电动力学郭硕鸿第三版第2次课(附录2).

1、复习:grad”吩譬冬+訴+警zdivf =+dx dy dzrotf = Vx/ =一 6 一 Q _ 6、 e + £ + £ x dx y dy Z dzdf )7dz dx7f e +f e e x x J y y J z z)(叭 df )+ y %dx dy 丿3. 关于散度和旋度的一些定理(1 )标量场的梯度必为无旋场Vx = 0令 f = (p (><“)严(*丸=鲁一辛dd4丿dzS丿同理可证其他分量也为o,因此Vx = 0(2) 矢量场的旋度必为无源场V-(Vx/) = Ov-vx/&丿 dydzdx J 比 I dr旺、=oVxVO

2、 V-(Vxf)=O(3) 无旋场必可表示为标量场的梯度Vxf = 07 =(4) 无源场必可表示为另一矢量的旋度V-7 = 07 = VxA4. 算符运算公式注意！ -微分算符，矢量性质，次序(1)Sy/) = 1/V0+9066 6(卩0)= ex (00) + eY (*0)+(“0)dxdy、dz=耳（0亍+一 z dcp6屮、一 z d(p+ 务(0 + 0=)+ 冬(0+ 0 dydyoz d(p 一 8(p 一 6(p、 /一 dy/ 一 dy/ 一冻+5石+冬石)+。莎匕莎+=y77 q)+ q y/(2) (") = ".尸 + "/(3) Vx

3、(/>7) = </>Vx7 + V<7>x/(4)V.(x/) = /.(Vxi)-i.(Vx/)V-(gx7) = (V-+Vp.(ix7) = Vr(gx7) + V7.(ix7) 根据常矢运算法则a-(bxc) = b - (cxa) = c-(axb)Vr(ix/) = /.(V,xi) = /.(Vxi)vr(ix7)= -v.(7xi)= -i.(v7x7)= -g.(vx7) （厂/）= /（*£）一巨（*7）例题三：已知 A =乙(兀_x) + 0v(y_y ) + 0,z_Z )R= R求：矢量 D =在RT)处的旋度。RrotD =

4、 Vx -/?3一 1 1Vx/? + V x/? = V x/?/?3尺 33=-7RR41 一/?31f- V3示7_ 6R 一 6R 一 dR eF eF e v 6x y Qy z Qz ) X (<T>7)=诃 X F + V<z>x f鑒=舟(7U-x)2+(y-y)2+(z-z)2):.rotD = 0(5) Vx(/xf) = (i-V)/ + (V Vx(/xf) = (V7+V-)x(/xf)= V7x(7xi)4-V-x(7xg)根据常矢运算法则：cix(b xc) = (a c)b -(a-b)cVx(7xg) = -Vyx(ix7) + V_x

5、(7xi)= -(vr7)i+(-v7)7+(v_.)7-(7.v_)= -(v-7)+(5-v)7+(v. ?)/-(/. v)i(6) V(7.g) = 7x(Vxg) +(7.V)+gx(Vx/) + (g.V)7 cix(b xc) = (ci c)b (ci b)cv7x(Vx) = 7x(V,x) = V,(7-i)-(7-V,)gix(vx7)= ix(v7x7)= v7(i.7)-(i.vp7."© + "/)= (/ + ? )(/£) = (/£)V(/-i) = 7x(Vxi) + (7.Vp4-ix(Vx/)4-(i.V

6、7)/= 7x(Vxi) + (7.V)i + ix(Vx/) + (i.V)7(7)V-V(/? = VV(企+企+企(Or dy dz )dx=v>=v>d2(p d2(p 52(p t t t dx dy dz_ Q2罗q2dx1dy dz2=v> Vx(Vx/) = V(Vj)-V2/ax(bxc) = (ac)b-(ab)cVx(Vx/) = V(V./)-(V.V)7_ a2 a2 a2 一乔+看+芦=v2/.Vx(Vx/) = V(Vj)-V7ABBA5并矢和张量为什么引入并矢？如f对截面的拉伸:nn即为并矢一般，两矢量并列即为并矢AB并矢：两矢量并列，不做任何

7、运算，有9个分量AB AiBee + AB2ee2 + 4302 巨 1 + %爲02 巨2 +巨2 巨3+ 人31幺3*1 + 人32*3*2 + 人33*3*3A %导2B并矢是张量的一种特殊情形34022Al T、2 £3张量是具有9个分量的物理量t；i Ty T23当这9个分量在坐标系转动下按一定方式变换时，由它们组成的物理量就称为张量。AB = AB| 吕 0 + A B2ee2 + 舛坊巨咼+ A2Be2e + A2B2e2e2 + A2B3e2e3+ ABe3e + A3B2e3e2 + A3B3e3e3用张量的形 式可以写为可以作为张量的9个基。单位张量1 一一 1

8、一 -三个对角分量为1, I e& + e2e2 + e3e3 其它分量为0。是在这9个基上的分量(2)张量的代数运算并矢与矢量的点乘规则:(AB)C = A(BC) C(AB) = (CA)B 并矢与矢量的点乘是一个矢量。一般而言(4永)C丰C(AB)两并矢的双点乘：两两缩并(AB):(Cr>) =(BC)(AD)张量和矢量的点乘二工Ti苻j工用ij=召 TiJiEQji = S ulu了 亍囘乞T启可U如硝佔苧2禹、A2 B筋 A2 B2e2e2 A2 Bye2e34砸禹A厲孕2 A/W“D/Z + ABJW + ABJ、A" J石+ A出+ A出J歪 、A/J正

