函数极限二与导数定义

1、目录 上页 下页 返回 结束 5.2、5.1、5、两个重要极限 第一章 1xxsinlim0 x e)1(limxx1x 目录 上页 下页 返回 结束 5.1、 两个重要极限两个重要极限 1sinlim. 10 xxx注 OBAx1DC第一种重要极限的推广形式第一种重要极限的推广形式1)()(sinlim0)(xxx目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例3. 求.arcsinlim0 xxx解解: 令,arcsin xt 则,sintx 因此原式tttsin

2、lim0 1lim0tttsin1目录 上页 下页 返回 结束 20sinlimx2x2x21例例4. 求.cos1lim20 xxx解解: 原式 =2220sin2limxxx212121目录 上页 下页 返回 结束 2.e)1(lim1xxxe)x1(limx10 x 推广形式：推广形式：说明说明 ：若利用, e)1 (lim)()(1)(xxx则 原式111e)1 (limxxx目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 求.)1 (lim1xxx解解: 令,xt则xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1目录 上页 下页 返回 结束 limx例例7. 求.

3、)cos(sinlim11xxxx解解: 原式 =2)cos(sinlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sinx2sin1目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 求.)xx1(limx3x 例例9. 求.)1x23x2(lim41x23x 目录 上页 下页 返回 结束 2. 两个重要极限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e)1(lim10注注: 代表相同的表达式目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习填空题填空题 ( 14 );_sinlim. 1xxx;_1sinlim. 2xxx;_1sinlim. 30 xxx;_)11

4、(lim. 4nnn0101e第七节 目录 上页 下页 返回 结束 第一章 ,0时xxxxsin,32都是无穷小,引例引例 .xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 6、无穷小的比较目录 上页 下页 返回 结束 ,0limCk定义定义.,0lim若则称 是比 高阶高阶的无穷小,)(o,lim若若若, 1lim若,0limC或,设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称 是比 低阶低阶的无穷小;则称 是 的同阶同阶无穷小;则称 是关于 的 k 阶阶无穷小;则称 是 的等价等价无穷小, 记作目录 上页 下页 返回 结束

5、定理定理2 . 设,且lim存在 , 则lim lim证证:limlim limlimlim lim例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052目录 上页 下页 返回 结束 设对同一变化过程 , , 为无穷小 ,说明说明:无穷小的性质, (1) 和差取大规则和差取大规则: 由等价可得简化某些极限运算的下述规则. 若 = o() , (2) 和差代替规则和差代替规则: ,不等价与且若,则例如,xxxx3sinlim30 xxx3lim031则.limlim且！时此结论未必成立注意例如,11sin2tanlim0 xxxxxxxx2102lim2(见下页例3) 目录 上页 下页

6、 返回 结束 (3) 因式代替规则因式代替规则:极限存在或有且若)(,x界, 则)(limx)(limx例如,.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx2132210limxxxx例例3. 求01sinlim1sinarcsinlim00 xxxxxx解解: 原式 目录 上页 下页 返回 结束 231x221x例例4. 求.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0时当x1)1 (312 x231x1cosx221x0limx原式32目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 证明: 当 0 x时,.11lnxxx证证:利用和差代替与取大

7、规则和差代替与取大规则说明说明时，当 0 x)1ln()1ln(11lnxxxx)(xxx)()(1ln()1ln(xxx不等价与)1ln()1ln(xxxx )1ln( 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结0lim,0, )0(C,1,0lim Ck1. 无穷小的比较设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小目录 上页 下页 返回 结束 7.2、 函数的间断点函数的间断点 7.1、 函数连续性的定义函数连续性的定义 7、函数的连续性与间断点 第一章 目录 上页 下页 返回 结束 可见 ,

8、 函数)(xf在点0 x7.1、 函数连续性的定义函数连续性的定义定义定义:)(xfy 在0 x的某邻域内有定义 , , )()(lim00 xfxfxx则称函数.)(0连续在xxf(1) )(xf在点0 x即)(0 xf(2) 极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx设函数连续必须具备下列条件:存在 ;且有定义 ,存在 ;目录 上页 下页 返回 结束 continue)()(lim, ),(000 xPxPxxx若)(xf在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上连续 , 或称它为该区间上的连续函数连续函数 . ,baC例如例如,nnxaxaaxP10)(在),

9、(上连续 .( 有理整函数 )又如又如, 有理分式函数)()()(xQxPxR在其定义域内连续.在闭区间,ba上的连续函数的集合记作只要,0)(0 xQ都有)()(lim00 xRxRxx目录 上页 下页 返回 结束 基本初等函数、初等函数的连续型基本初等函数、初等函数的连续型基本初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续函数的四则运算四则运算结果仍连续连续函数的反函数反函数连续连续函数的复合函数复合函数连续 初等函数在定义区间内连续说明说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.目录 上页 下页 返回 结束 在在二、二、 函数的间断点函数的间断点(1) 函数)(xf0 x(2) 函

