高等数学：11-4 对面积的曲面积分

1、第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质 三、对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分 第十一章 二、曲面面积 oxyz一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质引例: 设曲面形构件具有连续面密度),(zyx类似求平面薄板质量的思想, 采用kkkkS),(可得nk 10limM),(kkk求质 “分割，近似，求和，取极限” 的方法,量 M.其中, 表示 n 小块曲面的直径的最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). SzyxMd),(定义定义: 设 为光滑曲面,“乘积和式极限” kkkkSf),(nk 10lim都存在,的曲面积分Szyxfd),(其中 f (x,

2、 y, z) 叫做被积据此定义, 曲面形构件的质量为曲面面积为SSdf (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积函数, 叫做积分曲面.则对面积的曲面积分存在. 对积分域的可加性.,21则有Szyxfd),(1d),(Szyxf2d),(SzyxfSzyxgkzyxfkd),(),(21 线性性质.则为常数设,21kkSzyxgkSzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. 积分的存在性. 若 是分片

3、光滑的,例如分成两片光滑曲面oxyz定理: 设有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),( , )z x yyxyxzyxzyxdd),(),(122二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分证明: 由定义知Szyxfd),(kkkkSf),(nk 10limyxD),(kkkyxk)(kSyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkk

4、ykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfSzyxfd),(而(光滑)说明:zyDzyzyxx),(),(zxDzxzxyy),(),(或可有类似的公式.1) 如果曲面方程为2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分. 方法可称为“积分曲面方程代入法”，设积分曲面的方程为z = f ( x, y )，则具体做法可归纳为：( , , )( , , ( , );f x y zf x y z x y一代：221xydSzz d

5、xdy 二换：三投影：将积分曲面向xoy平面投影得积分区域.xyDSzyxfd),(yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22),(yxzyxD例例3. 计算曲面积分,dzS其中是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的顶部.解:yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2aoxzyha思考思考:若 是球面2222azyx被平行平面 z =h 截出的上下两部分,) (dzS) (dzS0hln4aa则hhoxzy例例

6、4. 计算,dSzyx其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面. ozyx111解: 设上的部分, 则4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx与, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式 = 分别表示 在平面 xozy例例5. 设2222:azyx),(zyxf计算.d),(SzyxfI解: 锥面22yxz的222yxaz.,2122122azayx1设,),(22122ayxyxDyx,22yx ，022yxz当22yxz当与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分, 它在 xoy 面上的投影域为1

7、yxD则 1d)(22SyxI1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxddxozy1yxD思考: 若例3 中被积函数改为),(zyxf,22yx ，022yxz当22yxz当计算结果如何 ? 例例6. 计算),(dRzSI.:2222Rzyx解: 取球面坐标系, 则,cos:Rz I0cos)cosd(2RRRRRRln2ddsind2RS 02dcossinRR20dsinR dR RxyzodsindR zzd例例7. 计算222d,SIxyz 其中 是介于平面之间的圆柱面.222Ryx分析: 若将曲面分为前后(或左右)

8、zRSd2d则HzRzRI022d2RHarctan2Hzz,0oHxyz解: 取曲面面积元素两片, 则计算较繁. oyxzL例例8. 求椭圆柱面19522yx位于 xoy 面上方及平面 z = y 下方那部分柱面 的侧面积 S . 解: )0(sin3,cos5:ttytxL取SSdszLdtt cosdcos45302sd5ln4159zszSddttttdcos9sin5sin3220syLd内容小结内容小结1. 定义:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2. 计算: 设,),( , ),(:yxDyxyxzz则Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他两种情况类似) 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧. 备用题备用题 1. 已知曲面壳)(322yxz,22zyx求此曲面壳在平面 z1以上部分 的的面密度质量 M . 解: 在 xoy 面上的投影为 ,2:22 yxDyx故SMdrrrd41d322020)41d(418162202rryxyxyxDdd)(41322132. 设 是四面体的表0,0,0,1zyxzyx面, 计算.d)1 (12SyxI解: 在四面体的四个面上yxz1yxdd3