高中数学 2.1.2《椭圆的几何性质》教案（1） 湘教版选修1-1

1、椭圆的简单几何性质一、知识点通过对椭圆标准方程的讨论，掌握椭圆的性质（范围、对称性、顶点、离心率），并能正确画出椭圆的图形。二、能力训练点结合对椭圆几何性质的讨论，掌握利用方程研究曲线的基本方法，加深对曲线与方程关系的理解，同时提高分析问题、解决问题的能力。三、德育渗透点由于通过方程研究曲线，以初中代数中数与式的知识为基础研究几何问题，综合运用方程（组）理论，提高代数运算能力，提高综合分析能力，揭示透过现象看本质的辩证唯物主义观念。四、美育渗透点用美学的眼光审视数学，数学中处处闪耀着美的光彩，椭圆代数方程闪耀着数学的简约美、方程形式的对称性显现数学的对称、均衡美.用数学的简约美去研究曲线几何性

2、质的形象美，是学数学、用数学的重要目标。五、学法指导根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并能正确画出它的图形，是解析几何的基本问题之一.根据曲线的条件列出方程，如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究它的性质，画图就可以说是解析几何的目的，通过椭圆的标准方程研究椭圆的性质这是第一次系统地用代数方法研究曲线。研究椭圆的范围，意在考察方程中x、y的取值范围；讨论椭圆的对称性，应明确初中学过的对称概念和关于x轴、y轴、原点对称点坐标之间的关系，然后说明以x代x，或以y代y方程不变，则图形关于x轴、y轴、原点对称的道理；关于曲线的截距，相当于求曲线与坐标轴的交点；离心率的概念比较抽象，它是焦距与

3、长轴长的比值，它反映了椭圆的圆扁程度，这是圆锥曲线的重要性质。六、重点与难点1、重点：椭圆的几何性质及其运用2、难点：通过方程研究曲线比较抽象，需要综合运用数学知识。七、课时安排五课时第一课时教学目标1、掌握椭圆的范围、顶点、对称性、离心率这四个几何性质；2、掌握标准方程中a、b、c、e的几何意义及其相互关系；3、明确怎样用代数的方法研究曲线的几何性质。教学过程1、情境设置上节课我们学习了求轨迹方程的一种方法代入法（利用中间变量求点的轨迹），同学们回忆一下，求点的轨迹方程何时用代入法？当动点的运动随着另一个点的运动而运动，而主动点又在某一固定曲线上运动时，求点的轨迹方程用代入法。代入法的关键是

4、什么？建立主动点与被动点之间的坐标关系。代入法的实质是什么？代入法的实质就是将动点转移到有规律的曲线上，进而求出动点的轨迹方程。研究椭圆方程就是想进一步认识椭圆的几何性质。2、探索研究研究曲线几何特征有何几何意义？研究曲线的几何性质可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置。怎样来研究曲线的几何特征呢？通过对曲线方程的讨论来研究曲线的几何特征。下面利用椭圆的标准方程x2/a2y2/b21(ab0)来研究椭圆的性质。范围：由椭圆的标准方程x2/a2y2/b21，两个变量x、y互相依赖，由于两个非负数的和等于1，所以椭圆上的点的坐标(x,y)适合不等式：x2/a21, y2/b21，即axa，byb,

5、这说明椭圆位于直线x±a,y±b所围成的矩形内。换个角度看：如果将椭圆的标准方程变形为，则这个椭圆方程可以分成与两个函数式，讨论椭圆的范围，就是讨论这两个函数的定义域和值域。对称性回忆点P(a,b)关于x轴、y轴、坐标原点、直线yx的对称点坐标；奇函数与偶函数图象的对称性。点P(a,b)关于x轴的对称点坐标是(a,b)；点P(a,b)关于y轴的对称点坐标是(a,b)；点P(a,b)关于原点的对称点坐标是(a,b)；点P(a,b)关于直线yx的对称点坐标是(b, a)；奇函数的图象关于原点对称，即点(a,b)在函数的图象上，那么点(a,b)也在函数的图象上；偶函数的图象关于y

