92总体百分位数的估计

1、9.2.2总体百分位数的估计课标要求素养要求结合实例，能用样本估计百分位数，理在学习和应用白分位数的过程中，要把实际问题转化为数学问题，并进行计算，解白分位数的统计含义.对数据进行分析，发展学生的数学建模、数学运算素养和数据分析素养.课前预习知识,探究教材知识探究情境引入某省数学考试结果揭晓，根据规定，0.8%的同学需要补考.问题那么如何确定需要补考的分数线呢?提示 利用百分位数计算.上新知皖理1 .第p百分位数的定义第50百分位数就是中位数，中位数是百分位数的特例，百分位数是中位数的推广一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有P%的数据小于或等于这个值，且至少有（1

2、00-p）%的数据大于或等于这个值.2 .计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步，按从小到大排列原始数据.第2步，计算i = nxp%.第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据； 若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i + 1）项数据的平均数.3 .四分位数25%, 50%, 75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第 75百分 位数也称为第三四分位数或上四分位数.教材拓展补遗微判断1 .若一组样本数据各不相等，则其75%分位数大于25%分位数.（，）2 .若一组样本数据

3、的10%分位数是23,则在这组数据中有10%的数据大于23.（X） 3.若一组样本数据的24%分位数是24,则在这组数据中至少有76%的数据大于或 等于24.（，）提示 2.若一组样本数据的10%分位数是23,则在这组数据中有10%的数据小于或等于23.微训练1 .下列一组数据的第25百分位数是（）1.1 , 3.0, 3.2, 3.8, 3.4, 4.0, 4.2, 4.4, 5.3, 5.6A.3.2B.3.0C.4.4D.2.5解析 把该组数据按照由小到大排列，可得：1.2 3.0 3.2 3.4 3.8 4.0 4.2 4.4 5.3 5.6由i = 10X25%=2.5,不是整数，则

4、第3个数据3.2,是第25百分位数.答案 A2 .下列关于一组数据的第50百分位数的说法正确的是（）A.第50百分位数就是中位数B.总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%C.它一定是这组数据中的一个数据D.它适用于总体是离散型的数据解析由百分位数的意义可知选项 B, C, D错误.答案 A微思考1 .班级人数为 50的班主任老师说“ 90%的同学能够考取本科院校”，这里的 “90%是百分位数吗？提示不是.是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比.2 .“这次数学测试成绩的第70百分位数是85分”这句话是什么意思？提示 有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分.课堂互动 -I ；

5、iniiiii' iiii题型一百分位数的计算【例U 从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单 位：g)如下：3 .9, 9.0, 8.9, 8.6, 8.4, 8.5, 8.5, 8.5, 9.9, 7.8, 8.3, 8.0.分别求出这组数据的第25, 50, 95百分位数；(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量；(3)若用第25, 50, 95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品 和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准.解(1)将所有数据从小到大排列，得4 .8, 7.9, 8.0, 8.3, 8.4, 8.5,

6、8.5, 8.5, 8.6, 8.9, 9.0, 9.9,因为共有12个数据，所以 12X25%=3, 12X50%=6, 12X95%= 11.4,8.0+8.3则第25百分位数是 一2一 = 8.15,8.5+8.5第50百分位数是 一2一= 8.5,第95百分位数是第12个数据为9.9.(2)因为共有12个数据，所以12X15%= 1.8,则第15百分位数是第2个数据为 7.9.即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8, 7.9.(3)由(1)可知样本数据的第25百分位数是8.15 g,第50百分位数为8.5 g,第95 百分位数是9.9 g,所以质量小于或等于8.1

7、5 g的珍珠为次品，质量大于8.15 g且 小于或等于8.5 g的珍珠为合格品，质量大于8.5 g且小于或等于9.9 g的珍珠为优 等品，质量大于9.9 g的珍珠为特优品.规律方法计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤：(1)排列：按照从小到大排列原始数据;(2)算 i：计算 i=nxp%；定数：若i不是整数，大于i的最小整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i + 1)项数据的平均数.【训练11 如图所示是某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：C )的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天最低气温的第80百分位数是(n 2 34n u用nu)A.

