浙江大学99研究生数学分析试题

1、浙江大学1999年研究生数学分析试题一 求极限二 在平面上求一点，使它到三条直线及的距离平方和最小三 计算二重积分，其中由曲线 所围城的区域四 设在时连续，并且，试求函数五 设函数连续，若有数列使，则对A，B之间的任意数，可找到数列，使得六 设，证明不等式七 设函数在，试证明：并利用上述等式证明下式 八 从调和级数中去掉所有在分母的十进表示中含数码9的项，证明由此所得余下的级数必定是收敛的浙江大学2000年研究生数学分析试题一（共10分）(1)求极限 (2)设二（共10分）1设2在上连续，在内存在，试证明存在，使得三（共15分）1求数项级数的和2试证明在上的连续函数四（共15分）1设方程组，确

2、定了可微函数，试求2设，求五（共30分）1计算定积分2求以曲面为顶，以平面为底，以柱面为侧面的曲顶柱体的体积3设表示半球面的上侧，求第二类曲面积分六（共20分）1将函数 展开成级数2求级数的和 3计算广义积分浙江大学2000年研究生数学分析试题一（共10分）(1)求极限 解：原式=(2)设解：，这可以构造成为一个压缩映象，则数列收敛，以下求解就按照这个数列来进行即可。二（共10分）1设证： 2在上连续，在内存在，试证明存在，使得分析：考虑函数即可三（共15分）1求数项级数的和分析：S=2S-S2试证明在上的连续函数四（共15分）设方程组，确定了可微函数，试求分析：用隐函数组的方法求解；设，求分

3、析：五（共30分）计算定积分分析：令t=cosx，I=0。求以曲面为顶，以平面为底，以柱面为侧面的曲顶柱体的体积分析：，其中，D=(x,y)| .设表示半球面的上侧，求第二类曲面积分分析：使用高斯公式，则J=.六（共20分）1将函数 展开成级数分析：直接使用的定义公式；级数的和 分析：使用幂函数中的公式求解；计算广义积分分析：原式=+=+浙 江 大 学二二年攻读硕士研究生入学考试试题一、（共30）（A）（10）用“语言”证明；（B）（10）给出一个一元函数，在有理点都不连续，在无理点都连续，并证明之；（C）（10）设为二元函数，在附近有定义，试讨论“在处可微”与“在附近关于、的偏导数都存在”之

4、间的关系，必要时，请给出反例。二、（共30）（A）（5）设，数列由如下递推公式定义：，求证：。（B）（5）求。（C）（5）求，（当时）。（D）（5）求不定积分。（E）（5）证明：在上连续可微。三、（共20）（A）（10）求第一型曲面积分，其中。（B）（10）设、为三个实数，证明：方程的根不超过三个。四、（共20）设，求证：（A）（10）对任意自然数，方程在内有且仅有一个正根；（B）（10）设是的根，则。浙江大学2003年研究生数学分析试题1（15分）叙述数列的柯西（Cauchy）收敛原理，并证明之。2（15分）设在上一致连续，在上连续，且。证明：在上一致连续。3（15分）设在上有二阶连续导数，

5、且，当时。证明：在内，方程有且只有一个实根。4（20分）设连续，且（常数），求，并讨论在处的连续性。5（10分）定义为，证明：。6（10分）给出Riemann积分的定义，并确定实数的范围使下列极限收敛。7（20分）证明：1） 函数项级数在上一致收敛，但是对任意非绝对收敛；2） 函数项级数对任意都绝对收敛，但在上非一致收敛。 8（45分）计算 1）（15分）； 2）（15分），其中为平面曲线所围成的有界闭区域。 3）（15分），其中2003年浙江大学数学分析试题答案一、当时，证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列，所以，二 、当时，当时，对上述当时，且当时，由闭区间上的连续函数一定一致

6、收敛，所以时，当时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在 时，取即可。三、由得所以递减，又，所以，且，所以必有零点，又递减，所以有且仅有一个零点。四、，在连续。五、当时，不妨设，=当时，=六、J是实数，当时，当时，当时，该积分收敛。七、有界，在上单调一致趋于零，由狄利克雷判别法知，在上一致收敛，与同敛散，所以发散；当时，绝对收敛，当时，绝对收敛；，所以不一致收敛八、1. ，当时，2. ,3.J=浙 江 大 学二四年攻读硕士研究生入学考试试题 一（15分）设函数在区间上有定义。试证明：在上一致连续的充要条件是对区间上任意的两数列与，当时，有。二（15分）设函数在区间内具有直到三阶的连续导数，且，

7、。试证明：绝对收敛。三（15分）设函数在区间上可微，且在点的左导数，在点的右导数，。证明：在内至少有两个零点。四.（15分）设函数在区间上Riemann可积，且。试证明：存在闭区间使得当时，。五.（15分） 证明：若一族开区间覆盖了闭区间，则必存在一正数，使得中任何两点满足时，必属于某个开区间。六.（15分）用球面坐标变换方程七.（10分）计算：。八.（15分）求在条件下的最大最小值，其中。九（15分）利用公式计算积分的值。（说明计算过程中每一步的合理性） 十（20分）（1）设为中光滑区域，为其边界，在上有连续二阶导数。证明： 其中为沿边界外法线方向的导数，为边界上的面积元，。 （2）的坐标为

8、，函数 证明：在上成立。 （3）设是以为中心为半径的球，为其边界。若在上满足，则。浙江大学2005数学分析计算定积分：解：假设f(x)在0,1Rieman可积，求解：利用可积的定义和Taylor展开作设a,b,c是实数，b>-1,c0,试确定a,b,c，使得解：不断利用LHospital法则f(x)在a,b上连续，对于，求证：证明：利用实数系的几个定理就可以了5(1)设f(x)在a,+上连续，且收敛，证明：存在数列，使得满足，(2) 设f(x)在a,+上连续，f(x)0,且收敛，问：是否必有，为什么？证明：（1）此题也可以用反证法来解决，也非常简单。（2）不是，构造一个锯齿形的函数设f(

9、x)在0,+具有二阶连续导数，且已知和都是有限数，求证：证明：根据Taylor展开：由题1的结论：7设f(x)在任何有限区间上Rieman可积，且收敛，证明：证明：分成两段，然后把它化成级数来考虑，做的有点麻烦。8（1）将arctan x展开为幂级数，并求他的收敛半径（2）利用（1）证明：利用（2）的公式，近似计算的值，需要用多少项求和，误差不会超过？解：（1）（2）将x=1代入（3）利用Taylor展开的余项9设U(x,y)是R2/0,0上C2径向函数，即存在一元函数f，u(x,y)=f(r),r=，若满足如下的方程：，求f满足的方程及函数u(x,y)解：我对复变函数学的不多，只能看出u(x,y)应该是调和函数，应该可以找到一个共轭的调和函数，然后接下来是不是可以继续作我就不是很了解了。10（1）设f是R1的C1，周期为L的函数（L>0）。且,l利用f的Fourior级数展开证明：，当且仅当存在常数，使得（2）设是R2上具有C1光滑的连通区域。设是的面积，则其中（3）同上，是的边界长度，利用（1）（2）证明：，当且仅当时圆盘等号成立。证明：（1）（2）（3）本题的证明是从陈纪修老师的数学分析（下册）P.432的定理16.3.7找到的我觉得这道题目的难点是把l2表达出来，开始，我直接用了极坐标的方法来做，结果在一个不等号出出现了问