10、数)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在 , 但)()(lim00 xfxfxx不连续 :0 x设0 x在点)(xf的某去心邻域内有定义 , 则下列情形这样的点0 x之一, 函数 f (x) 在点虽有定义 , 但虽有定义 , 且称为间断点间断点 . 在无定义 ;目录 上页 下页 返回 结束 间断点分类间断点分类: :第一类间断点第一类间断点:)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf若称0 x, )()(00 xfxf若称0 x第二类间断点第二类间断点:)(0 xf及)(0 xf中至少一个不存在 ,称0 x若其中有一个

11、为振荡,称0 x若其中有一个为,为可去间断点可去间断点 .为跳跃间断点跳跃间断点 .为无穷间断点无穷间断点 .为振荡间断点振荡间断点 .目录 上页 下页 返回 结束 xytan) 1 (2x为其无穷间断点 .0 x为其振荡间断点 .xy1sin)2(1x为可去间断点 .11)3(2xxy例如例如:xytan2xyOxyxy1sinOxy1O目录 上页 下页 返回 结束 1) 1 (1)(lim1fxfx显然1x为其可去间断点 .1,1,)(21xxxxfy(4)xOy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyO11, 1)0(f1)0(f0 x为其跳跃间断点 .目录 上页 下页

12、返回 结束 内容小结内容小结)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续右连续)(. 2xf0 x第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型)(. 1xf0 x在点连续的等价形式目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 讨论函数231)(22xxxxfx = 2 是第二类无穷间断点 .间断点的类型.2. 设0,0,sin)(21xxaxxxfx_,a时提示提示:,0)0(f)0(f)0(fa03. P65 题 3 , *8)(xf为连续函数.答

13、案答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 确定函数间断点的类型.xxxf1e11)(解解: 间断点1,0 xx)(lim0 xfx,0 x为无穷间断点;,1 时当x xx1,0)(xf,1 时当x xx1,1)(xf故1x为跳跃间断点. ,1,0处在x.)(连续xf目录 上页 下页 返回 结束 8.1、最值定理、最值定理 8.2、介值定理、介值定理 8、闭区间上连续函数的性质 第一章 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .8.1、最值定理、最值定理定理定理1.1.在闭区间上连续的函数即: 设, ,)(ba

14、Cxf12则, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点 ,xyab)(xfy O目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,)1,0(,xxy无最大值和最小值 21,31,110,1)(xxxxxxf22也无最大值和最小值 又如又如, xy11OxyO11目录 上页 下页 返回 结束 ,)(baxf在因此12mM8.2、介值定理、介值定理由定理 1 可知有, )(max,xfMbax)(min,xfmbax, ,bax故证证: 设, ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界 .定理定理2. ( 零点定理 )

15、, ,)(baCxf至少有一点, ),(ba且使.0)(f0)()(bfaf( 证明略 )推论推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. b xya)(xfy Oxyab)(xfy O目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3. ( 介值定理 ) 设 , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点, ),(ba证证: 作辅助函数Cxfx)()(则,)(baCx 且)()(ba)(CBCA0故由零点定理知, 至少有一点, ),(ba使,0)(即.)(Cf推论推论: 在闭区间上的连续函数C使.)(Cf至少有必取得介于最小值与最大值之间的任何值 .xAby

16、a)(xfy BO目录 上页 下页 返回 结束 O1x例例. 证明方程01423 xx一个根 .证证: 显然, 1 ,014)(23Cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故据零点定理, 至少存在一点, ) 1 ,0(使,0)(f即01423说明说明:,21x,0)(8121f内必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21的中点,43x,0)(43f内必有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根.二分法二分法在区间)1 ,0(的中点取1 ,0内至少有则则4321内容小结 目录 上页 下页 返回 结束 则, 2,0)(aCxf, )2()0(aff证明至少存在, ,0a使. )()(aff

17、提示提示: 令, )()()(xfaxfx则, ,0)(aCx 易证0)()0(a2. 设作业作业P74 (习题110） 2 ; 3; 5一点习题课 目录 上页 下页 返回 结束 ,4,0)(上连续在闭区间xf备用题备用题 1e3xx至少有一个不超过 4 的 证证：证明令1e)(3xxxf且)0(f1e3)4(f1e43400e3根据零点定理 , )4,0(,0)(f使原命题得证 .)4,0(内至少存在一点在开区间显然正根 .目录 上页 下页 返回 结束 9.1、导数的定义、导数的定义9.2、导数的几何意义、导数的几何意义9.3、函数的可导性与连续性的关系、函数的可导性与连续性的关系9.4、单

18、侧导数、单侧导数9 9、导数的概念、导数的概念 第二章 目录 上页 下页 返回 结束 9.1、导数的定义、导数的定义定义定义1 . 设函数)(xfy 在点0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在,)(xf并称此极限为)(xfy 记作:;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000则称函数若的某邻域内有定义 , 在点0 x处可导可导, 在点0 x的导数导数. 目录 上页 下页 返回 结束 0limxx00)()(xx

