工程力学(静力学及材料力学)-3-静力学平衡问题1

1、 CFR2FR1FP1FP2FP3M1q(x)xFP6FP5FP4dxM2FP1FP2FP3M1q(x)xFP1FP2FP3M1q(x)xFP6FP5FP4dxM2dxq(x)FQ(x)M(x)返回返回R10FFnii 10FnOOiiMM 0FAM0 xF0yF 0FAM0sin2TWQlFxFlFBQWQPT2sin2FlxFllFxFFB0 xF0cosTBAxFF23cos302QWQWFxlFllFxFFAx0yF0sinTPQBAyFFFF2QWFFlxlFAyQWQWT2sin2FlxFllFxFFBQWQWQWT22sin302sin22FFFFllFlFFB0 xF0AxF0

2、yF0PFqlFAyqlFAy2 0FAM02PMlFlqlMA225qlMAFPFPFAyFAxFBCFPFAyFAxFBCP2 2BCFFFPFAyFAxFBCFPFAyFAxFBCM=FP lFAxFByFBxFAyM=FP lFBy FBx FCx FCy M=FP lFAxFByFBxFAy考察考察ABD杆杆 的平衡的平衡 MB ( F ) = 0 : MA ( F ) = 0 :FBy= 0FAy= 0Fx = 0 : FBx+ FAx=0 FBx= -FAxM=FP lFBy FBx FCx FCy 考察考察BC杆杆 的平衡的平衡Fx = 0 : FBx - FCx =0 FCx

3、 = FBx = FBxFy = 0 : FBy - FCy =0 FCy = FBy =FBy=0 MB ( F ) = 0 : FCx l+M = 0FCx = FBx = -FPM=FP lFPM=FP lFPFPFPFPFPFCyFAFCxFPFCyFAFCx ME ( F ) = 0 : MA ( F ) = 0 : MC ( F ) = 0 :FCx l -FP 2l = 0-FA l - FP 2l = 0-FCy 2l -FA l = 0EM=FP lM=FP lFAFCM=FP lFAFC MC(F) = 0 : FA= FC = FPFAl +M=0返回返回 镗刀杆的刀头在

4、镗削工件时，受到切向力镗刀杆的刀头在镗削工件时，受到切向力Fz，径，径向力向力Fy，轴向力，轴向力 Fx的作用。的作用。ABxzyMAxMAyMAz 本章主要研究的是本章主要研究的是空间力系的简化与平衡问题空间力系的简化与平衡问题。与平面力系一样，仍然采用与平面力系一样，仍然采用力向一点平移力向一点平移的方法将的方法将空间力系分解为两个基本力系空间力系分解为两个基本力系空间汇交力系空间汇交力系和和空间力偶系空间力偶系，进而对这两个力系加以简化，导出平，进而对这两个力系加以简化，导出平衡方程。衡方程。 在平面内，力对点之矩是指力对垂直于该平面在平面内，力对点之矩是指力对垂直于该平面的轴之矩。的轴

5、之矩。 套筒扳手的套筒扳手的作用力作用力F对对其所拧紧的其所拧紧的螺钉轴线之螺钉轴线之矩矩，表示该力使螺钉绕自，表示该力使螺钉绕自身轴线产生的转动效应的身轴线产生的转动效应的大小。这一转动效应可以大小。这一转动效应可以用该用该力对点力对点（轴与扳手转（轴与扳手转动平面的交点）动平面的交点）之矩之矩来度来度量。量。 一般情形下，力一般情形下，力F的作用线与轴不垂直。为了考的作用线与轴不垂直。为了考察力使刚体绕轴的转动效应，可将力分解为沿轴向的察力使刚体绕轴的转动效应，可将力分解为沿轴向的分力分力Fz和在垂直于轴的平面内的分力和在垂直于轴的平面内的分力Fxy。 轴向分力轴向分力Fz不不能使刚体绕能

