矩阵单元综合测试题

1、.矩阵单元综合测试题一、填空题（每小题1 分，满分 14 分）1设 A ，B 是数域 F 上的两个矩阵，如果A 与 B 能够相加，则A 与 B 必是同型矩阵。2. 设 A,B,C 为 n 阶方阵且可逆，则当AB=C时， B= A 1 C .3.若 A0,B0,则 AB可能等于 0.4.设A, B是数域 F上的两个 n阶可逆矩阵，下列矩阵kA, AB, AB,AT B, A* B*中一定可逆的有 AB .，AT B和 A* B* .1305. 三阶初等矩阵 T12 (3) 是 0 1 0 。0016. 设 A 是数域 F 上的 n 阶方阵， f ( x)a0a1 xan xn ,则f(A) 是

2、数域F上的n阶 方阵， 且f ( A) a0 I a1 Aan An .7.若 A 为对合矩阵（即 A2I），则 A一定可逆，且8.若 A 的秩为 r,则 A 的标准型为I r0。00A 1A.*A I ,且A0,则A-11 *，*)11A.9.若 AAA AA (AAA10. 设 A 是 n 阶矩阵，则 A 可逆的充要条件r(A)=n、或 A0或 AI 或 A 可以表示成一些初等矩阵的乘积。11 设(1,2,3,2), AT,其中 T 是 的转置，则A，1。0 r (A).11100- 112设 A 011, A2AB I ,则B000。00100013 如果向量组1 ,2 ,s线性无关，

3、那么它的任意一个非空部分组线性无关 ；如果1 ,2 , s中有一部分向量线性相关，那么整个向量组1,2 , s 线性相关。14. 设向量组1,2 ,3线性无关， 向量组1, 2, 3 可由向量组1, 2 , 3 线性表出，且11423,22123,3133,则向量组1,2,3线性无关。二、判断题（每小题1 分，满分 14 分）1. 若方阵 A 对任意的同阶方阵 B 都有 AB=B ，则必有 A=I 。（）2.设 Amn0, Bnp 0, 则 AB0.（）3.设A, B为 n阶方阵，则有 ( AB) 2A22AB B2.（）4.若 AB=AC ，且 A 0 ，则 B=C 。（）5. 上（下）三角

4、矩阵可逆的充要条件是它的所有主对角线上的元素都是非零数。（）6.可逆的对称矩阵的逆矩阵仍是对称矩阵。（）7.设 Tij (k) 是第三类初等矩阵，则有 Tij (k) 1Tij ( k).（）8.若 r(A)=r, 则 A 至少有一个 r-1 阶子式不等于零。（）9.AB=B 的充要条件是 A=I 。（）A 010. 对于分块矩阵 C 0 B ，必有 r(C)=r(A)+r(B).( ).11.若 A+B与 A-B均可逆，则 A ，B 一定可逆。（）12.可逆矩阵与不可逆矩阵之和必为不可逆矩阵。（）13.设向量组1, 2,3 , 4 线性无关，则组12, 23 ,34 , 41 的秩为 3.（

5、）14. 设 i(ai 1 , ai 2 , ai 3,ai 4 ,ai 5 ), i1,2,3;j(a1 j , a2 j , a3 j ),j 1,2,3.如果1,2,3线性相关，则1 ,2 ,3 线性相关。（）三、单项选择题（每小题2 分，满分 24 分）1. 下列结论正确的是（ C ）（A ）两个矩阵可相加一定可乘；(B ）两个矩阵可乘一定可相加；（ C）两个矩阵既可相加又可相乘，这两个矩阵一定是方阵；（ D ）在 M m n (F ) 中可普遍施行矩阵的加法和乘法。2以下结论正确的只有（B ）（ A ）初等矩阵的逆矩阵是本身；（ B）初等矩阵的逆矩阵是同类初等矩阵；（ C）初等矩阵的

6、乘积仍是初等矩阵；（ D ）任一个 n 阶矩阵都可以写成初等矩阵的乘积形式。3下列结论不正确的是（D ）（A ）n 阶矩阵 M 可逆的充要条件是M0 ；（B）n 阶矩阵 M 可逆的充要条件是存在可逆矩阵P 使得 MP=I ；（ C） n 阶矩阵 M 可逆的充要条件是它可以表成初等矩阵的乘积；.（）n 阶矩阵 M 可逆的充要条件是它可以表成初等矩阵的和。设，均为上的可逆矩阵，则（B）( A)( AB)A B( B)(AB) 1B 1(A 1)(C )(A B)1A 1B 1( D )(kA) 1kA 1 (k0)cossin的伴随矩阵是（ A ）矩阵sincoscossincossin（A ）s