8、-2B.0C.1D.2解析 由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的排列为：一3, 2,1, 1, 0, 0,1, 2, 2, 2,因为共有10个数据，所以10X80%= 8,是整数，则这10天最低气温的第80百2 + 2分位数是亍=2.答案 D题型二百分位数的综合应用【探究11 第p百分位数有什么特点？提示 总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p%.【探究2】 某组数据的第p百分位数在此组数据中一定存在吗？为什么？提示 不一定.因为按照计算第p百分位数的步骤，第2步计算所得的i = nxp%如果是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数，若第i项与第(i + 1

9、)项数据不相等，则第p百分位数在此组数据中就不存在.【探究3】 某市为了鼓励居民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居 民的月用电量划分为三档，月用电量不超过 200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收 费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400 千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费.求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式； 为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电 量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这100户居民中，今年1月份 用电费用低于260元的占80%,求a, b的值；根据

10、(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数.解 (1)当 00x0 200 时，y= 0.5x;当 200<x0 400 时，y = 0.5X 200+ 0.8X (x- 200) = 0.8x- 60;当x>400时,y = 0.5X 200+ 0.8X 200+ 1.0X (x- 400)=x 140.所以y与x之间的函数解析式为0.5x, 0<x<200, y= 0.8x-60, 200<x< 400, x- 140, x>400.(2)由(1)可知，当y=260时，x= 400,即用电量低于400千瓦时的占80%,结合频率分布直方图可知0.00

11、1X100+ 2Xl00b+0.003X 100= 0.8,100a+ 0.000 5X100= 0.2,解得 a = 0.001 5, b = 0.002 0.(3)设75%分位数为m,因为用电量低于300千瓦时的所占比例为(0.001+0.002+0.003) X 100=60%,用电量低于400千瓦时的占80%,所以75%分位数 m在300, 400)内，所以 0.6+(m300)X0.002= 0.75,解得m= 375(千瓦时)，即用电量的75%分位数为375千瓦时.规律方法由频率分布直方图求百分位数的方法(1)要注意频率分布直方图中小矩形的面积，就是数据落在该组的频率.一般采用方程

12、的思想，设出第p百分位数，根据其意义列出方程并求解即可.【训练2】某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分 100分(90分及以上 为认知程度高)，现从参赛者中抽取了 x人，按年龄分成5组(第一组：20, 25),第二组：25, 30),第三组：30, 35),第四组：35, 40),第五组：40, 45), 得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人.(1)求 x;(2)求抽取的x人的年龄的50%分位数(结果保留整数);(3)以下是参赛的10 人的成绩：90,96,97,95,92,92,98,88, 96, 99,求

13、这10人成绩的20%分位数和平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对“一 带一路”的认知程度，并谈谈你的感想解(1)第一组频率为0.01X5 = 0.05,5所以 x = 0 05 = 100.(2)由图可知年龄低于30岁的所占比例为40%,年龄低于35岁的所占比例为70%,0.50-0.40 95所以抽取的x人的年龄的50%分位数在30,35)内，由30+ 5X= 32,0.70-0.40 3所以抽取的x人的年龄的50%分位数为32.(3)把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列：88, 90, 92, 92, 95, 96, 96, 97, 98, 99,90+92计算10X 20%=

14、2,所以这10人成绩的20%分位数为一1 =91,这10人成绩的平均数为1八八八c10(88 + 90+ 92+ 92+ 95+96+ 96+ 97+ 98+ 99) = 94.3.评价：从第20百分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度很高.核心素养感想：结合本题和实际，符合社会主义核心价值观即可IIIIWIMMIBI、素养落地1 .通过学习和应用百分位数，重点培养数据分析素养、数学运算和数学建模素养 .2 .求一组数据的百分位数时，掌握其步骤：按照从小到大排列原始数据；计算i = nxp%；若i不是整数,大于i的最小整数为j,则第p百分位数为第j项 数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与

