2017年考研数学三真题及解析

1、2017年考研数学三真题一、选才i题18小题.每小题4分，共32分.1-cosx1 .若函数f(x)=< 不,x >0在x = 0处连续，则、b, x <0,.、，1.1(A) ab= (B) ab =(C) ab=0 (D) ab=2 222 .二元函数z =xy(3 x y)的极值点是()(A) (0,0)(B) (0, 3)(C) (3, 0)(D) (1,1)3 .设函数f(x)是可导函数，且满足 f(x)f'(x)>0,则(A) f(1)>f(-1)(B) f(1)<f(1)(C) |f(1)|>|f( -1)(D) |f(1) &l

2、t;|f(-1)4 .若级数 工 jsin1kln(1 1) 收敛，则 k=()n? _ nn(A) 1(B) 2(C) -1(D) -25 .设a为n单位列向量，E为n阶单位矩阵，则(A) E - ：二 T不可逆(C) E +2aaT不可逆2 0 0、6.已知矩阵A= 0 2 1 , BI。0 L(A) A,C相似，B,C相似(C) A,C不相似，B,C相似(B) E +ac(T不可逆(D) E -2aaT不可逆f210门00、2 0,C=0 2 0,则也01,、002,(B) A,C相似，B,C不相似(D) A,C不相似，B,C不相似7.设A, B , C是三个随机事件，且A,C相互独立，

3、B,C相互独立，则AU B与C相互独立的充分必要条件是(A) A, B相互独立(B) A, B互不相容(C) AB,C 相互独立(D) AB,C互不相容8.设X1,X2/l|,Xn(n之2)为来自正态总体,一 一 1 二一一，、人,一”,口N (巴1)的简单随机样本，若X = £ Xj ,则下列结论中不正确的是n yn(A) Z (Xi -2)2服从蜉分布1 1n(C) 2 (Xi X)2 服从 72 分布i 12 一. 2 .(B) 2(Xn X1 )服从/分布(D) n(X N)2服从？2分布、填空题(本题共6小题，每小题4分，？黄分24分.把答案填在题中横线上)9._(sin3

4、 x.二2 -x2)dx ;10 .差分方程yt由一2儿=21的通解为11 .设生产某产品的平均成本C(Q) =1+e© ,其中产量为Q ,则边际成本为 .12 .设函数 f (x,y)具有一阶连续的偏导数，且已知 df (x, y) = yeydx + x(1+y)eydy , f (0,0) = 0,则 f(x, y)=10 1、13 .设矩阵A= 112,%，%, o(3为线性无关的三维列向量，则向量组做1,能2,能3的秩为 © . 11、 1 1 1 h.114 .设随机变量 X 的概率分布为 px = _2 = , PX =1 = a, PX =3 = b,若 E

5、X = 0 ,则 DX =2三、解答题15 .(本题满分10分)求极限lim -x-0 -x 0 Jx -te dtx316 .(本题满分10分)3y = jx与x轴为边界的无界区域.计算积分fydxdy,其中D是第一象限中以曲线d (1 x2 y4)2,17 .(本题满分10分)，kf k、求 lim £ ln . 1 + T k4nI n J18 .(本题满分10分)11已知方程 一=k在区间(0,1)内有实根，确定常数 k的取值范围.ln(1 x) x19 .(本题满分10分)一1设 a0 =1,a1 =0,an +=(nan+an)(n =1,2,3|), S(x)为帚级数

6、£ anx 的和函数n 1nWqQ(1)证明z anxn的收敛半径不小于1 .n =0(2)证明(1x)S'(x)xS(x)=0(xW(1,1),并求出和函数的表达式.20 .(本题满分11分)设三阶矩阵人=(%,0(2,% )有三个不同的特征值，且1a3 =10f1 +及2.(1)证明：r(A) =2；(2)若P =% +a2,a3 ,求方程组 Ax = P的通解.21 .(本题满分11分)设二次型 f(Xi,X2,X3)=2x；x；+ax32+2x1X2-8为*3+2x2x3在正交变换 x = Qy 下的标准形为 y2 + y；,求 a 的 值及一个正交矩阵Q.22 .(

7、本题满分11分)1 .,、2y,0 : y < 1设随机变量X,Y相互独立，且X的概率分布为px =0= PX =2, Y的概率密度为f(y) = W - “.2 、0,其他(1)求概率 P(Y <EY)；(2)求Z =X +Y的概率密度.23.(本题满分11分)某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n次测量，该物体的质量 N是已知的，设n次测量结2、果Xi,X2，川，Xn相互独立且均服从正态分布N(巴。),该工程师记录的是n次测量的绝对误差 乙=Xi f,(i =1,2,|但n),禾ij用 Zi,Z2,|,Zn估计参数 a .(1)求乙的概率密度；(2)利用一阶

