高中数学《空间几何体》文字素材1 苏教版必修2

1、平面的基本性质（三个公理）的作用归纳题型，提高解题能力平面的基本性质有以下三个公理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.公理3： 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.其中公理3还有三个推论：推论：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.推论：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论：经过两条平行直线，有且只有一个平面.以上三个公理（及公理3的推论）在解题中有什么作用呢？我们可归纳如下：一公理1的作用：证明直线在平面内. 证明时只要

2、证明直线上有两个点在平面内.例题：如图，中，若AB,BC在平面内，判断AC是否在平面内？为什么？ABC分析：由AB,BC在平面内得： ；根据公理1得：AC在平面内.ABCDA1B1C1D1二公理2的作用：1证明两个平面相交. 证明时只要证明两个平面有一个公共点；2找两个平面的交线. 解题时只要找出两个平面的两个公共点；例题：正方体中， （1）求证：平面与平面相交；（2）找出平面与平面的交线.分析：（1）平面内，与是正方形的对角线， 与相交，设交点为， 平面，平面； 平面，平面； 即是平面与平面的公共点. 平面与平面相交.（2）由（1）知点是平面与平面的一个公共点； 同（1）可证与的交点是平面与

3、平面的另一个公共点； 根据公理2得：平面与平面的交线为直线.3证明多点共线. 证明时先证明这些点是两个平面的公共点，再利用两个平面交线的唯一性说明这些公共点共线.例题：已知平面ABC与平面不重合，且AB=P，BC=Q，AC=R，求证：P、Q、R三点共线.分析： 平面ABC；点既在平面ABC内又在平面内；设平面ABC平面，则；4证明多线共点. 证明时先证明其中两条直线交于一点，再证明这一点也在其它直线上.A例题：已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且；HE求证：三条直线EF、GH、AC交于一点.D证明： E、H是AB、AD 的中点；GCBEH

4、BD，EH=BD.F F、G分别是边BC、CD上的点，且；FGBD，FG=BD.EHFG；这样，EH、FG可以确定一个平面EHGF.因为EHFG，所以EHGF构成一个梯形，从而EF、HG必相交.设EF、HG相交于点O；E是边AB的中点，F是边BC上的点，E、F是平面ABC上的点，即平面ABC；同理可证平面ACD；EF与HG的交点O既在平面ABC内又在平面ACD内；点O在平面ABC与平面ACD的交线AC上；EF、HG、AC相交于一点O.三公理3的作用：证明共面问题. 证明时一般有两个途径：一是先证其中部分元素可以确定一个平面，再证其余元素在这个平面内；二是这些元素先分别确定若干个平面，再利用唯一

5、性证明这些平面重合.例题1：已知：直线a,b,c,d两两相交且不过同一点；求证：a,b,c,d共面.证明:有两种情形:(1) 若三条直线a,b,c交于一点P,则直线d不过点P.设ad=A,bd=B,cd=C,a,b相交； a,b确定平面, ad=A,bd=B, A,B；Ad,Bd,d在内； 同理可证c在内,a,b,c,d在同一平面内.(2) a,b,c,d无三线共点.设ab=A, cb=B,db=C,ac=D,ad=E,a,b相交； a,b确定平面平面,B,C,D,E,又Cd,Ed；Bc,Dc,d在内,c在内,a,b,c,d在同一平面内. 例题2：已知：直线满足，且，求证：四线共面.证明： ，

6、 确定一个平面;，; ，; ，; ，即;平面也是直线确定的平面.同理确定平面，可证;平面也是直线确定的平面.过有且只有一个平面；平面、重合;直线在同一平面内.“线线垂直”证法例谈“线线垂直”是立体几何论证问题中常见的题型之一，解证这类问题时一般有如下两条思路：其一是：直接应用所学知识证明两条直线垂直；其二是“退步”证明一条直线垂直于包含另一条直线的平面，进而借助直线与平面垂直的性质定理证得两直线垂直。现举例解析如下：例1：如图1，设是空间四边形的边的中点，且，求证：。证明：如图1，连，因，故，即是等腰三角形，注意到是的中点，所以。点评：本题的证明方法是直接借助“等腰三角形的中线就是高线”这一平

7、面几何结论，从而证得了两直线垂直。例2：已知为空间两条异面直线，设且，且，若分别是的中点，且，证明。证明：如图1，取的中点为，连，则由三角形中位线定理得：，故就是异面直线所成角，注意到，所以，即，故由两直线垂直的定义可知：。点评：本题的证明方法是先利用应用两条异面直线所成角的定义，将两条异面直线所成角转化为共面的平面角，然后在利用勾股定理的逆定理推知两条异面直线所成角为直角，故两条异面直线垂直的定义可知这两条直线互相垂直。例3：如图3，已知平面平面，为两平面外的一点，若平面，垂足为，平面，垂足为，求证：。证明：如图2，因平面，平面，则；又因平面，平面，则，而，所由线面垂直的判定定理可得：平面，

8、注意到平面，所以。点评：本题的证明方法是先利用直线与平面垂直的判定定理证明“直线与包含直线的平面垂直，再应用直线与平面垂直的性质定理证得这两直线垂直”，体现了化归与转化的数学思想与方法。例4：如图4，已知正方体中，点是棱上的动点，点是面的对角线的中点，求证：。证明：如图4，连，因，故，又且，所以平面，而平面，故。点评：本题的证明方法是先利用直线与平面垂直的判定定理证明“直线与包含动直线的平面垂直，然后再应用直线与平面垂直的性质定理证得这两直线垂直”，体现了化归与转化的数学思想和方法。<<直线与平面平行的判定与性质>>解读直线与平面平行是直线与平面位置关系中最为重要的一种

9、,高考中常常考查这一节内容,题型有小有大,难度属基础或中档.本文就直线与平面平行的判定与性质予以解读,供同学们参考.一.直线与平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线就和这个平面平行.可以用符号表示为:.几点说明:1.该定理常表述为:“线线平行,则线面平行”;2.用该定理去判断或证明直线时,必须具备三个条件:直线在平面外,即;直线在平面内,即;两直线平行,即.这三个条件缺一不可.例1 如图1,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是梯形,AB/CD且CD=2AB,F为PD的中点,求证:AF/面PBC.分析: 要证明AF/面PBC,只要能在面PBC内找到一条直

10、线使得它与AF平行即可.证明: 如图2,取PC中点E,连接BE,EF.因为F为PD的中点,所以EF/CD且EF=CD.又AB/CD且CD=2AB,所以AB/EF且AB=EF,所以四边形ABEF为平行四边形,所以AF/BE,又因为BE面PBC,AF面PBC,所以AF/面PBC.点评: 本题关键是过AF寻找到平面ABEF,而面ABEF面PBC=BE,这样只要证明AF/BE即可,我们常用这种办法去寻求平面内的那条目标直线.二.直线与平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行.用符号表示为:.几点说明:1.该定理常表述为:“线面平行,则线线平行”;2.正确运用该定理应注意:直线和平面平行,即;平面相交,即;直线在平面内,即.这三个条件不可缺一.例2 如图3,求证:.分析: 要证明,只要在平面内找到一条直线使得它与平行即可.因为,所以只要在平面内找到一条直线与平行的直线,又,所以只要运用线面平行的性质定理就可达到目的.证明: 如图4,过与平面内一点P作平面,则平面与平面相交,设交线为.因为所以.因为,所以.又因为,