工程力学课件：A图形性质

1、1A-1 静矩和形心静矩和形心A-2 惯性矩和惯性积惯性矩和惯性积A-3 平移轴公式平移轴公式A-4 转轴公式转轴公式附录附录A A 平面图形的几何性质平面图形的几何性质附附 录录A-5 主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性矩主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性矩2A-A-1 1 静矩和形心静矩和形心一、简单图形的静矩（面积矩）一、简单图形的静矩（面积矩）1、定义：dA对y轴的微静矩:AyAzzdASydASyzdAyzo2、量纲：长度3；单位：m3、cm3、mm3。dA对z轴的微静矩:ydAdSzzdAdSy3、静矩的值可以是正值、负值、或零。3yzdAyzo4、静矩和形心的关系 可知AdAzzAdAy

2、yACAC,CAyAzzdASCAzAyydAS静矩和形心的关系静矩和形心的关系由平面图形的形心公式由平面图形的形心公式结论：结论： 图形对过形心的轴的静矩为零。图形对过形心的轴的静矩为零。 若图形对某轴的静矩为零，则此轴一定过图形的形心。若图形对某轴的静矩为零，则此轴一定过图形的形心。4zyAzydASCZhaaybdyhaaby22)2(habhCAybhadyydzzAyzdASbzhdz0bhz0222bbhCAzAzydASc22hhybdy2222hhby0求图形对y、z 轴的静矩5二、简单图形的形心二、简单图形的形心1、形心坐标公式：AydAASyAzcAzdAASzAyc2、形

3、心确定的规律：（1）图形有对称轴时，形心必在此对称轴上。形心必在此对称轴上。（2）图形有两个对称轴时，形心必在此两对称轴的交点处。6三、三、组合图形组合图形（由若干个基本图形组合而成的图形）（由若干个基本图形组合而成的图形）的静矩：的静矩：ciizizyASSciiyiyzASS四、组合图形的形心四、组合图形的形心：izicASyiyicASziAyAciiiAzAcii 利用基本图利用基本图形的结果，可使形的结果，可使组合图形的形心组合图形的形心计算简单计算简单基本图形基本图形-指面积、形心位置已知的图形指面积、形心位置已知的图形7212211AAzAzAAzAzccciic例例 试确定下图

4、的形心试确定下图的形心。212211AAyAyAAyAyccciic801010c(19.7;39.7)zyC1C2解法解法1 1：1)、建立坐标如图示，分割图形mmymmzmmAcc5,45,7001121mmymmzmmAcc60,5,12002222120120070012005700452)、求形心)7 .19 mm)(7 .3912007001200607005mm8801201010)(3 .20108011010110035mmc(-20.3;34.7)解法二：解法二：1)、分割图形及建立坐标系，如图所示zyC2C1. 0, 0,8001121ccyzmmAmmymmzmmAcc

5、60,35,110022222)、求形心)(7 .34108011010110060mm212211AAzAzAAzAzccciic212211AAyAyAAyAyccciic9解法三解法三：负面积法)(7 .19117812)77(459640mmzymmymmzmmAcc60,40,96001121mmymmzmmAcc65,45,1107022222C求形心：)(7 .397796)77(659660mm1C0C212211AAzAzAAzAzccciic212211AAyAyAAyAyccciic80120101010zy10A-A-2 2 惯性矩和惯性积惯性矩和惯性积一、简单图形的惯

6、性矩一、简单图形的惯性矩1 1、定义、定义：dAdA对对z z轴的惯性距轴的惯性距: :dAdA对对y y轴的惯性距轴的惯性距: :2 2、量纲：、量纲：m m4 4、mmmm4 4。yzdAzyo,2AzdAyIAydAzI2dAydIz2dAzdIy23 3、惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。、惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。4 4、惯性矩的取值恒为正值。、惯性矩的取值恒为正值。5 5、极惯性矩：、极惯性矩：（对（对o o点而言）点而言）AodAI2pI222yz 图形对图形对z z轴的惯性矩轴的惯性矩: :图形对图形对y y轴的惯性矩轴的惯性矩: :116 6、惯性矩与极惯性矩的关系：、惯性矩

