相似三角形与圆的综合应用

1、.个性化辅导讲义 ：相似三角形与圆的综合应用课题1.了解相似图形和相似三角形的定义， 掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性质教学目标2. 掌握与圆的相关性质，以及与圆相关的角的概念及性质，理解切线及切线长定理在圆中的应用3. 掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的相关位置关系，了解相似三角形在圆中的应用1.相似三角形的定义及相似三角形的判定定理和性质2.与圆相关的性质重点、难点3.与圆相关的位置关系4.相似三角形在圆中的应用考点一： 相似三角形， 了解相似图形和相似三角形的定义，掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性质。考点及考试考点二：圆的基本性质及与圆相关的位置关系，掌握圆的基本性质，特别是

2、垂径定要求理、圆周角及圆心角；理解与圆相关的位置关系，特殊是直线与圆位置关系中的相切关系和圆与圆的位置关系。教学内容知识框架相似三角形的概念与判定（一）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形。相似三角形的对应边的比叫做相似比（也叫相似系数）。（二）判定：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。有两个角对应相等的两个三角形相似。三条边对应成比例的两个三角形相似。一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。;.相似三角形的性质1.

3、 相似比：相似三角形对应边的比值2. 相似三角形各组对应角相等3. 相似三角形各组对应边的比值相等4. 相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比5. 相似三角形周长的比等于相似比6. 相似三角形面积的比等于相似比的平方7. 直角三角形中，斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项圆的性质1、旋转不变性2、圆是中心对称图形，对称中心是圆心3、轴对称：4、与圆有关的角 圆心角圆周角点和圆、圆与圆的位置关系1.点与圆的位置关系2.判定直线与圆的位置关系的方法有两种3、常用的辅助线是：圆心到直线的垂线段圆与圆的位置关系：1.两圆的位置关系有五种2.根据两圆交点个数判断两

4、圆的位置关系3.根据圆心距与两圆半径的和的数量关系圆中常见的辅助线1作半径，利用同圆或等圆的半径相等；2作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算；3作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算；4作弦构造同弧或等弧所对的圆周角；5作弦、直径等构造直径所对的圆周角直角；6遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点。考点一：相似三角形典型例题;.1 在 ABC中 ,AB AC, A 36° , ABC的平分线 BD与 AC交于 D,求证 :(1)BC BD (2) ABC BDCADBC2. 两个相似三角形对应中线之比是3:7 ，周长之和为 30cm, 则它们的周长分

5、别是ABBCAC3如图，已知AD DE = AE ，求证： ABD ACEAEDBC4在 RtABC中， ACB=90°， CD AB于 D，则 BD AD等于（）（ A）a b（B） a2 b2（ C）a b（ D）不能确定CE15.如图，在ABC中， ACB 90°， CDAB于 D， DE AC于 E， DE= 2BC求 AC 的值。BDCEA知识概括、方法总结与易错点分析相似三角形的概念与判定（一）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形。相似三角形的对应边的比叫做相似比（也叫相似系数）。（二）判定：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相

6、交，所构成的三角形与原三角形相似。两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。有两个角对应相等的两个三角形相似。三条边对应成比例的两个三角形相似。一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。;.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。相似三角形的性质1. 相似比：相似三角形对应边的比值2. 相似三角形各组对应角相等3. 相似三角形各组对应边的比值相等4. 相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比5. 相似三角形周长的比等于相似比6. 相似三角形面积的比等于相似比的平方7. 直角三角形中，斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项针对性练习

7、1两个相似三角形的对应角平分线的长分别为10cm和 20cm，若它们的周长的差是60cm，则较大的三角形的周长是 -，若它们的面积之和为260cm2，则较小的三角形的面积为 -cm 22. 如图， PLMN为矩形， AD BC于 D， PLLM=5 9，且 BC=36cm， AD=12cm，求矩形 PLMN的周长APENCBLDM3. 如图，在RtABD中， ADB=90° ,CDAB 于 C，AC=20cm,BC=9cm,求 AB及 BD的长DACB;.5. 如图，矩形 ABCD中， AE BD于 E，若 BE=4， DE=9,求矩形的面积考点二：圆、相似与圆的综合应用典型例题1.

8、 如图， AB是 ABC的外接圆 O 的直径， D 是 O上的一点， DE AB于点 E，且 DE 的延长线分别交 AC、 O、BC的延长线于 F、 M、 G.求证： AE· BE EF· EG；2. 如图， AB是 O的直径， BC是 O的切线， D 是 O上的一点，且AD CO。(1) 求证：ADBOBC；C(2) 若 AB=2，BC= 2 ，求 AD的长。 ( 结果保留根号)DABO;.3. 已知：如图， AB 是 O的直径，点 P 在 BA 的延长线上， PD切 O于点 C， BD PD，垂足为 D，连接 BC。求证：（ 1） BC平分 PBD；（ 2） BC 2A

9、B BDDCPAOB图 5124.如图， AB 是 O 的直径， BC AB ，弦 AD OC.求证： CD 是 O 的切线。D.ABO知识概括、方法总结与易错点分析圆的性质1、旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；2、圆是中心对称图形，对称中心是圆心性质：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量也分别相等。;.3、轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴4、与圆有关的角 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角