6、使刚体绕oz轴转轴转动，只有作用在垂动，只有作用在垂直于轴的平面内的直于轴的平面内的分力分力Fxy才有可能才有可能使刚绕使刚绕oz轴转动。轴转动。 力对轴之矩等于力对轴之矩等于该力在与轴垂直的平面上的投该力在与轴垂直的平面上的投影对轴与平面的交点之矩影对轴与平面的交点之矩，它是力使刚体绕此轴转，它是力使刚体绕此轴转动的效应的度量。力对轴之矩用记号动的效应的度量。力对轴之矩用记号Mz(F)表示，即表示，即Mz( F )= MO( Fxy)=Fxyh=2OAB 力对轴之矩为代数量，其正负号与转动方向有关，力对轴之矩为代数量，其正负号与转动方向有关，按照右手螺旋法则确定。按照右手螺旋法则确定。特殊情

7、况特殊情况(1) 力和轴平行力和轴平行；(2) 力与轴相交。力与轴相交。力对点之矩与力对通过该点的轴之矩的关系：力对点之矩与力对通过该点的轴之矩的关系： 力对力对O点之力矩矢量的点之力矩矢量的模可用三角形面积来表示：模可用三角形面积来表示： 而力对通过而力对通过O点的轴点的轴z之矩也可之矩也可 用相应的三角用相应的三角形面积表示：形面积表示： FFMzzOMOAB 是是OAB在坐标面在坐标面Oxy上的投影。上的投影。 若两三角形平面间的若两三角形平面间的夹角（用平面法线的夹角夹角（用平面法线的夹角表示）为表示）为，由几何学知：，由几何学知：由此得由此得 FFMyyOM FFMxxOM FFMy

8、yOM FFMzzOM FFMxxOM 上式表明：上式表明：力对点之力矩矢量在通过该点的力对点之力矩矢量在通过该点的某轴上的投影，等于这力对该轴之矩某轴上的投影，等于这力对该轴之矩。 应用这一关系，可以用力对坐标轴之矩计算应用这一关系，可以用力对坐标轴之矩计算力对坐标原点的力矩矢量。力对坐标原点的力矩矢量。 与平面力系相似，应用力向一点平移定理，将与平面力系相似，应用力向一点平移定理，将作用在刚体上的空间力系中作用在刚体上的空间力系中F1、F2、Fn各力分各力分别向任意简化中心别向任意简化中心O平移，得到一空间汇交力系平移，得到一空间汇交力系F1、F2、Fn和一空间力偶系，力偶系中各力偶矩和一

9、空间力偶系，力偶系中各力偶矩矢量分别为矢量分别为M1、M2、Mn。 这两个力系可以进一步简化为通过简化中心的一这两个力系可以进一步简化为通过简化中心的一个力和一个力偶。这个力称为原力系的个力和一个力偶。这个力称为原力系的主矢主矢，它等于，它等于力系中所有各力的矢量和；这个力偶称为该力系对简力系中所有各力的矢量和；这个力偶称为该力系对简化中心的化中心的主矩主矩，它等于力系中所有各力对该简化中心，它等于力系中所有各力对该简化中心的矩之矢量和。的矩之矢量和。 niiniiFF11RF inioniiFMM11OM 为了计算主为了计算主和主矩，以简化中心和主矩，以简化中心O为原点，建为原点，建立直角坐

10、标系立直角坐标系Oxyz，主，主在各坐标铀上的投影分别为：在各坐标铀上的投影分别为：niixRxFF1niiyRyFF1niizRzFF1 表明：表明：力系主矢在坐标轴上的投影等于力系中各力力系主矢在坐标轴上的投影等于力系中各力在同一轴上投影的代数和在同一轴上投影的代数和。由此可得主矢的大小和方向。由此可得主矢的大小和方向。 根据力对点之矩与力对轴之矩的关系，主矩根据力对点之矩与力对轴之矩的关系，主矩Mo在各坐标轴上的投影分别为：在各坐标轴上的投影分别为： niixxniiooxFMFMM11 niiyyniiooyFMFMM11 niizzniioozFMFMM11 表明：表明：力系对力系对