6、轴对称，即点(a,b)在函数的图象上，那么点(a, b)也在函数的图象上。如果以y代y方程不变，那么当点P(x,y)在曲线上，它关于y轴的对称点Q(x,y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称；同理，如果以x代x方程不变，那么当点P(x,y)在曲线上，它关于x轴的对称点Q(x,y)也在曲线上，所以曲线关于y轴对称；如果同时以y代y，以x代x方程不变，那么当点P(x,y)在曲线上，它关于原点的对称点Q(x,y)也在曲线上，所以曲线关于原点对称。我们来看椭圆的标准方程，以x代x，或以y代y，或同时以y代y，以x代x方程是否改变？没有改变。所以椭圆关于x轴、y轴、原点都是对称的，这时坐标轴是椭圆的对称轴

7、；坐标原点是椭圆的对称中心。注意：标准方程表示的椭圆，它的对称轴是坐标轴，对称中心是坐标原点，那么能不能说椭圆的对称轴是坐标轴，对称中心是坐标原点呢？不能。顶点研究曲线上某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置，要确定曲线在坐标系中的位置，常常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。同学们看一看，标准方程表示的椭圆与x轴、y轴的交点坐标是怎样的？在椭圆的标准方程x2/a2y2/b21里，令x0得y±b，所以椭圆与y轴的两个交点是(0,b)或(0,b),同理令y0得x±a，所以椭圆与x轴的两个交点是(a,0)或(a,0).x轴、y轴是椭圆的对称轴，椭圆与它的对称轴的四个交点叫做椭圆的

8、顶点，即椭圆与它的对称轴的交点叫做椭圆的顶点。线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴与短轴。它们的长分别是2a、2b，其中a和b分别叫做椭圆的长半长轴长与短半轴长。观察椭圆图形，找出与a、b、c相等的线段？|OB1|OB2|b,|B1F1|B1F2|B2F2|B2F1|OA1|OA2|a,|OF1|OF2|c。a、b、c的几何意义是什么？它们分别是长半长轴长、短半轴长、半焦距。离心率椭圆的焦距与长轴长的比2c/2ac/ae。椭圆离心率e的范围是怎样的？ac0,0e1观察动画，考察e的变化，对椭圆的影响？e越接近1，则c就越接近a，从而就越小，椭圆就越扁，反之，e越接近0，则c就越接近于0，从

9、而b就越接近于a，椭圆就越接近于圆。当且仅当c0时，ab，此时两个焦点重合，这时椭圆变成圆，方程为x2y2a2，因此圆可以看成椭圆的特例；椭圆可以看成是圆向同一方向均匀压缩（拉长）得到的。练习：说出椭圆y2/a2x2/b21的范围、顶点、对称性、离心率。3、反思应用例1求椭圆16x225y2400的长轴和短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出它的图形。分析：将方程化为标准方程即可求解，列表只要在0x5的范围内算出几个点的坐标，画出椭圆在第一象限内的图形然后利用对称性作出整个图形。解：把已知方程化为标准方程x2/52y2/421，这里a5，b4，所以c3。因此长轴长2a10,短轴长2b8

10、,离心率ec/a3/5,焦点F1(3,0)和F2(3,0),椭圆的四个顶点是A1(5,0)、A2(5,0)、B1(0,4)、B2(0,4)x012345y43.93.73.22.40将已知方程变形为，根据在0x5的范围内算出几个点的坐标(x,y)：先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆。例2求适合下列条件的椭圆的标准方程经过点P(3,0)、Q(0,2)；长轴长等于20，离心率3/5。分析一：设方程为mx2ny21，将点的坐标代入方程，求出m1/9,n1/4。二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短

11、轴的一个端点，故a3，b2，所以椭圆的标准方程为x2/,9y2/41。由已知2a20，e3/5，a10，c6，b8，由于焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以椭圆的标准方程为x2/100y2/641或x2/64y2/1001随堂练习在下列方程所表示的曲线中，关于x轴、y轴都对称的是（）DA、x2yB、x22xyy0C、x24y25xD、9x2y24求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标x24y216；2a=8,2b=4,A1(4,0),A2(4,0),B1(0,2),B2(0,2)9x2y2812a=18,2b=6,A1(0,9),A2(0，9),B1(3,0),B2(3,0)在下列每组椭圆中，哪一个更接近于圆？9x2y236与x2/16y2/121；x29y236与x2/6y2/101x2/16y2/121；x2/6y2/101已知椭圆mx25y25m的离心率，求m的值。分析：椭圆的标准方程是x2/5y2/m1(m0，m5)当焦点在x轴上，即0m5时，解得m3当焦点在x轴上，即m5时，解得m25/3若椭圆的离心率是1/2，求m的值