8、矩求仃的矩估计量；(3)求参数。最大似然估计量.答案及解析1.【详解】lim f (x) = limx_0 -x_01 -cos . x1 -xaxlim 1ax2alim f(x)=b= f(0),要使函数在x = 0处连续，必须满足 x )0,1，ab = .所以应该选(A) 22.【详解】-z一 =y(3-x-y) -xy = 3y-2xy -y .:x2：z2= 3x-x - 2xy,-2二 z-2 .x=-2y,.2二 z-2-y=-2x,口2孑二 z 二 z c c =3 - 2x.:x;:y ：:y_:x二 z一 =3y-2xy-y :x2 =0解方程组Z2一 =3x -x -2

9、xy =02,得四个驻点.对每个驻点验证AC -B ,发现只有在点(1,1)处满足2AC -B =3 A0 ,且A=C =2<0,所以(1,1)为函数的极大值点，所以应该选(D)2.一，一 2 3【详解】设g(x) =(f(x)* 2 ,则g (x)=2f (x)f (x) >0 ,也就是(f(x)是单调增加函数.也就得到f(1)f(-1)=f(1)>lf(-1),所以应该选(C)4.【详解】iv n :1=(1 k)I,产，.9.解：由对称性知_一（sin10.【详解】齐次差分方程x乂由一2yt =0的通解为y = C2 ；一，、，1显然当且仅当（1+k） =0,也就是k

10、= -1时，级数的一般项是关于1的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C）.n5 .【详解】矩阵/的特征值为1和n1个0,从而Eo（aT,E+ao（T,E2口0（£ + 20（0（丁的特征值分别为0,1,1|1；5.1.1, |,1 ； 1,1,1川,1; 3,1,1川,1 .显然只有E 口（/存在零特征值，所以不可逆，应该选（A）.6 .【详解】矩阵 A, B的特征值都是 %=2,%=1 .是否可对解化，只需要关心九=2的情况.0 0、对于矢I阵A, 2E-A= 0 0 -1 ,秩等于1 ,也就是矩阵 A属于特征值九=2存在两个线性无关的© 0 1特征向量，也就是可以对角化，

11、也就是 AC .0-1 0、对于矢I阵B , 2E-B= 0 0 0 ,秩等于2 ,也就是矩阵 A属于特征值 人=2只有一个线性无关的特征向量，也<0 0 b就是不可以对角化，当然B,C不相似故选择（B）.7 .【详解】P(AUB)C)= P(AC AB)= P(AC) P(BC) -P(ABC)= P(A)P(C) P(B)P(C) - P(ABC) P(AUB)P(C) =(P(A) P(B) - P(AB)P(C) =P(A)P(C) P(B)P(C) -P(AB)P(C) 显然，AljB与C相互独立的充分必要条件是 P(ABC) = P(AB)P(C),所以选择(C ).8 .【

12、详解】 n解：(1)显然(Xi N)N(0,1)= (Xi 与2二3”(1),i =1,2JHn且相互独立，所以 工(Xj N)2服从72(n)分布, i 1也就是(A)结论是正确的；(2) £ (Xi -X)2 =(n -1)S2 = (n -12)S ?2(n -1)，所以(C)结论也是正确的； i 1(3)注意X - N(N,1)二 石(X N)N(0,1)= n(X N)2炉，所以(D)结论也是正确的； nXX,122(4)对于选项(B)： (XnX1)N(0,2)=n 1 N(0,1)= (Xn X1)2 1(1),所以(B)结论是错误的，22应该选择(B)t_ t 一一

13、1仅yt+ -2 yt =2的特解为 y =at2，代入万程，得a = 一 ；2tt 1t所以差分万程 yt由-2yt =21的通解为y =C2t +72：11 .【详解】答案为1+（1 Q）e".平均成本C(Q)=1十e9,则总成本为C(Q) =QC(Q) =Q+Qe9,从而边际成本为C(Q) =1 (1-Q)e.12 .【详解】df(x, y) =yeydx+x(1+y)eydy =d(xyey),所以 f (x, y) = xyey+C ,由 f (0,0) = 0 ,得 C = 0 ,所以 f(x,y) =xyey1、13.【详解】对矩阵进行初等变换A =1 ,知矩阵A的秩为