15、第（i + 1）项数据的平均数.二、素养训练1.已知100个数据的第75百分位数是9.3,则下列说法正确的是（）A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数解析 因为100X 75% = 75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位数，是9.3,选C.答案 C2 .数据 7.0, 8.4, 8.4, 8.4, 8.6, 8.7, 9.0, 9.1 的第 30

16、百分位数是.解析 因为8X30%=2.4,故30%分位数是第三项数据8.4.答案 8.43 .一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百分位数 为.解析 样本数据低于10的比例为（0.08+0.02）X4=0.40,样本数据低于14的比例为0.40+ 0.09X4 = 0.76,所以此样本数据的第50百分位数在10, 14）内，估计此 ，、-0.1100样本数据的第50百分位数为10+0036*4 =飞-.答案喈4 .求下列数据的四分位数.13, 15, 12, 27, 22, 24, 28, 30, 31, 18, 19, 20,解 把12个数据按从小到大的顺序排列可得

17、：12, 13, 15, 18, 19, 20, 22, 24, 27, 28, 30, 31,计算 12X25%=3, 12X50%=6, 12X75%=9,15+18所以数据的第25百分位数为 1=16.5,20+22第50百分位数为2 = 21,27+28第75百分位数为 一2一 = 27.5.课后作业I*训IIIIIMMIIEI阳巩或提高i! !基础达标一、选择题1 .数据 12, 14, 15, 17, 19, 23, 27, 30 的第 70 百分位数是（）A.14B.17C.19D.23解析 因为8X70%=5.6,故70%分位数是第六项数据23.答案 D2 .以下数据为参加数学

18、竞赛决赛的15人的成绩：（单位：分）78, 70, 72, 86, 88, 79, 80, 81, 94, 84, 56, 98, 83, 90, 91,则这15人成绩的第80百分位数是（）A.90B.90.5C.91D.91.5解析把成绩按从小到大的顺序排列为：56, 70, 72, 78, 79, 80, 81, 83, 84, 86, 88, 90, 91, 94, 98,因为15X80%= 12,所以这15人成绩的第80百分位数是= 90.5.90+ 91答案 B3 .某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了 100根棉花纤维的长度（棉 花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数

19、据都在区间5, 40中，其频率分布直方图如图所示.估计棉花纤维的长度的样本数据的 80%分位数是（）A.29 mmB.29.5 mmC.30 mmD.30.5 mm解析棉花纤维的长度在30 mm以下的比例为 (0.01 + 0.01 + 0.04+ 0.06+0.05)X 5= 0.85= 85%,在25 mm以下的比例为85%25%= 60%,因此，80%分位数一定位于25, 30)内，0.80-0.60由 25+5X=29,0.85-0.60可以估计棉花纤维的长度的样本数据的80%分位数是29 mm.答案 A4 .某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15, 17, 14, 10,

20、15, 17, 17,16, 14, 12,设该组数据的平均数为a,第50百分位数为b,则有（）A.a=13.7, b=15.5B.a=14, b=15C.a=12, b=15.5D.a=14.7, b=15解析 把该组数据按从小到大的顺序排列为10, 12, 14, 14, 15, 15, 16, 17,，一1 一 一， ，一 一 一 一 一 ， _17, 17,其平均数 a=6X （10+12+14+ 14+15+15+16+ 17+ 17+17）=14.7,因为10X 50%=5,所以这10名工人一小时内生产零件的第 50百分位数为b =15+ 152=15.答案 D5 .已知甲、乙两组

21、数据(已按从小到大的顺序排列): 甲组：27, 28, 39, 40, m, 50;乙组：24, n, 34, 43, 48, 52;若这两组数据的第30百分位数、第80百分位数分别相等，则A 12A. 7c.3D.4m等于()7解析 因为30%X6=1.8, 80%X6 = 4.8,所以第30百分位数为n=28,第80百分位数为m=48,所以弋=41=半n 287答案 A二、填空题6 .某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次 为20, 40), 40, 60), 60, 80), 80, 100,贝U 60 分为成绩的第 百分位数.解析 因为分数位于20, 40

