安徽省六校教育研究会2013年高二数学素质测试试题理新人教A版

1、1安徽省六校教育研究会 2013 年高二素质测试数学（理科）本试卷分第I卷和第 II 卷（非选择题）两部分，第I卷第1 至第 2 页，第 II 卷第 3至第 5 页。全卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考生注意事项：1 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中的姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。2 答第 I 卷时，每小题选出答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上所对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3答第 II 卷时，必须使用 0.5 毫米的

2、黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔 迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡的规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。第I卷（选择题共 50 分）10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有函数f（x）=sin（2x-）在0, 上的单增区间是（2n兀冷3-,-8 24.在正项等比数列a.中，an1van,a2*a6,a4a5,则-a5=()a7一、 选择题： 本大题共 一项是符合题目要求的。1.已知集合 A=1,3 ,zi,i为虚数单位，B=4 , A

3、UB=A 则复数z=（2.A. -2i=.2”是“向量(x 2,1)与向量E =(2,2-x)共线”的(C.-4D.4A. 充分而不必要条件.必要而不充分条件C. 充分必要条件既不充分也不必要条件3.A- 083 二2则满足|PH|0)2卜+2八213.若实数 x,y 满足不等式组xy 兰1，贝U 3x1+y的最大值是 _ 14.设直线l与曲线y=x3+x+1有三个不同的交点 代B,C,且AB = BC=J5,则直线l的方程为_ 15.如图所示，正方体ABCD-ABCD的棱长为 1,E,F分别是棱AA,CC的中点，过 直线EF的平面分别与棱BB I DD交于M ,N，设BM = x,x 0,1

4、，给出以下四个命题：1平面MENF平面BDDB；12当且仅当x=-时，四边形MENF勺面积最小；23四边形MENF周长L二f(x),x0,1是单调函数;4四棱锥C；MENF的体积V =h(x)为常函数；以上命题中真 命题的序号为_。三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.16.(本小题满分 12 分)凸四边形 PABQ 中，其中 A、B 为定点，AB=3, P、Q 为动点，满足AP=PQ=QB=1.(1)写出cosA 与 cosQ的关系式；(2)设APB和厶PQB的面积分别为S和T，求S2T2的最大值，以及此时凸四边形PABQ 的面积。17.(本小题满分 12 分)小明参加完高考后， 某

5、日路过一家电子游戏室，注意到一台电子游 戏机的规则是：你可在 1,2,3,4,5,6点中选一个，押上赌注a 元。掷 3 枚骰子，如果所押的点数出现1次、2 次、3 次，那么原来的赌注仍还给你，并且你还分别可以收到赌注的1 倍、2 倍、3NAEDMA5倍的奖励。如果所押的点数不出现，那么赌注就被庄家没收。(1) 求掷 3 枚骰子，至少出现 1 枚为 1 点的概率；(2) 如果小明准备尝试一次，请你计算一下他获利的期望值，并给小明一个正确的建 议。18. (本小题满分 12 分)如图，几何体ABCD-BQD中，四边形ABCD为菱形,BAD =60：,AB =a，面B1C1D1/面ABCD,BB1、

6、CC1、DD1都垂直于面ABCD,且BB,=-、2a,E为CC1的中点，F为AB的中点(1) 求几何体ABCD - B1C1D1的体积；(2)求证：DB1E为等腰直角三角形；(3) 求二面角Br DE F的大小.19.(本小题满分 13 分)设数列 1an的前 n 项和为 Sn,且= 2an-2n1, n三N(1)求数列 a?的通项公式;n 亠 1f 1 I-，记数列一的前 n 项和为 Tn.求证:anbn(1)若点 P 的坐标为(1,2 ),求直线 AB 的方程。(2)设椭圆的左焦点为 F,请问：当点 P 运动时，戸尸人与PFB是否总是相等？若是请给出证明。21.(本小题满分 13 分)设函

7、数f x = x-1ex-kx2(其中kR).(1)当k =1时，求函数f x的单调区间和极值;(2)当k：= 0,+：时,证明函数f x在 R 上有且只有一个零点。安徽省六校教育研究会2013 年高二素质测试 数学(理科)参考答案及评分细则一、 选择题DACDB BCCCD4Tn,n二N“。(2)令bn20.(本小题满分 13 分)点与椭圆相切于 A、B 两点。P 是椭圆2 2外的任意一P 的直线 PA PB 分别6二、 填空题72 _11. 1512.2_1一 近 13. 414.y =2x 115.三、解答题16. (1)由余弦定理，在 PAB 中，PB2=PA2AB2_2 .PA.AB

