大学物理：第7章 机械波_尹

1、机械波38,36,34,33,31,28,26,25,24,22,20222P 一一 掌握掌握描述简谐波的各物理量及各量间的描述简谐波的各物理量及各量间的关系；关系； 二二 理解理解机械波产生的条件机械波产生的条件. 掌握由已知质掌握由已知质点的简谐运动方程得出平面简谐波的波函数的方点的简谐运动方程得出平面简谐波的波函数的方法法. 理解波函数的物理意义理解波函数的物理意义. 了解波的能量传播特了解波的能量传播特征及能流、能流密度概念征及能流、能流密度概念. 三三 了解了解惠更斯原理和波的叠加原理惠更斯原理和波的叠加原理. 理解理解波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确波的相干条件，能应用相

2、位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件；定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件； 四四 理解理解驻波及其形成，了解驻波和行波的驻波及其形成，了解驻波和行波的区别区别.波的分类 按物理性质来分，有： 机械波、电磁波等。 按波的传播方向和振动方向间的关系来分， 有： 横波、纵波。 按波传播方向来分，有： 一维波、二维波、三维波。 按介质中质点振动的规律来分，有： 简谐波、非简谐波。 按波传播过程中波面形状来分，有： 平面波、柱面波、球面波。产生条件振动的传播过程称为波动。机械振动在媒质中的传播过程称为机械波。产生机械波的必要条件：波源 作机械振动的物体；媒质 能够传播机械振动的弹性媒质

3、。 波源带动弹性媒质中与其相邻的质点发生振动，振动相继传播到后面各相邻质点，其振动时间和相位依次落后。 波动现象是媒质中各质点运动状态的集体表现，各质点仍在其各自平衡位置附近作振动。横波与纵波横波：质点的振动方向与波的传播方向垂直纵波：质点的振动方向与波的传播方向平行软绳软弹簧波的传播方向质点振动方向波的传播方向质点振动方向 在机械波中，横波只能在固体中出现；纵波可在气体、液体和固体中出现。空气中的声波是纵波。液体表面的波动情况较复杂，不是单纯的纵波或横波。几何描述波 前波 面波 线波面振动相位相同的点连成的面。波前最前面的波面。平面波 （波面为平面的波）球面波 （波面为球面的波）波线（波射线

4、）波的传播方向。在各向同性媒质中，波线恒与波面垂直。波的物理量波传播方向波速周期波长振动状态完全相同的相邻两质点之间的距离。波形移过一个波长所需的时间。频率周期的倒数。波速单位时间内振动状态（振动相位）的传播速度，又称相速。机械波速取决于弹性媒质的物理性质。或 可从动力学和运动学两个角度研究各向同性介质中振动的传播规律。 从动力学角度分析：讨论问题的思路仍然是取隔离体，分析它的受力情况，运用牛顿运动定律，列出运动微分方程。 从运动学角度分析：定量地描述每个质元在 时刻的运动状态（如质元离开其平衡位置的距离、运动速度等）tt平面简谐波由简谐振动的传播所形成的波动。简谐波 对于机械波，若波源及弹性

5、媒质中各质点都持续地作简谐振动所形成的连续波，则为简谐机械波。 简谐波又称余弦波或正弦波，是规律最简单、最基本的波。各种复杂的波都可以看作是许多不同频率的简谐波的叠加。简谐波的一个重要模型是平面简谐波。 平面简谐波的波面是平面，有确定的波长和传播方向，波列足够长，各质点振动的振幅恒定。波动方程一列平面简谐波（假定是横波）观测坐标原点任设（不必设在波源处）波沿 X 轴正向传播（正向行波）设 位于原点 处质点的振动方程为 已知振动状态以速度 沿 轴正向传播 。对应同一时刻 ， 振动状态与原点在时刻的振动状态相同。因此，在设定坐标系中，波线上任一点、任意时刻的振动规律为点的这就是沿 X 轴正向传播的

6、平面简谐波动方程。它是时间和空间的双重周期函数。续7沿 X 轴正向传播的平面简谐波动方程波动方程常用周期波长或频率的形式表达由得消去波速和分别具有单位时间和单位长度的含义，分别与时间变量 和空间变量 组成对应关系 。 波方程意义若给定 ，波动方程即为距原点 处的质点振动方程距原点 处质点振动的初相若给定 ，波动方程表示所给定的 时刻波线上各振动质点相对各自平衡点的位置分布，即该时刻的波形图。续9若 和 都是变量，即 是 和 的函数， 这正是波动方程所表示的波线上所有的质点的振动位置分布随时间而变化的情况。可看成是一种动态的波形图。正向波同一时刻，沿 X 轴正向，波线上各质点的振动相位依次落后。