9、+ AyBJ2e, + ABJG > AV. + A + AZ.) ' (ABJ、+ A2B2f2 + ABJJ 玉J A/ + A.BJ2 + AyBJ.)e. y单位张量和任意矢量 的点乘等于该矢量'A肿(/禹厶右)局爲Im亭=(Al/l + 生坊了2 + 人3“1 厶)N (&BJ + A2B2f2 + 3 2 3 )2 ( AQJl + 生2 +)3 )（3）张量分析 C)=(v-7> + (7-v>J = N 耳+N加NN翌耳+丝乙+也巨 弘 聲"dlz dlr = dr 叫=厂Q0 Slz = dz关于张量和并矢有积分变换式亦亍=

10、Jdw亍ds() = Jdvv()6 曲线正交坐标系a）柱坐标系 坐标变量：厂（p z看标量场0在（几卩,：）点的梯度wy讐+叮詈+弓詈=>弋2+詐2+0上r dr © 厂切 z dzV = er e.）- + e_ dr r d（f） ' dz月二丄f （以,.）+丄£r orr o（pH-dz1氛r d（/）学）耳+（讐gc乙丄?（MJ丄寻 r orr o（pb）球坐标系 坐标变量：0为常数平面y卩为常数平面r为常 数平而/ V、 11、 1、 、 、 、0看标量场0 在（八件二）点的梯度 0 = “总+2&爲+化咼X=厂sin储0=包住翌刃4 弘

11、 0'dcp rsin<9 d(/)6l（）= rd3歼耳包+詐虫+7 dr r d6Wy住+況空览丄虫 dr r dO "r sin 0 3。V7_0 一 18_1 dy = F F Jdr r 53r sin 0 8(/)-10°1d1 dA.V-A = (r2A.) +(sin%) +r drrsin d3rsinO d(f)Vx A =-r sin 0 d0a (si叫)-导C(P1 dAr d .'如de(rAJ eer |_sin& Q0 dr 2 I d z 2 S(px 1 C / .八加、1 d2(p_0 = o(厂 )H(s

12、in B ) H y厂 dr dr 广 sin 3 d0d3 厂 sirT 0 6(jrdr7.轴对称情形下拉普拉斯方程的通解v> = 0用球坐标表示21 3 z 卫屮、 1 d z . c©屮、1 d2y/=0 P = p丁 (厂"-)+ 2 三花2 2 17 厂 dr dr 广 sin 0 83d0 厂 sirr 6 6(/r在轴对称情形下dr or ) sin & dO设0(厂,&)=/?(厂归(&)1 d ( 2厂R dr dR1d (.八 d)dr) ®sin0d0l d0)令丄2Rdr(.dR厂=(dr)OsinO(10则

13、得:dR、n(n +1)/? = 0dd0sin。d©>d0丿+ n(n + l)sin09 = 0容易求出解R = anrn +hnn+an, bn为任意常数/sin&d&l d&丿dG)+ /2(n + l)sin 他=0作代换 ： = cos&上式称为勒让德方程，只有当斤为整数时才存在-1<<1区 间的有限解，其解称为勒让德多项式，记为)(&) = Pn (cos &)00得通解 0（厂，&）=工Pn (COS。)用简单方法求出Pn（cos0）的显示式。当孕）时点电荷电势为拉普拉斯方程的解。将下式描述的电

14、势代入即可验证y/ = -r对拉普拉斯方程作用算符±dzAvV = v2 = odzdz若屮为一解 亦为一解 °一 ©亦为解因此，拉普拉斯方程具有特解三=- cos&,r厂3ZJ =占（3曲&_1）这些特解都具有形式*rC（cos&）000（厂,&）=工71=0亿（COS&）p”（cos &） r比较上两式并按习惯定义所选的常数因子，得E(COS&)= 1(cos 0)= COS0P>(cos) = (3cos2 -1)鬥(cos&) = (5 cos2 &-3cos&)可以证明

15、Pn(cos0)的一般襄达式为P,(cos6>)=1 d25! （cos&）"总结本节课的重点内容1柱坐标系_ « 5_ 1 C _ 8V = erF 匕F e7 dr 厂 Q0 ' dz_ 6（p1 d（p6（p （p ere.F 匕r drrd（/）z dz71°/ 八 1 CA© dA. A =（rA ）1-r drr d（/） dz-/10A.曲S4,. SA.X 人=（一工一-）®+（h 寸）£ +r o（pdzdz（?rr 1 d z 6cp、1 d2（p d2cpS=（厂-） + = £ + £r dr dr 广 d（/） dz22球坐标系口_61。1 Sr dr 0 r d0 rsinO d（/）_ 6（p_ 6（p_1 dcp （p 0F enF c.dr r d0 r sin 0 d（/）-10°1 d1 dA.= （r2A.） +（sin&4J+LVx A =-rsin0 dOa （sin%） 孕o（p1 dAr d .'5LI 。,人、°4（叫）+;乔（）-丽广 d