14、2,由于0(1,093为0，2.线性无关，所以向量组 A%, Aot2,凡3的秩为14.【详解】显然由概率分布的性质，知11 ,EX =2父一+1 Ma + 3Mb =a+3b1 =0 ,解得 a =- ,b24_ 2_9EX2 * =2+a+9b =9 ,2229DX 二 EX2 -E2(X)=-215 .【详解】令xt = U ,则1=乂一口，dt = du, J0 Jx -tedt0 >/uex_udu16 .【详解】lim x_0 :*tetdtx e =lim x_0 '0 Vuedux3=limx )0 -0x、uedux3xe": lim -x 0 3-x

15、217.【详解】由定积分的定义3-y二二 .：x-2472 dxdy=dxd (1 x y )00(1 x2y4)2 dy1 二x d(1 x y )二一 dx400242(1 x y )-dx =1 2x21 1 -8l 2 J1k1o xln(1 x)dx18.【详解】设f (x)=ln(1 x)f (x)=(1 x)ln 2 (1 x) - x222(1 x)ln (1 x) x22x (1 x)ln (1 x)1 =2 01n(1 x)dx令 g(x) =(1+x)lnY (0,1),则(1+x) x2,贝U g(0) =0, g(1) = 2ln2 2 1 g (x) =ln2(1

16、x) -2ln(1 x) -2x,g (0) =0g (x)=弛0±x二&<0,xw(0,1),所以 g'(x)在(0,1)上单调减少， 1 x由于g (0)=0,所以当xw(0,1)时，g'(x) <g 0) =0 ,也就是g(x) g'(x)在(0,1)上单调减少，当 xw(0,1)时, g(x) <g(0) =0,进一步得到当xw(0,1)时，f'(x)<0,也就是f (x)在(0,1)上单调减少.1上 ,、 l '11x -ln(1 + x)1.小 1/口/口 1/,1limj(x)=lim°

17、=lim =- , f(1)二1,也就是得到 1<k<一.x-0+T+n(1 + x)x, T+xln(1 十 x)2In 2ln221 ，、，、19.【详解】(1)由条件 an噂=(nan+an)=5+1同中=nan+anjn 1a a 1也就彳# 到(n + 1)(4.%)=(% %)，也就得到 上一n =,n=1,2,|an - an Jn 1(n 1)!an 1 - an= an 1 - anan -禺 J a a2 a1= (_ 1)nal - a0an - an an J - an _2a1- a01也就彳#到“".印 .n .k 1 1an 1 =(an 1

18、 an) (an - an)IH (a2 a) a 二 " (-1) kk!-lim .2!11 nI - lim3!n!e = 1,所以收敛半径R _1qQqQ(2)所以对于哥级数 z anxn ,由和函数的性质，可得 S'(x)=£- nanxn，所以n -0n 4cOoOco(1-x)S(x) =(1-x)“ nanxn'=" nanxnnanxnn 1n dn 1oOoo八(n 1)an 1xn - e 所以 S(x)=.1 -x20.【详解】(1)证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以 A是非零矩阵，也就是 r(A)之1.假若r(A)=1

19、时，则r=0是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有 r(A)之2,又因为口3 -R1 +禽2 = 0 ,也就是a1,a2,a3线性相关，r(A)<3,也就只有r(A)=2.(2)因为r(A)=2,所以Ax =0的基础解系中只有一个线性无关的解向量.由于 u3-% +犷2 = 0,所以基础解系' nanxnn z0n 1QO二a1 " (n 1)an 1 -nan)xnn 1="K/xn ="anxn 1 =xanxn = xS(x)nWn z0n =0也就是有(1 x)S'(x) -xS(x) =0(x w (1,1) .Ce«解

20、微分方程(1x)S(x) xS(x) =0 ,得 S(x),由于 S(0) =a0 =1 ,得 C =11 -x又由一:方程组储=5十% 03 ,得非齐次方程组Ax = P的特解可取为 1 ;人* =日的通解为x=k,其中k为任意常数.-1I1-421.【详解】二次型矩阵 A =-122因为二次型的标准形为y1 +%丫2 ,也就说明矩阵A有零特征值，所以 A = 0 ,故a = 2. -1-1KE A = :-1-12-2令九E -A =0得矩阵的特征值为 儿=3,% =6,%,属于特征值特征值 2二61通过分别解方程组(%E-A)x = 0得矩阵的属于特征值 =-3的特征向量 彳=不=0的特征向量匕=尸6所以、=1, 2, 3 =1313131:21,21近2秀1V6 )为所求正交矩阵.12202y dy 二3022.【详解】(1)EY =yfY(y)dy0所以 piYMEYP Y < - = 32ydy =4. 309FZ(z)=PiZ 三z ： = P；.X Y MzPiX Y < z,X =0)P：X Y < z,X =2) =P1X =0,Y < z? - P iX =2,Y < z 2)1 1.PY <z PlY M z -2：2 21=二