7、波沿 X 轴正向传播反向波同一时刻，沿 X 轴正向，波线上各质点的振动相位依次超前。波沿 X 轴反向传播例一某正向余弦波 时的波形图如下则此时 点的运动方向 ，振动相位 。 正向波，沿 轴正向微移原波形图判断出 点此时向下运动。并判断出原点处质点从 = A向平衡点运动，即初相 。由图可知代入得即例二一平面简谐波以波速 沿 X 轴正向传播。位于 处的 P 点的振动方程为得 波动方程设 B 点距原点为P 点振动传到 B 点需时即 B 点 时刻的振动状态与 P 点 时刻的振动状态相同例三波动方程 = = 0.05 cos p p ( 5 x 100 t ) (SI)此波是正向还是反向波，并求A、n、

8、T T、u 及 l l ；x = 2 m 处质点的振动方程及初相；x1 = 0.2 m及 x2 = 0.35 m 处两质点的振动相位差。x = 2 m 处0.05cos p p ( 52 100 t ) 0.05cos ( 100 p p t 10 p p ) 初相为 10 p p 0.05cos p p ( 5 x 100 t ) cosa = cos(-a)0.05cos 100 p p ( t ) x2020 m s - -1100 p p0.02 s与比较得0.05 m0.4 m500 Hz而且得知原点（ x = 0 ) 处质点振动初相正向波x1 = 0.2 m 处的振动相位比原点处的

9、振动相位落后x2 = 0.35 m 处的振动相位比原点处的振动相位落后两者的相位差为100 p p0.15200.75 p p例四一正正向余弦波时刻 波线上两质点振动情况如图 10 m此时的等于几米波形图正向余弦波方程质点 ：解得旋转矢量法判断取质点 ：或解得旋转矢量法判断取7.5 (m)2.5 2.5 (m)的 P P 点位置为2.5 7.5 波形图(m) 10 mx动力学方法推导体元的形变和受力分析(图)fVs xYsx 当 受外力拉伸时向向左左sfa向向右右sxxxxfffab)(动力学方程22)(txssxxF-V222221xut波动微分方程式中Yu波动微分方程的解cos()xAtu

10、-()()xxFtGtuu-波的能量现象：若将一软绳（弹性媒质）划分为多个小单元（体积元）上下抖动振速 最小振速 最大形变最小形变最大时刻波形在波动中，各体积元产生不同程度的 弹性形变，具有 弹性势能未起振的体积元各体积元以变化的振动速率 上下振动， 具有振动动能 理论证明（略）， 当媒质中有行波传播时，媒质中一个体积元在作周期性振动的过程中，其弹性势能 和振动动能 同时增大、同时减小，而且其量值相等 ，即 后面我们将直接应用这一结论。能量密度 可见，波动过程是媒质中各体积元不断地从与其相邻的上一个体积元接收能量，并传递给与其相邻的下一个体积元的能量传播过程。振动速度体积元 的动能势能总量能设

11、 一平面简谐波媒质密度处取体积元体积元的质量在能量密度lim平均能量密度是在一周期内的时间平均值。单位：焦耳 米（ J m 3 ）续16该处的 能量密度 (随时间变化)简谐平面波处的振动方程某点 在密度为 的均匀媒质中传播借助图线理解和该处的 平均能量密度（时间平均值）能流、能流密度平均能流 一周期内垂直通过某截面积 的能量的平均值单位：瓦 ( W )能流密度（波的强度）垂直通过单位截面积的平均能流 单位：瓦米-2( W m 2 )振动状态以波速 在媒质中传播 体积元的能量取决于其振动状态能量以波速 在媒质中传播能流 单位时间垂直通过的某截面积 的能量例五1.3 kg m - -3一频率为 1

12、000 Hz波强为310 - -2 W m 2 330 m s - -1此声波的振幅的声波在空气中传播波速为空气密度为波强2则122 310 - -21.33302000121.810 6 ( m ) 因在空气中传播的声波是纵波，此振幅值表示媒质各体积元作振动时，在波线方向上相对于各自平衡位置的最大位移。波的干涉 一入射波传播到带有小孔的屏时，不论入射波的波阵面是什么形状，通过小孔时，在小孔的另一侧都产生以小孔作为点波源的前进波，可将其抽象为从小孔处发出的一种次波或子波，其频率与入射波频率相同。惠更斯原理 媒质中波动传到的各点，都可以看作能够发射子波的新波源，在这以后的任意时刻，这些子波的包络

