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文档简介

1、),(yxfy 可降阶高阶微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节一、一、 型的微分方程型的微分方程 二、二、 型的微分方程型的微分方程 )()(xfyn),(yyfy 三、三、 型的微分方程型的微分方程 第十章 一、一、)(xfy 令,yzyxz dd则因此1d)(Cxxfz即1d)(Cxxfy同理可得2d Cxy1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通过 2 次积分, 可得含 2个任意常数的通解 ., )(xf21CxC型的微分方程型的微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. .cos2xeyx 求解解解: 12cosCxdxeyx12sin21Cxexxey24

2、1xcos21CxC机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 设, )(xpy ,py 则原方程化为一阶方程),(pxfp 设其通解为),(1Cxp则得),(1Cxy再一次积分, 得原方程的通解21d),(CxCxy二、二、机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解: ),(xpy 设,py 则代入方程得pxpx2)1(2分离变量)1(d2d2xxxpp积分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用, 31C得于是有)1(32xy两端再积分得233Cxxy利用,10 xy, 1

3、2C得133xxy因此所求特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、三、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令),(ypy xpydd 则xyypddddyppdd故方程化为),(ddpyfypp设其通解为),(1Cyp即得),(1Cyy分离变量后积分, 得原方程的通解21),(dCxCyy机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求解.02 yyy代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即两端积分得,lnlnln1Cyp,1yCp 即yCy1(一阶线性齐次方程)故所求通解为xCeCy12解解:),(ypy 设xpydd 则xyypddddyppdd机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 解初值问题解解: 令02 yey,00 xy10 xy),(ypy ,ddyppy 则代入方程得yeppydd2积分得1221221Cepy利用初始条件, 0100 xyyp, 01C得根据yepxydd积分得,2Cxey, 00 xy再由12C得故所求特解为xey1得机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结可降阶微分方程的解法 降阶法)(. 1xfy 逐次积分),(. 2yxfy 令, )

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