专题椭圆的切线方程资料

1、专题：椭圆的切线方程“椭圆的切线方程”教学设计马鞍山二中刘向兵一、教学目标知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程；2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程 的研究。过程与方法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。情感态度与价值观： 通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考， 勇于探索的学习精神。二、教学重点与难点教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决问题。教学难点：椭圆的切线方程的探究。三、教学流程设计（一）创设情境复习：怎样定义直线与圆相切？设计意图：温故而知新。由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切 定义做类比，都是“直线与其有且

2、只有一个交点”来定义相切，从而通过解析法 中联立方程组，消元，一元二次方程中的判别式等于零来解决 (二)探究新知基础铺垫：22问题1、已知椭圆C:-1与直线l只有一个公共点82(1)请你写出一条直线l的方程；(2)若已知直线l的斜率为k 1 ,求直线l的方程；(3)若已知切点P(2,1),求直线l的方程；(4)若已知切点P(石5),求直线l的方程。设计意图：(1)根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程如x 2、. 2, y2 o先由特殊情况过渡到一般情况。切线确定，切点确定。(2)已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。利用斜截式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式 00切线斜

3、率确定，切线不确定。(3)已知切点求切线，只有唯一一条。利用点斜式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式 00由于切点是整数点，运算简洁。切点确定，切线确定。可总结由(2) (3)两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式 00(4)同(3)的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切点得到椭圆切线的一般方法。问题一般化： 22猜想：椭圆C:与 4 1与直线l相切于点P(X0, Y0),则切线l的方程？ a b(椭圆的切线方程的具体求法，详情请见微课)设计意图：类比经过圆上一点P(xo, yo)的切线的方程为XoX

4、y0y r2进行猜想，培养学生合情推理的能力。由于具体的求解过于繁琐，思想方法同问题1,所以上课时没必要花费时间进行求解，做成微课方便学生课后时间自己解决。探究：在椭圆中，有关切线问题，还可以求哪些量？例：已知圆的方程是x2+ y2 = r2,求经过圆上一点P(x0, y0)的切线的方程。经过圆上一点P(xo, yo)的切线的方程为xox y°y r2,且直线OP垂直于切线,所以，kop kw =-1 ,1.点与圆设点 P(xo, yo),圆(x a)2 (y b)2 r2 则点在圆内(xo a)2 (yo b)2 r2,点在圆上(xo a)2 (yo b)2 r2 ,点在圆外(xo

5、 a)2 (yo b)2 r2由圆C方程及直线l的方程，消去一个未知数，得一元二次方程，设一元二次方程的根的判别式为A ,则l与圆C相交o,l与圆C相切0,l与圆C相离类比到圆中:r2与直线l相切于点P(x0, y0),且点P(x0, y0)在第一象限，若直线l与x轴、y轴分别交于点B、A.P的切线方程为结论(i)过点(2) QOPABkOP kABXoX1a b时,椭圆圆，所以kOP2y°y r ；(可以用极限的思想理解，当椭圆中的41)a(3)过点P的切线方程为XoXyoy2 ,r与x轴、y轴分别交于点 B、2 r A, A（0,一）, y。2rB（一,0），X0X0、 一）y&

6、#176;所以kABX0；(椭圆中y0b2Xo2a y。也可理解为a趋于b时，kAB趋于（4） |AB| | AP| | BP| 2 叫 AP| | BP|时，取“二”2., |OP|2 2r ,当且仅当|AP| |BP| r由2014年浙江高考题最后一道题222014浙江卷如图，设椭圆C :> ' 1(a b 0),动直线l与椭圆C只有一 a b个公共点P,且点P在第一象限.(1)已知直线l的斜率为k,用a, b, k表示点P的坐标；(2)若过原点O的直线li与l垂直，证明：点P到直线li的距离的最大值为a一 b.，一 、一 x2 如图，设椭圆C：-ya2yr 1(a b 0)