7、与极惯性矩的关系： 图形对任一对相互垂直的坐标系的惯性矩之和恒图形对任一对相互垂直的坐标系的惯性矩之和恒等于此图形对该两轴交点的极惯性矩。等于此图形对该两轴交点的极惯性矩。ApdAI2AdAzy)(22AAdAzdAy22yzII yzdAzyo12bhzccyc7 7、简单图形惯性矩的计算、简单图形惯性矩的计算 圆形截面：圆形截面：实心（直径D）空心（外径D，内径d）4641DIIyz)(64144dDIIyz 矩形截面：矩形截面：32222121bhbdyydAyIhhAz32222121hbhdAzdAzIbbAybdyhdz3121bhIz3121hbIyzcycc13二、惯性半径：二

8、、惯性半径：AIiAiIzzzz2AIiAiIyyyy2三、简单图形的惯性积三、简单图形的惯性积1 1、定义：、定义：2 2、量纲：长度、量纲：长度4 4，单位：，单位：m m4 4、mmmm4 4。3 3、惯性积是对轴而言。、惯性积是对轴而言。AzyzydAI4 4、惯性积的取值为正值、负值、零。、惯性积的取值为正值、负值、零。yzdAzyo5 5、规律：、规律： 两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则图形对这一坐标轴的惯性积为零。图形对这一坐标轴的惯性积为零。14解解：AaIdAyadAadAydAaydAyIzcAcAAcAcAz222222

9、)(AbIdAzbdAbdAzdAbzdAzIycAcAAcAcAy222222)(zyoyczcczcyc已知已知：图形截面积图形截面积A，形心坐标，形心坐标yc、 zc 、Izc、Iyc、 a、b已知。已知。Zc轴轴平平行于行于z z轴；轴；y yc c轴平行于轴平行于y y轴。轴。求求：I Iz z、I Iy y。A-A-3 3 平行移轴公式平行移轴公式一、平行移轴公式一、平行移轴公式AAcczydAbzayyzdAI)(abAIdAybdAzaabdAdAzyzcycAAccAAccdAyzab15二、组合图形的惯性矩和惯性积二、组合图形的惯性矩和惯性积zizIIyiyIIziyizy

10、II注意：注意：ZC、YC 为形心坐标。为形心坐标。 a、b为图形形心在为图形形心在yoz坐标系的坐标值，可正可负坐标系的坐标值，可正可负abAIIAbIIAaIIzcyczyycyzcz22，zyoyczcczcycdAyzab平行移轴公式平行移轴公式 根据惯性矩和惯性积的定义易得组合截面对于某轴的惯性矩（或惯性积）等于其各组成部分对于同一轴的惯性矩（或惯性积）之和：16例 求图示直径为求图示直径为d d 的半圆对其自身形心轴的半圆对其自身形心轴 x xc c 的惯性矩。的惯性矩。解：解：A-1222)(yRyb12d2d)(d3222020dyyRyyybyAySddAx3281223dd

11、dASyxcxyb(y)ycCdxc172、求对形心轴 xc 的惯性矩12826444ddIx181288)(4422dddyIIcxxc由平行移轴公式得：由平行移轴公式得： xyb(y)ycCdxc3281223dddASyxc18例例 试求图a 所示截面对于对称轴 x 的惯性矩。解：解：将截面看作一个矩形和两个半圆组成。1、矩形对 x 轴的惯性矩：44331mm1053331220080122adIx2、一个半圆对其自身形心轴 xc 轴的惯性矩（见上例）181288)(4422dddyIIcxxcxyC(a)d=8040100a=10040 a+2d3193、一个半圆对 x 的惯性矩由平行

12、移轴公式得：44222222mm103467322324832adaddddaIIcxx4、整个截面对于对称轴 x 的惯性矩：444421mm101227010346721053332xxxIIIxyC(a)d=8040100a=10040 a+2d320A-4 A-4 转轴公式转轴公式一、惯性矩和惯性积的转轴公式一、惯性矩和惯性积的转轴公式 dA 在坐标系在坐标系 ozy 和坐标系和坐标系oz1y1 的的坐标分别为（的的坐标分别为（z，y ）和（）和（z1 ， y1 ）sincossincos11zyyyzz代入代入惯性矩惯性矩的定义式：的定义式：AyIAzd211zyOzyzy11ABCD

