线性代数：2-4矩阵的分块法

1、4 矩阵分块法矩阵分块法前言前言n由于某些条件的限制，我们经常会遇到大型文件无法上传由于某些条件的限制，我们经常会遇到大型文件无法上传的情况，如何解决这个问题呢的情况，如何解决这个问题呢?n这时我们可以借助这时我们可以借助WINRAR把文件分块，依次上传把文件分块，依次上传. .n家具的拆卸与装配家具的拆卸与装配问题一：问题一：什么是矩阵分块法？什么是矩阵分块法？问题二：问题二：为什么提出矩阵分块法？为什么提出矩阵分块法？问题一：问题一：什么是矩阵分块法？什么是矩阵分块法？定义：定义：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为称为对矩阵进行

2、分块对矩阵进行分块；每一个小块称为每一个小块称为矩阵的子块矩阵的子块；矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵分块矩阵. .111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa 12211122AAAA 这是这是2阶阶方阵吗？方阵吗？思考题思考题伴随矩阵是分块矩阵吗？伴随矩阵是分块矩阵吗？答：答：不是伴随矩阵的元素是代数余子式（一个数），而不不是伴随矩阵的元素是代数余子式（一个数），而不是矩阵是矩阵112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA 问题二：问题二：为什么提出矩阵分块法？为什么提出矩阵分块法？答：对

3、于行数和列数较高的矩阵答：对于行数和列数较高的矩阵 A，运算时采用分块法，运算时采用分块法，可以使大矩阵的运算化成小矩阵的运算，可以使大矩阵的运算化成小矩阵的运算，体现了体现了化整为零化整为零的思想的思想. .111213141112131421222324212223243132333431323334, aaaabbbbAaaaaBbbbbaaaabbbb111112121313141421212222232324243131323233333434ababababABabababababababab11A12A21A22A11B12B21B22B1111AB 1212AB 2121AB

4、2222AB 分块矩阵的加法分块矩阵的加法若矩阵若矩阵A、B是同型矩阵，且采用相同的分块法，即是同型矩阵，且采用相同的分块法，即11111111, rrssrssrAABBABAABB则有则有11111111rrsssrsrABABABABAB形式上看成形式上看成是普通矩阵是普通矩阵的加法！的加法！111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa 111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa 11A12A21A22A分块矩阵的数乘分块矩阵的数乘11A 12A 21A 22A 若若 是数，且是数，且 1111rssrAAAAA 则有则有11

5、11rssrAAAAA 形式上看成形式上看成是普通的数是普通的数乘运算！乘运算！分块矩阵的乘法分块矩阵的乘法一般地，设一般地，设 A为为m l 矩阵，矩阵，B为为l n矩阵矩阵 ，把，把 A、B 分块如下：分块如下：11111211112121222221222122122121 , , trtrssstttttrtrsAAABBBAAABnnnmmmBBABAAAlllllBlBB 1112121222112, (1, ; 1, )rtrijikkjksssrCCCCCCCA BCABis jrCCC 121212strlmmmmnnnnlll 按行分块以及按列分块按行分块以及按列分块m n

6、 矩阵矩阵 A 有有m 行行 n 列，若将第列，若将第 i 行记作行记作若将第若将第 j 列记作列记作则则12(,)Tiiiinaaa 1112112122221212,.TnTnnTmmmnmaaaaaaAaaa 12,jjjmjaaa 于是设于是设 A 为为 m s 矩阵，矩阵，B 为为 s n 矩阵，矩阵，若把若把 A 按行分块，把按行分块，把 B 按列块，则按列块，则 1111222121122122(),TTTnTTTTnTTijm nnTTTmmmnmCcAB 12121,.jsjTijijiiisikkjksjbbcaaaa bb 分块矩阵的转置分块矩阵的转置若若 ，则，则例如：

7、例如：1111rssrAAAAA 1111TTsTTTrsrAAAAA 1112131421222324123431323334,aaaaAaaaaaaaa 1121311122232213233331424344TTTTTaaaaaaAaaaaaa 分块矩阵不仅分块矩阵不仅形式上进行转形式上进行转置，置，而且每一个子而且每一个子块也进行转块也进行转置置分块对角矩阵分块对角矩阵定义：定义：设设 A 是是 n 阶矩阵，若阶矩阵，若1. A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，2. 其余子块都为零矩阵，其余子块都为零矩阵，3. 对角线上的子块都是方阵，对角线上的

8、子块都是方阵，那么称那么称 A 为为分块对角矩阵分块对角矩阵例如：例如：112235000010000830052AOOBOAOAOOBOOA分块对角矩阵的性质分块对角矩阵的性质n| A | = | A1 | | A2 | | As | n若若| As | 0，则，则 | A | 0，并且，并且12sAAAA 111121sAAAA 例例: :设设 ，求，求 A1 解：解：500031021A 12500031021AOAOA1111(5),5AA 1223111,2123AA 111121/500011023AOAOA 例：例：往证往证 Am n = Om n的充分必要条件是方阵的充分必要条件是方阵ATA = On n 证明：证明：把把 A 按列分块，