阵，则也是对称。反之是对称阵，且是可逆的，则是对称阵证明：运用1.2即可得到命题1.12若为反对称阵，当为奇数时，为对称阵；当为偶数时，为反对称证明：运用1.2即可得到结束语：本文得出的重伴随矩阵的一些性质与的关系，使的重伴随矩阵的性质简单化，望以后能进一步探论的重伴随矩阵的其它性质。参考文献:北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数.第2版.M 高等教育出版社.1978.(176-207)杨子胥. 高等代数习题解.第2版.M 山东

6、科学技术出版社.2003.(522-540)姜家辉. 矩阵理论基.第1版.M大连理工大学出版社.1995.(17-19)刘敏捷. 重伴随矩阵的若干性质.J 广西大学梧州分校学报.2003.第13卷第1期.金辉. 伴随矩阵的若干性质探讨.J 数学理论与应用. 2005.第25卷第1期.高养恩吴云天马菊侠. 关于伴随矩阵的有关问题.J 榆林高等专科学校学报.2002.第12卷.第4期.AbtractThe paper sets times accompany is , uses theory result to expand the property of ,and discusses the relation between its determinant 、matrix rank、adjugate matrix、conversely matrix and .Find that the property of is rather similar to s.Key words: matrix; adjoint matrix; matrix rank;eigenvalue; mathematical induction致 谢:为