13、EdAzy11已知已知：A、Iz、Iy、Izy、。 求求：Iz1、Iy1、Iz1y1。21cossin2sincos dcossin2 dsindcos2222221zyyzAAAzIIIAzyAzAyI 利用二倍角函数代入上式，得利用二倍角函数代入上式，得 转轴公式转轴公式 ：2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111zyyzyzzyyzyzyzyyzyzzIIIIIIIIIIIIIIII 的符号为：从的符号为：从 z 轴至轴至 z1 轴轴 逆时针逆时针为正，顺时针为负。为正，顺时针为负。AyIAzd211zyOzyzy11ABCDEdAzy1122yzyzIIII1

14、1 上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原的坐标轴的惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩点的极惯性矩将前两式相加得将前两式相加得2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111zyyzyzzyyzyzyzyyzyzzIIIIIIIIIIIIIIIIzyOzyzy11ABCDEdAzy11232cos2sin22sin2cos222sin2cos221111zyyzyzzyyzyzyzyyzyzzIIIIIIIIIIIIIIII1112)2cos2sin2(2

15、2cos22sin22yzzyyzzyyzzIIIIIIIddI001ddIz令0A-5 A-5 主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性矩主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性矩242200minmax)2(2zyyzyzyzIIIIIIIyzzyIIItg22001ddIz022cos22sin220000yzzyyzIIII可求得可求得 和和 两个角度，从而确定两根轴两个角度，从而确定两根轴y0,，z0。0900由yzzyIIItg220求出 代入转轴公式可得：002cos,2sin000yzI且252 2、主惯性矩（主矩）：、主惯性矩（主矩）： 图形对主轴的惯性矩图形对主轴的惯性矩Iz0、Iy0 称为称

16、为主惯性矩，主惯性矩，主惯性矩为图形对主惯性矩为图形对过该点的所有轴的惯性矩中的最大和最小值。过该点的所有轴的惯性矩中的最大和最小值。3 3、形心主惯性轴（形心主轴）：、形心主惯性轴（形心主轴）： 如果图形的两个主轴为图形的形心轴，则此两轴为形心主惯轴。如果图形的两个主轴为图形的形心轴，则此两轴为形心主惯轴。（Izcyc= 0= 0。 zc、yc 为形心轴。为形心轴。zc、yc 为形心主轴）。为形心主轴）。4 4、形心主惯性矩：、形心主惯性矩：图形对形心主轴的惯性矩。（图形对形心主轴的惯性矩。（Izc、Iyc）。由此引出几个概念：由此引出几个概念：1 1、主惯性轴（主轴）：、主惯性轴（主轴）：

17、y y0 0, , z z0 0 如果图形对过某点的某一对坐标轴的惯性积为零，则该对轴为如果图形对过某点的某一对坐标轴的惯性积为零，则该对轴为图形过该点的图形过该点的主惯性轴主惯性轴。（。（ ， 轴为主轴轴为主轴）。）。000yzI265 5、求截面形心主惯性矩的基本步骤、求截面形心主惯性矩的基本步骤1)、建立坐标系。、建立坐标系。2)、求形心位置。、求形心位置。3)、建立形心坐标系；并求：、建立形心坐标系；并求：Iyc ， Izc ， Izcyc ，AyAASyAzAASzciizciiyc4)、确定形心主轴位置、确定形心主轴位置 0 ：yzzyIIItg2205)、求形心主惯性矩求形心主惯

18、性矩2200minmax)2(2zyyzyzyczcIIIIIII276 6、几个结论、几个结论 若截面有一根对称轴，则此轴即为形心若截面有一根对称轴，则此轴即为形心主惯性主惯性轴之一，另一轴之一，另一形心形心主惯性轴为通过形心并与对称轴主惯性轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。垂直的轴。 若若截面有二根对称轴，则此二轴即为形心截面有二根对称轴，则此二轴即为形心主主惯性轴。惯性轴。 若若截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均为形心为形心主惯性轴，且主惯性矩相等。主惯性轴，且主惯性矩相等。第一章:绪论一、填空1 .构件在外荷载作用下具有抵抗破坏的能力为材料的（