7、incos；（B） sincos；cossincossin（C） sincos；（D ）sincos6设 A ，B 为 n 阶矩阵，且 A 可逆，秩 B=rn,且秩（ AB ）=k, 则有（ C）（A ）kr;(B) kr;(C) k=r;(D) rkn.7. 已知 n 阶方阵等于零的元素个数多于 n2 n 个（位置不论），则必有（ C）（A ）r(A)=0;(B) r(A)=n-1;(C) r(A)n;(D) r(A)可能等于 n.8. 设 A ，B 是任意 n 阶方阵，则（ D ）（A ）r(AB)=maxr(A),r(B);(B)r(AB)=minr(A),r(B);(C) r(AB)=

8、r(BA)(D)以上三个结论都不正确。9 设 3 阶方阵 A 的行列式A1, A 1为A的逆矩阵， A *为A2*（1-1的伴随矩阵，则 A） （D）- A.2.（A）0；（B） -3 ；（C）27（D ）274 ；4 ；a11a12a13a11a12a1310设3阶方阵 Aa21a22a23 , Ba31a11a32a12a33a13 ；a31a32a33a21a22a23100100P1001, P2010 ,则必有（ C）010101( A) AP1P2B,(B) AP2 P1B(C) P1P2A B(D) P2P1A B11. 设向量组1 ,2 ,3 线性无关，向量1 可由1, 2,

9、3线性表示，而21 不能由1 ,2 ,3 线性表示，则对于任意常数 k, 必有（A ）。（A） 1,2 ,3 , k12 线性无关；（B） 1,2 ,3 , k12线性相关；（C）1 ,2 ,3 ,1k 2 线性无关；（D ）1 ,2 ,3 ,1k 2 线性相关。12. 以下各向量组中线性无关的向量组为（ A ）(A) (2,-3,4,1),(5,2,7,1),(-1,-3,5,5)(B) (12,0,2),(1,1,1),(3,2,1),(4,78,16)(C) (2,3,1,4),(3,1,2,4),(0,0,0,0)(D) (1,2,-3,1),(3,6,-9,3),(3,0,7,7)四

10、、计算下列各题（每小题4 分，满分 20 分）1211011已知 A 340, B213,且2A XBT ,求矩阵 X .123104.a11a12a13解 设 Xa21a22a23由T,有.,2AXBa31a32a332a114a12- 2 a131216a218a22a23010，解得2a314a326 a331 34-1- 21X- 6- 703-1-2242 试将矩阵68 表为对称矩阵与反对称矩阵之和。解 令 B1A ）25，C10- 1，则 B，C（A58（A-A）1022为所求。1233已知 B221 , 利用初等变换求 B-1.343123100123100解2210100252

11、10343001026301100132132010335，所以B 133500121221211114 解矩阵方程25X46。1321.2510，所以2525X46解313可逆，由3211125-163- 5 462- 23可得 X41321-1221085. 求以下向量组的一个极大无关组和向量组的秩。1(1,0,1,0,1),2(0,1,0,0,0),3(1,2,3,4,5)4(4,6,4,5,4),5(6,7,8,9,10)1014601267解 将向量组组成以下矩阵 , A10348，对 A 进行初等行004591054101014601267变换，化为阶梯型矩阵为B 00101，由于

12、矩阵的初等行0001100000变换不改变矩阵的列向量的线性关系，而矩阵B 的 1，2，3，4 列向量线性无关，所以1 , 2 , 3 ,4 是所给向量组的一个极大无关组，所以其秩为 4.五、证明下列各题（本题满分21 分）1 设 A ，B 都是 n 阶矩阵，证明：若AB 可逆，则 A和B都可逆。（5 分）证明 因为 AB 可逆，所以 AB A B0A 0且B 0，所以A和B都可逆。.2 设 A ， B 为同阶反对称矩阵，证明：AB+BA为对称矩阵，AB-BA为反对称矩阵。（5 分）证明AA,BB(ABBA)BAAB(ABBA)(ABBA)B AAB(ABBA)所以 AB+BA为对称矩阵， AB-BA为反对称矩阵。3设方阵 A 适合 A33A27I0 ，证明 A 可逆。（ 5 分）证明 由A33A27I0可得（ A3I )A27I ,两边同取行列式得（A3I) A27I0A0A可逆。4. 设向量可由向量组1, 2,3 , r 线性表出，但不能由1, 2, 3,r 1 线性表出，证明r 可由1 , 2 , 3 , r 1