13、面就是该时刻的波面。作用：提供了一种寻找新波前的几何作图法，解决了波的传播问题播问题1221sin , sinsinsinBCACiADACrvnirvn7.4.2 蕙更斯原理的应用1.波的衍射的解释(略)2.波的反射的解释(略)3.波的折射的解释波的折射(1)己知入射波波前，求(2)折射定律折射波波前波的叠加原理 两波在空间某点相遇，相遇处质点的振动是各列波到达该点所引起振动的叠加；相遇后各波仍保持其各自的特性（如频率、波长、振动方向等），继续沿原方向传播。通常波强不太强的波相遇，满足叠原理，称为线性波。波强强到不满足叠加原理的波，称为非线性波。相干波波的干涉是在特定条件下波叠加所产生的现象

14、。若有两个波源振动 频率相同振动 方向相同振动 相位差恒定 它们发出的波列在媒质中相遇叠加时，叠加区域中各质点所参与的两个振动具有各自的恒定相位差，某些质点的振动始终加强，某些质点的振动始终减弱或完全相消。这种现象称为波的干涉。能产生干涉现象的波称为相干波其波源称为相干波源相干振动合成分别引起 P 点的振动合振动2p pr1l l1 A1 cos t + ( j j 1 1)2 A2 cos t + ( j j 2 22p pr2l l) 1 + 2 A cos ( t + j j ) )AA12A22A1 A2 cos2j j 2 2j j 1 12p p() )r2 r1 l lj jj

15、j 1 12p pr1l l)(A1 sinj j 2 22p pr2l l)(A2 sinj j 1 12p pr1l l)(A1 cosj j 2 22p pr2l l)(A2 cosA2A1A10 A10 cos ( t + j j 1 1) )20 A20 cos ( t + j j 2 2) )两相干波源的振动方程合成振幅公式j jj j 1 12p pr1l l)(A1 sinj j 2 22p pr2l l)(A2 sinj j 1 12p pr1l l)(A1 cosj j 2 22p pr2l l)(A2 cos分别引起 P 点的振动1 A1 cos t + ( j j 1

16、1)2 A2 cos t + ( j j 2 22p pr1l l2p pr2l l)合振动 1 + 2 A cos ( t + j j ) )A2A1A10 A10 cos ( t + j j 1 1) )20 A20 cos ( t + j j 2 2) )两相干波源的振动方程AA12A22A1 A2 cos2j j 2 2j j 1 12p p() )r2 r1 l l故空间每一点的合成振幅 A 保持恒定。 P点给定，则 恒定。 1 2 两振动的相位差相长与相消干涉AA12A22A1 A2 cos2(j j 2 2j j 1 12p p) )r2 r1 l lr2 r1 2p pl lj

17、 j 2 2j j 1 1（ 0,1,2, )当时合成振动的振幅最大r2 r1 2p pl lj j 2 2j j 1 1当（ 0,1,2, )时合成振动的振幅最小波程差表达式AA12A22A1 A2 cos2(j j 2 2j j 1 12p p) )r2 r1 l l若j j 2 2j j 1 1即两分振动具有相同的初相位则 取决于两波源到P点的路程差 ， 称为波程差r2 r1 2p pl l（ 0,1,2, )当时则合成振动的振幅最大即 波程差为零或为波长的整数倍时，各质点的振幅最大，干涉相长。r2 r1 2p pl l（ 0,1,2, )当时则合成振动的振幅最小即 波程差为半波长的奇数

18、倍时，各质点的振幅最小，干涉相消。例6 在 P 点发生相消干涉； 在 P 点发生相长干涉。当 满足什么条件时两相干波源同初相，2 m振动方向垂直纸面P到定点 P 的距离50 m（ 0,1,2, )相消干涉150（m）相长干涉 可位于纸面内以 P 为圆心、以 满足下述条件的 为半径的一系列圆周上。50（m）（ 0,1,2, )驻波波干涉是特定条件下的波叠加， 驻波是特定条件下的波干涉。条 件：两列相干波振幅相等相向传播发生干涉现 象：正向行波反向行波干涉区域中形成的驻波各质点的振幅分布规律恒定形成一种非定向传播的波动现象maxmin0波腹波节驻波形成图解t = = 0t = = T / 8t =

19、 = T / 4t = = 3T / 8t = = T / 2t = = 5T / 8t = = 3T / 4t = = 7T / 8t = = T 驻波的形成在同一坐标系XOY 中正向波反向波驻波点击鼠标，观察在一个周期T 中不同时刻各波的波形图。每点击一次，时间步进正向波反向波合成驻波驻波方程为简明起见， 设改写原式得并用由正向波反向波驻 波 方 程注意到三角函数关系得驻 波 方 程波腹、波节位置为简明起见， 设改写原式得并用由正向波反向波驻 波 方 程注意到三角函数关系得驻 波 方 程驻 波 方 程驻波中各质点均以同一频率 作简谐振动。 谐振动因子波节波腹振幅分布因子它的绝对值表示位于坐