19、）；具有一定的抵抗变形的能力为材料的（ ）；保持其原有平衡状态的能力为材料的（ ）。2 .现代工程中常用的固体材料种类繁多，物理力学性能各异。所以，在研究受力后物体（构件）内部的力学响应时，除非有特别提示，一般将材料看成由（ ）、（ ）、（ ）的介质组成。 答案：答案：强度、刚度、稳定性。连续性、均匀性、各向同性。3 .构件所受的外力可以是各式各样的，有时是很复杂的。材料力学根据构件的典型受力情况及截面上的内力分量可分为（ ）、（ ）、（ ）、（ ）四种基本变形。答案： 拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲。第二章:拉伸与压缩一、填空1.轴力是指通过横截面形心垂直于横截面作用的内力，而求轴力的基本方法

20、是（ ）。答案： 截面法。2.工程构件在实际工作环境下所能承受的应力称为（ ），工件中最大工作应力不能超过此应力，超过此应力时称为（ ）。答案： 许用应力 ，失效 。3.在低碳钢拉伸曲线中，其变形破坏全过程可分为（）个变形阶段，它们依次是 （）、（）、（）、和（）。答案： 四，弹性、屈服、强化和颈缩、断裂。4.用塑性材料的低碳钢标准试件在做拉伸实验过程中，将会出现四个重要的极限应力；其中保持材料中应力与应变成线性关系的最大应力为（）；使材料保持纯弹性变形的最大应力为（ ）；应力只作微小波动而变形迅速增加时的应力为（ ）；材料达到所能承受的最大载荷时的应力为（ ）。答案：比例极限、弹性极限、屈服

21、极限、强度极限。5.通过低碳钢拉伸破坏试验可测定强度指标（ ）和（ ）；塑性指标（ ）和（ ）。答案： 屈服极限，强度极限 ；伸长率，断面收缩率。二、选择题1.所有脆性材料，它与塑性材料相比，其拉伸力学性能的最大特点是（ ）。（A）强度低，对应力集中不敏感；（B）相同拉力作用下变形小；（C）断裂前几乎没有塑性变形；（D）应力-应变关系严格遵循胡克定律。答案：C2. 现有三种材料的拉伸曲线如图所示。分别由此三种材料制成同一构件，其中：1）强度最高的是（ ）；2）刚度最大的是（ ）；3）塑性最好的是（ ）；4）韧性最高，抗冲击能力最强的是（ ）。oABC答案：A，B，C，C3.两端固定的阶梯杆如图

22、所示，横截面面积 ，受轴向载荷P后，其轴力图是（ ）。212AA2AABx1APllxN2P2P AxNP BxN3P23P CxNPD答案：C三、判断题ABPllC1.两端固定的等截面直杆受轴向载荷P作用，则图示AC、CB段分别受压缩 和拉伸ACNP CBNP 。（ ）答案：2.图示结构由两根尺寸完全相同的杆件组成。AC杆为铜合金，BC杆为低碳钢杆，则此两杆在力P作用下具有相同的拉应力。 （ ）ABCP答案：3.正应变的定义为 （ ）/ E。答案：答案：答案：4.任何温度改变都会在结构中引起应变与应力。 （ ）5.对于拉伸曲线上没有屈服平台的合金塑性材料，工程上规定 作为名义屈服极限，此时相对应的应变量为 （ ）0.20.2%。第三章:扭转与剪切一、填空1.空心圆轴外径为D，内径为d=D/2，两端受扭转力偶 作用，则其横截面上剪应力呈（ ）分布， （ ），xmmaxmin （ ）。2.圆截面杆扭转时，其变形特点是变形过程中横截面始终保持（ ），即符合（ ）假设。非圆截面杆扭转时，其变形特点是变形过程中横截面发生（ ）