11、O点的主矩在坐标轴上的投影等于力点的主矩在坐标轴上的投影等于力系中各力在同一轴之矩的代数和系中各力在同一轴之矩的代数和。由此可得主矩的大小。由此可得主矩的大小和方向。和方向。 与平面力系相似，与平面力系相似，空间力系可以进一步简化为一空间力系可以进一步简化为一合力、一个合力偶或二者均为零合力、一个合力偶或二者均为零。即空间力系可与一。即空间力系可与一合力或一个合力偶等效。合力或一个合力偶等效。 同样可以证明，对于空间力系，合力矩定理也是同样可以证明，对于空间力系，合力矩定理也是正确的，即正确的，即合力对任一点合力对任一点(轴轴)之矩等于力系中各力对之矩等于力系中各力对同一点同一点(轴轴)之矩的

12、矢量和之矩的矢量和(对轴之矩则为代数和对轴之矩则为代数和)。 根据空间力系的简化结果，得到空间力系平根据空间力系的简化结果，得到空间力系平衡的必要和充分条件是：衡的必要和充分条件是：力系的主矢和对任一点力系的主矢和对任一点的主矩均为零的主矩均为零，即：，即：0iOOMFM, 0RiFF解析表达式解析表达式： 0 , 0 , 0FFFzyxMMM000zyxFFF , , 矢量方程：矢量方程：AB 例：例：镗刀杆的刀头在镗削工件时受到切向力镗刀杆的刀头在镗削工件时受到切向力Fz， 径向力径向力Fy，轴向力轴向力 Fx的作用。各力的大小的作用。各力的大小Fz=5 000 N， F Fy y= =1

13、 500 N， Fx=750 N，而刀尖而刀尖B的坐标的坐标 x = 200 mm，y = 75 mm，z = 0。如果不计刀杆。如果不计刀杆的重量，试求刀杆根部的重量，试求刀杆根部A的约束力的各个分量。的约束力的各个分量。 1. .取镗刀杆为研究取镗刀杆为研究对象对象, ,受力分析如图。受力分析如图。 刀杆根部是固定端，刀杆根部是固定端，约束力是任意分布的空间约束力是任意分布的空间力系，通常用这个力系向力系，通常用这个力系向根部的根部的A点简化的结果表点简化的结果表出。一般情况下可有作用出。一般情况下可有作用在在A点的三个正交分力和点的三个正交分力和作用在不同平面内的三个作用在不同平面内的三

14、个正交力偶正交力偶。解：xzyMAxMAyMAz2.2.列平衡方程：列平衡方程：, 0 xF0 xAxFF, 0yF0yAyFF, 0zF0zAzFF0075. 0 xAxFM, 0 xM, 0yM02 . 0yAyFM, 0zM02 . 0075. 0 xxAzFFMxzyMAxMAyMAz3.3.联立求解联立求解 ,N 750AxF ,N 500 1AyFN 000 5AzF , mN 375AxM , mN 000 1AyM mN 8 .243AzM返回返回0 xF0AxF0FBMR202ClFlMqlR24CMqlFl 0yFR20AyCFqlF 0AMR2240ACMqllMFlR2

15、4CMqlFllMqlFAy247MqlMA23返回返回FF max = fs FNFFd；FF max；NsmaxFfFmax0FF maxFF maxFF WP0sin30cos300 xFFFF F153.6 N 213.2NN106620Nsmax.FfFmaxFF NWP0cos30sin300yFFFFFN1066 N 0cos30sin300PminWmaxFFFFx0sin30cos300PninWNFFFFyNsmaxFfF 0sincos201N1，lFlWMBAF00NWFFAy00NBAxFFF11N2sincosWFBWNFFA1Ncot2WFFBA 0sincos20N，lFlWMBAF00NWFFAy