8、 COSA=4 -2 3COSA，在 PQB 中，PB2= PQ2QB2-2PQQB *cosQ=2 -2cosQ。c Q = A - -S- 34CO分S/ c、1VJsin A 11(2)S PAAB*sinA,T PQ *QBsinQsinQ.2 2 2 22232123212所以 S T sin A sin Q(1-cos A) (1cos Q)44443csA3COSA - (cosA -2242当COSA寻时，s2干有最大值7.此时，仏二宁.分517.(1)P=1-67515小1小12 5,、17所以Ea2a3a(a)a.-1216 216 216 216 216分18.（1）V十

9、孚辰一字“辰二5334- A2=32C2COSQO,S916 6 216设小明获利元， 则的可能取值为 a , 2 a, 3 a ,-1 52_6 6 216P( =a)=3P(- -a)二X：a.7521612521615216,7 7 - - 8 8+8(2)连接BD，交AC于0,因为四边形ABCD为菱形，.BAD =60，所以BD =aCC1都垂直于面ABCD ,.BB1/ CC1，又面B1C1D1/ 面ABCD,BCC1B1为平行四边形，则BJG二BC二a因为BB,、CC1、DD1都垂直于面ABCD,贝U(3)取DBi的中点H，因为O,H分别为DB, DBi的中点，所以OH/BBi以O

10、A,OB, OH分别为x, y, z轴建立坐标系，则a3c、2a3 aD(0, 2), E(pa,0,亍),朶応卡屮丁答,)所以E =(a,a，上2a), DF2 2 2:CG _平面 ABCD, CG _ DF,:F 为 AB 的中点，.DF_DC, DF _ 平面 DiDCCi, DF _ DE. 由 EBi丄DE,DF 丄 DE 知二面角 B,-DE-F 的大小为EB, DF a .3232a2a202因为cos：EBi,DF =8 82,所以二面角 B-DE-F 的大小为 45。V6V32a a2 2-i2i9.(i)因为BB1、所以四边形DRf：DB2BR2= ,a22a2：3aDE

11、 DC2CE2=2a26aaBE-BCj GE2a226a所以2 2DE BiE二6a26a22 2=3a =DBi4所以DBiE为等腰直角三角形CiEC分9由Si=2ai-2i i得ai=4.10Sn=2an-2n 1,Sn丄=2 可丄-2“(n _ 2)相减得 a. =2an-2a.-2n即由a. -2 可少，J. 2 是以1 为公差的等差数列。：冷=2,冷=2+ (n 一 1) = n 1, a. =(n 1)2n,nN .2 2- 6分(2)124当 n=1 时，T1=.1334综上，Tn.3- 13分20.(1)设点 A 的坐标为(X1,y1),则过点 A 的切线方程为 仝，生=1。

12、43:点 P 在切线上，.* 2上=1 同理，生纽=1.4343故直线 AB 方程为 y =1.-5分43(2 当点 P 运动时， PFA与.PFB总是相等的。F(-1 , 0)。设点 P 的坐标为(m,n),则由(1)知，酗型=1。ny 乜仆-空).4341 T T；AF, =2+3I,FA FP =(x,+1, yj (m+1,n)=(m 1)(x11) ny1=(m 1)(x11)+3(m1)4(m 4)( Xi4)54bn=2n丄,Tn=丄1.2nE b2bn磐)2(2心-点),* 轧. 召占(n2).22 -bn2bnl111 )Tn,bn6 21当 n_2 时，Tn -b24d 3

13、11+ +.+ b2bn丄丄(-丄b 2 d11-1，极小值为-(In 2)22In 2 - 2。-6分(2)f x =exx -1 ex-2kx 二 xex- 2kx = x ex- 2k,当 x1 时，f(x)0,所以 f(x)在-:：,1上无零点。故只需证明函数f x在1,+：上有且只有一个零点。若0,|，则当 x_1 时,f1(x0, f(x )在1,+：上单增。ff (1) = k乞0, f (2) =e24k _e22e 0. f(x)在 1,+：上有且只有一个零点。若k (e,=)，则f(x)在 1,ln 2k 上单减，(In2k,匸：)上单增。2f(1) - -k : 0, f (k 1)=kek1k(k 1)2=k(ek 1(k 1)2),令 g(t)二 d t2,t =k 1 2,则 g1(tHe2t,g11(tHe2.:t 2rg11(t) 0,g1(t)在 9,= 上单增。 g1(tg1(2)二 e2-4 0,. g(t)在2,上单增，g(t) _g(2)= e2-4 0. .f(k 1) 0 f (x)在 1,+ ：上有且只有一个零点。综上，f (x)在 R 上有且只有一个零点。- 13分1N(m+4)(Xi+4)卄 4.COS. PFA