19、xfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx不存在, 就说函数在点 不可导. 0 x若,lim0 xyx也称)(xf在0 x若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:;y;)(xf ;ddxy.d)(dxxf注意注意:)(0 xf 0)(xxxfxxfd)(d0就称函数在 I 内可导. 的导数为无穷大 .若极限目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求函数Cxf)(C 为常数) 的导数. 解解:yxCCx0lim0即0)(C例例2. 求函数)()(Nnxxfn.处的导数在ax 解解:axafxf)()(ax lim)(af axaxnnaxlim(li

20、max1nx2nxa32nxa)1na1nanxxfxxf)()(0limx目录 上页 下页 返回 结束 说明：说明：对一般幂函数xy ( 为常数) 1)(xx例如，例如，)(x)(21 x2121 xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x（以后将证明）目录 上页 下页 返回 结束 hxhxhsin)sin(lim0例例3. 求函数xxfsin)(的导数. 解解:,xh令则)(xf hxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx2sinh)2cos(lim0hxh22sinhhxcos即xxcos)(sin类似可证得xxsin)(cosh目录 上页 下页 返回

21、 结束 )1(lnxh例例4. 求函数xxfln)(的导数. 解解: )(xf hxfhxf)()(0limhhxhxhln)ln(lim0hh1lim0)1(lnxh即xx1)(ln0limhh1x1xx10limh)1(lnxhhxelnx1x1目录 上页 下页 返回 结束 则令,0hxt原式htfhtfh2)()2(lim0)(lim0tfh)(0 xf 是否可按下述方法作:例例5. 证明函数xxf)(在 x = 0 不可导. 证证:hfhf)0()0(hh0h,10h,1hfhfh)0()0(lim0不存在 , .0不可导在即xx例例6. 设)(0 xf 存在, 求极限.2)()(li

22、m000hhxfhxfh解解: 原式0limhhhxf2)(0)(0 xfhhxf2)( 0)(0 xf)(210 xf )(210 xf )(0 xf )( 2 )(0hhxf)(0 xf目录 上页 下页 返回 结束 9.2、 导数的几何意义导数的几何意义曲线)(xfy 在点),(00yx的切线斜率为)(tan0 xf 若,0)(0 xf曲线过上升;若,0)(0 xf曲线过下降;xyO0 x),(00yx若,0)(0 xf切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;),(00yx),(00yx0 x若,)(0 xf切线与 x 轴垂直 .曲线在点处的),(00yx切线方程切线方程:)(000 xxxfy

23、y法线方程法线方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xf,)(0时 xfxyO)(xfy CT0 xMxy0 xO目录 上页 下页 返回 结束 xyO1111例例7. 问曲线3xy 哪一点有铅直切线 ? 哪一点处的切线与直线131xy平行 ? 写出其切线方程.解解:)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x令,3113132x得,1x对应,1y则在点(1,1) , (1,1) 处与直线131xy平行的切线方程分别为),1(131xy) 1(131xy即023 yx故在原点 (0 , 0) 有铅直切线目录 上页 下页 返回 结束 处可导在点xxf)(9.3、 函数的可导性与连续

24、性的关系函数的可导性与连续性的关系定理定理1.处连续在点xxf)()(lim0 xfxyx目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2. 函数在点0 x)(xfy ,)()(00存在与xfxf且)(0 xf. )(0 xf)(0 xf 存在)(0 xf)(0 xf简写为在点处右右 导数存在0 x定理定理3. 函数)(xf)(xf在点0 x必 右右 连续.(左左)(左左)若函数)(xf)(af)(bf与都存在 , 则称)(xf显然:)(xf在闭区间 a , b 上可导,)(baCxf在开区间 内可导,),(ba在闭区间 上可导.,ba可导的充分必要条件是且目录 上页 下页 返回 结束 在点0 x的某

25、个右右 邻域内9.4、 单侧导数单侧导数)(xfy 若极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000则称此极限值为)(xf在 处的右右 导数导数,0 x记作)(0 xf即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左)(左左)0( x)0( x)(0 xf0 x例如例如,xxf)(在 x = 0 处有,1)0(f1)0(f定义定义2 . 设函数有定义,存在,xyOxy 目录 上页 下页 返回 结束 例题例题. 点点的的连连续续型型与与可可导导性性判判定定函函数数0 x0 x)x1ln(0 x00 x,x1sinx)x(f2 解解: 显然该函数在 x = 0 连续 .)0(f00sinlim0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故1a时,1)0( f此时)(xf 在),(都存在, )(xf0,cosxx0,1x目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 导数的实质:3. 导数的几何意义:4. 可导必连续, 但连续不一定可导;5. 已学求导公式 :6. 判断可导性不连续, 一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等. )(C )(x )(sin x )(cosxaxf)(02. axfxf)()(0