20、标 x 处的振动质点的振幅。即描述振幅沿 X 轴的分布规律。波腹处振幅最大波节处振幅最小 驻波的特点(1)振幅分布022|cos| 2xAApl波节坐标 x=(2k+1)l/4波腹坐标 x=kl/2两相邻波节或波腹的距离为l/2，k=0,1,.(2) 相位分布波节两侧各点相位相反。在同一时刻t，各点相位与cos2p(x/l)的正负有关，而cos2p(x/l)在波节处改变符号因此两波节之间的相位相同,xo波节波节波腹波腹021III(3)驻波不传递能量能量无定向移动，仅在波节2221()2Iu A-22112IuA与波腹间往复转移。较较少少波波腹腹附附近近 E较较少少波波腹腹附附近近 E较较多多

21、波波节节附附近近 E0kE该该时时刻刻驻驻波波较较多多波波腹腹附附近近 E较较多多波波腹腹附附近近 E较较少少波波节节附附近近 E0pE该该时时刻刻驻驻波波当两波节间体元达到最大位移时，各体元速度为零，当两波节间体元达到最大位移时，各体元速度为零，动能为零；另一方面，各个体元却发生了不同程度的动能为零；另一方面，各个体元却发生了不同程度的形变，越靠近波节，剪切形变越明显，因此，这时驻形变，越靠近波节，剪切形变越明显，因此，这时驻波能量以形变势能的形式集中于波节附近。波能量以形变势能的形式集中于波节附近。当各体元通过平衡位置时，所有体元的形变都消失了，当各体元通过平衡位置时，所有体元的形变都消失

22、了，形变势能不存在了。但各体元的速度均达到其最大值，形变势能不存在了。但各体元的速度均达到其最大值，因波腹处的速度是最大的，故此时驻波能量以动能形式因波腹处的速度是最大的，故此时驻波能量以动能形式集中于波腹附近。集中于波腹附近。驻波的能量不作定向传播，其能量转移过程是动能与驻波的能量不作定向传播，其能量转移过程是动能与势能的相互转移以及波腹与波节之间的能量转移势能的相互转移以及波腹与波节之间的能量转移。相位、能量特点同一时刻，相邻两波节之间的各质点的振动相位相同；波节两侧的各质点的振动相位相反。 驻波不是振动相位的传播过程，驻波的波形不发生定向传播。驻波的相位特点驻波的能量特点波节体积元不动，

23、动能其它各质点同时到达最大位移时波腹及其它质点的动能波节处形变最大 势能最大波腹附近各点速度最大其它各质点同时通过平衡位置时最大波节及其它点无形变 驻波的能量不作定向传播，其能量转移过程是动能与势能的相互转移以及波腹与波节之间的能量转移。反、入射产生驻波声 源水空气声 源水玻璃由波密媒质到波疏媒质界面反射由波疏媒质到波密媒质界面反射当形成驻波时反射界面上总是出现波腹反射界面上总是出现波节振源固定端反射软绳自由端反射总是出现波腹总是出现波节当形成驻波时由入射波与反射波产生驻波“半波损失”与半波损失驻波入射波反射波波疏媒质波密媒质由波密媒质入射在波疏媒质界面上反射，在界面处，反射波的振动相位总是与

24、入射波的振动相位相同，形成驻波时，总是出现波腹。入射波驻波反射波波密媒质波疏媒质由波疏媒质入射在波密媒质界面上反射，在界面处，反射波的振动相位总是与入射波的振动相位相反，即差了 ，形成驻波时，总是出现波节。位相差了 相当于波程差了 ，称为“半波损失”。弦驻波演示实验续41续42例7入反射波在弦上的在弦的驻波实验中，当振源的振动频率为 时，弦上出现驻波的波腹数目为 。 m弦长为 ,L一一端接振源,另一端固定,波速波长弦的驻波条件Lm m 1,1,2, 2, Lm n nn nn nLm 例8在下图坐标系中， = 0.2cosp p(t 4 x)波密入射反射入垂直波密界面的入射波反射波方程两波形成的驻波方程由 知入1、反射波方程应折算到以O为坐标原点；2、波疏到波密反射波相位有 变；3、反射波相位沿 X 轴负向依此落后。与 相对照，可直接写出 ： 入反4x) = 0.2cos p p (t反2p p =0.2 cos p p t 8 p p +4 x p p + p p = 0.2 cos p ( p ( t + 4 x ) + p p入反0.4 cos (4p px + ) ) cos (p(pt+ ) = =2p p2p p = 0.4 sin 4p px sin p pt例1.()110,7,1.0AcmstsAp-振幅为当