7、,动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且 b点P在第一象限.(1)已知直线l的斜率为k,用a, b, k表示点P的坐标;联立消去 y 得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+ a2m2 a2b2 = 0.由于l与C只有一个公共点，所以简得m2a2k2b2（*）,解得点P的坐标为4 224a k ma2km一 b2+a2k2'22222 24a2 (m2 b2)(b2 a2k2)。，化b2mb2+ a2k2 .又点P在第一象限，故m所以点P的坐标为P（a2k2 b2,a2kb2a21b2' a2k2b2).（2）设点PNy。）,且点P3y。）在第一象限，用点 线方程；P的坐标x0,

8、y（）表示椭圆的切(2)解:P(xo, y0),则由(1)知 Xoa2kb2，赤则可设过点P切线l的方程为y y0k(xX0 ）消参得XoV。b2 a2k 至 kb2x。2a y。入 y y。k(xx。）得 y y。b2x。化为整式2.2a y°yb x°x2a y。22a y。(xx。）2b X02. 2a b (因P在椭圆上，所以22x。y。b222.22ay。b x。2. 2、 a b )仿。两边同除以a2b2得椭圆的切线方程x°x所以，过切点 P（x。，y。）的椭圆的切线方程vvb2x()x1,与圆的切线方程做类比，形式相连接OP切线l的斜率为k切线，xa

9、2k由（2）中所得的y。b直线OP的斜率为kOP,求证kOp k明=定值;b2x。又因为二kOP，所以kOP kABx。x。a2y。b2-2 二正值 a（与圆的kop k切线=-1做类比，可以用极限的思想理解，当椭圆中的a b时,b2椭圆加强为了圆，所以kop kAB41)a22问题2、已知椭圆C:、1与直线l相切于点P(x°,y°),且点P(x0,y。)在第 a b一象限，若直线l与x轴、y轴分别交于点R A,求线段|AB|的最小值。直线AB的方程设为y kx m,A(0,m),B( m,0),则根据两点间的距离公式可 k2得|AB|2 ) m2,又因为前面根据直线和椭圆

10、相切已求出m2 a2k2 b2 (*),k代入可得2_ 2 m 22 2| AB |2 了 m2 a2k2 bk222b 2a = akb22 2(a2k2b2b222ab (a b)2,线段| AB |的最小值为ab.当且仅当2. 2a kk4k22时，取到 a告”.下面再继续讨论“=”由前面已证过的kop kABb2如2知, a此时kop22V。2b3,32b x32a v。23X0223a (1 )bbx0aa2ax02 x03J代入kop2 a b2Vo2 x0b3 /日 T得ab3y。2工，所以可得至La b|PA|2x。2 (y。m)2x。(kx。)2 (1 k2)x。2 (1 b

11、)x。2,代入 x。2 -a,得 aa b|PA|2aba3a a b|PA| a,|PB| b问题3、x2已知椭圆C:一 a2-y2 1与直线l相切于点P'y。），且点Plx。！。）在第 b若直线l与X轴、y轴分别交于点R A .若过原点O的直线|1与l垂直一象限,与x轴、y轴分别交于点4,4ab22X0y。b2a2B A,所以 A（。,一）,B（一,。），则 | AB|V。X0由于直线11过原点O且与l垂直，故直线11的方程为x+ ky = 0,所以点P到直线li的距离|PD |ky。x。|PD| ky。X。| PD | |AB | |a2,k2b2x。1b2x。2a y。2 a b4X02 : a4y。2 b2| a2X。|b22. 2.axpy。 bx。4242；ay。b x。|a2a： , x02c =定值（c为椭圆的半焦距）b2| b4 y。22问题4、如图，设椭圆C：0 a2 y b21（a b 。），动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限.若过原点O的直线k与l垂直，证明：点 P到直线k的距离的最大值为 a b.证明：方法1i的由于直线11过原点O且与l垂直，故直线11的方程为x+ ky = 0,所以点P到直线a2kb2k距离d=正率匹曼,11 + k22_ b2整理得d=b2.qb2+a2+a2k2+ 程b2a2_b