22、), 40, 60)的频率之和为(0.005+ 0.01)X20= 0.3,所以60分为成绩的第30百分位数.答案 307 .某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 13秒与18秒之间.将测试 结果分成 5 组：13, 14), 14, 15), 15, 16), 16, 17), 17, 18,得到如图所 示的频率分布直方图.如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1 ： 3 ： 7 ： 6 ： 3, 那么成绩的70%分位数约为秒.13 14 1516 17 Ifl 时间（秒）1+3+71+3+7+6解析 成绩的70%分位数为x,因为= 0.55,= 0.85,1+3+7+6+31+3

23、+7+6+3所以 xC 16, 17）,所以 0.55+（x16）X6_1 + 3+7 + 6+30.70,解得 x= 16.5（秒）.答案 16.58 .已知30个数据的第60百分位数是8.2,这30个数据从小到大排列后第18个数 据是7.8,则第19个数据是.7.8 + x解析 由于30X 60%=18,设第19个数据为x,则= 8.2,解得x= 8.6,即第19个数据是8.6.答案 8.6三、解答题9.如图是某市2019年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图，求这7天的日最高气温的第10百分位数和日最低气温的第 80百分位数.0123 L 5 6 7山叽山I 低气温解 由折线

24、图可知，把日最高气温按照从小到大排序，得24, 24.5, 24.5, 25, 26, 26, 27,因为共有7个数据，所以7X10%= 0.7,不是整数，所以这7天日最高气温的第10百分位数是第1个数据，为24 C.把日最低气温按照从小到大排序，得12, 12, 13, 14, 15, 16, 17,因为共有7个数据，所以7X80%= 5.6,不是整数，所以这7天日最低气温的第 80百分位数是第6个数据，为16 C.10 .某网络营销部门随机抽查了某市 200名网友在2019年11月11日的网购金额,所得数据如下表:st"SiSib. Ki (i. 。用0.25 。必 (L |5网

25、购金额（单位：千元）人数频率(0, 1160.08(1, 2240.12(2, 3xP(3, 4yq(4, 5160.086140.07合计2001.00已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3： 2.（1）试确定x, y, p, q的值，并补全频率分布直方图（如图）；（2）估计网购金额的25%分位数（结果保留3位有效数字）.16+ 24+x+y+16+ 14= 200,解 (1)根据题意有：16+24+x 3y+16+ 14-2'x=80, 解得y = 50.所以 p = 0.4, q = 0.25.补全频率分布直方图如图所示:(2)由(1)可知，网购金额不高于2千元的频率

26、为 0.08+ 0.12=0.2,网购金额不高于3千元的频率为0.2+0.4= 0.6,所以网购金额的25%分位数在(2, 3内，0.25- 0.2则网购金额的25%分位数为2 +X 1 = 2.125= 2.13(千元).0.6-0.2能力提升11 .数据 3.2, 3.4, 3.8, 4.2, 4.3, 4.5, x, 6.6 的第 65 百分位数是 4.5,则实数 x 的取值范围是()A.4.5, +oo)B.4.5 , 6.6)C.(4.5,+oo)D.(4.5, 6.6解析 因为8X65%= 5.2,所以这组数据的第65百分位数是第6项数据4.5,则x>4.5,故选 A.答案

27、A12 .某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层 随机抽样的方法从中随机抽取了 100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组: 20, 30), 30, 40),，80, 90,并整理得到如下频率分布直方图:估计总体400名学生中分数小于70的人数；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间40, 50)内的 人数；(3)根据该大学规定，把15%的学生划定为不及格，利用(2)中的数据，确定本次测 试的及格分数线，低于及格分数线的学生需要补考.解(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02 +0.04)X10= 0.6,所以样本中分数小于70的频率为10.6 = 0.4.所以估计总体400名学生中分数小于70的人数为400X 0.4= 160.(2)根据题意，样本中分数不小于 50的频率为(0.01 + 0.02+ 0.04+ 0.02) X 10= 0.9,分数在区间40, 50)内的人数为100 100X 0.9 5=5.所以总体中分数在区间40, 50)内的人数估