10、叫做圆周角。圆周角的性质： 圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等 90 °的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角点与圆的位置关系1. 点在圆外 dr2. 点在圆上 d=r3. 点在圆内 d r直线与圆的位置关系判定方法有两种（ 1）根据定义，由直线与圆的公共点的个数来判断；（ 2）根据性质，由圆心到直线的距离d 与半径 r 的关系来判断常用的辅助线是：圆心到直线的垂线段圆与圆的位置关系（ 1）当两圆有唯一的公共点时，叫做两圆相切， 唯一的公共点叫做切点。相切的两个圆除了切点外，一个圆上的点都在另一个

11、圆的外部时，我们就说这两个圆外切（如图1）；，相切的两个圆，除了切点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，我们就说这两个圆内切（如图2）。TO1O201TO2图1图2;.（ 2）设两个圆的半径为R 和 r,(R r) ，圆心距为d，则可得两圆外切d=R+ r;两圆内切d=R-r 。（ 3）相切两圆也组成轴对称图形，通过两圆的圆心的直线叫做连心线，是他们的对称轴，由此我们得到相切两圆的连心线的性质：相切两圆的连心线必经过切点。01TO1O2O2T图 1图 2两圆的位置关系还有以下三种情况：Rro1 Ro2O1O2rO1 O2(1)(2)(3)当两个圆有两个公共点时，叫做两圆相交（如图1）；当两个

12、圆没有公共点时，叫做两圆相离，相离的两个圆，如果一个圆上的点都在另一个圆的外部，我们就说这两个圆外离（如图2），如果一个圆上点都在另一个圆的内部。我们就说这两个圆内含（如图3）设两个圆的半径为R 和 r,圆心距为d,则;.（ 1）两圆相交R- r d R+ r;（ 2）两圆外离dR+ r;（ 3）两圆内含d R- r （ R r） ;圆中常见的辅助线1作半径，利用同圆或等圆的半径相等；2作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算；3作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算；4作弦构造同弧或等弧所对的圆周角；5作弦、直径等构造直径所对的圆周角直角；6遇到三角形的外心常连结外

13、心和三角形的各顶点。针对性练习：1 如图， AB 是 O的直径，弦DE AB，垂足为C，过点 D作 O的切线交 BA 的延长线于点P， tan P 15 ，PO 16。15(1) 求 O的半径； (2) 求 OC的长；D(3) 若 F 为弧 AE的中点，求cosAOF的值。CBOAPFE2. 已知：如图，直线PA交 O于 A、 E 两点， PA的垂线 DC切 O于点 C，过 A 点作 O的直径 AB。（ 1）求证： AC平分 DAB；（ 2）若 DC 4， DA 2，求 O的直径。;.3.PC 切 O于点 C，过圆心的割线 PAB交 O于 A、 B 两点， BE PE，垂足为 E， BE 交

14、O于点 D， F 是 PC上一点，且 PF AF， FA 的延长线交 O于点 G。求证：（ 1） FGD 2 PBC；（ 2）PC PO.AG AB4. 已知直线L 与 O相切于点A，直径 AB=6，点 P 在 L 上移动，连接OP交 O于点 C，连接 BC并延长 BC交直线 L 于点 D，（ 1） 若 AP=4， 求线段 PC的长（ 2） 若 PAO与 BAD相似，求 APO的度数和四边形 OADC的面积（答案要求保留根号）巩固作业1、如图， PA、PB 是 O的切线， A、 B 为切点，若 APB=60°，则 ABO=.(第1题)(第2题)(第 3题)2如图， 在 ABC 中，

15、A= 90°，AB=AC =2cm， A 与 BC 相切于点D，则 A 的半径为cm3如图，已知AOB=30°， M 为 OB 边上一点，以M 为圆心、 2 cm 为半径;.作 M若点 M 在 OB 边上运动，则当OM =cm 时， M 与 OA 相切4如图， PA 为 O 的切线， A 为切点， PO 交 O 于点 B， PA=3， OA=4，则 cos APO 的值为（）3344（A ）4（ B）5（C）5（ D）35已知正三角形的内切圆半径为3cm，则它的边长是（）3（ A ） 2 cm（B） 4（C） 2 3 cm（ D） 3 cm3 cm6已知半径均为1 厘米的两

16、圆外切，半径为2 厘米，且和这两圆都相切的圆共有（）（A）2 个（B）3 个（C）4 个（D）5 个7. 如图，AD 、AE 分别是 O 的切线， D 、E 为切点， BC 切 O 于 F,交 AD 、AE 于点 B、C，若 AD=8.则三角形ABC 的周长是（）A. 8B.10C.16D. 不能确定8.如图， BC 是 O 的直径，弦AE BC，垂足 D, AB1 BF2,AE 与 BF 相交于点G.求证： (1) BEEF ； (2)BG=GE9. 如图 ,已知 AB 是 O 的直径 , O 过 BC 的中点 D,且 DE AC.(1)求证 :DE 是 O 的切线 .(2)若 C=30° ,CD=10cm, 求的半径O;.10. 如图，在 ABC中， ABC 90， AB 6， BC 8。以 AB为直径的 O交 AC于 D， E 是 BC的中点，连接 ED并延长交 BA的延长线于点 F。（ 1）求证： DE是 O的切线；（ 2