例说二项式定理的常见题型及解法

1、例说二项式定理的常见题型及解法二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活且比较难掌握。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。一、求二项展开式1“”型的展开式例1求的展开式；解：原式= = = 小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。2 “”型的展开式 例2求的展开式；分析：解决此题，只需要把改写

2、成的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。3二项式展开式的“逆用”例3计算；解：原式=小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。二、通项公式的应用1确定二项式中的有关元素例4已知的展开式中的系数为，常数的值为 解： 令，即依题意，得，解得2确定二项展开式的常数项例5展开式中的常数项是 解： 令，即。 所以常数项是3求单一二项式指定幂的系数例6 展开式中的系数是 ；解：= 令则，从而可以得到的系数为： ，填三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例7的展开式中，的系数等于 解：的系数是四个二项展开式中4个含的，则有 例8

3、 的展开式中，项的系数是 ； 解：在展开式中，的来源有： 第一个因式中取出，则第二个因式必出，其系数为； 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出，其系数为的系数应为：填。四、利用二项式定理的性质解题1 求中间项例9求（的展开式的中间项；解：展开式的中间项为 即：。 当为奇数时，的展开式的中间项是和；当为偶数时，的展开式的中间项是。2 求有理项例10求的展开式中有理项共有 项；解：当时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。 当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式； 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。3 求系数最大或

4、最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例11在二项式的展开式中，系数最小的项的系数是 ；解：要使项的系数最小，则必为奇数，且使为最大，由此得，从而可知最小项的系数为（2） 一般的系数最大或最小问题 例12求展开式中系数最大的项； 解：记第项系数为，设第项系数最大，则有 又，那么有 即 解得，系数最大的项为第3项和第4项。（3） 系数绝对值最大的项例13在（的展开式中，系数绝对值最大项是 ；解：求系数绝对最大问题都可以将“”型转化为型来处理，故此答案为第4项，和第5项。五、利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和 例14若， 则的值为 ； 解： 令，有， 令，有 故原式= =在用“赋值法”求值时

5、，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言：特殊值在解题过程中考虑的比较多。 例15设， 则 ；分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值。 解： =六、利用二项式定理求近似值 例16求的近似值，使误差小于； 分析：因为=，故可以用二项式定理展开计算。 解：= ， 且第3项以后的绝对值都小于， 从第3项起，以后的项都可以忽略不计。 =小结：由，当的绝对值与1相比很小且很大时，等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：。 利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目，但是按照新课标要求，对高中学生的计算能力是有一定的要求，其中比较重要的一个能力就是估算能力。所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值。七、利用二项式定理证明整除问题 例17求证：能被7整除。 证明： = = =49P+（） 又