双曲线复习学案 人教B版

1、.双曲线复习学案 2012-3-13【自主学习】考点集结1、 双曲线的定义：平面内到两个定点F1，F2的距离之 等于常数 ( )的点的集合叫作双曲线，这两个定点F1，F2叫作双曲线的 ，焦点F1，F2间的距离叫做双曲线的 2、 双曲线的标准方程及其几何意义图形方程顶点范围对称性离心率渐近线【基础训练】1、实轴长是2a的双曲线，其焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线同一支于A、B两点，若|AB|=m，则ABF2的周长是：（ ） A、4a B、4am C、4a+2m D、4a2m2、已知方程表示双曲线，k的取值范围是 （ ） A.-1<k<1 B.k>0 C.k0 D.k>

2、;1或k<-13.若双曲线的一个焦点为（2，0），则它的离心率为（ ）A. B. C. D.24.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于 （ ）A.- B.-4 C.4 D.5.双曲线（a>0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为 。6. 过点（7，6）与（2，3）的双曲线标准方程为 【典型例题】题型一：双曲线的标准方程例1、（1）顶点间距离为6，渐近线方程为求此双曲线方程。（2）求与双曲线共焦点，且过的双曲线方程；小结：题型二：双曲线的几何性质例2、（1）已知F1、F2分别是双曲线 =1（a>0,b>0）的左、右两焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在第

3、一象限交双曲线于点P，若PF1F2=30°，求双曲线的渐近线方程（2）已知双曲线的渐近线方程为，求双曲线的离心率。小结：题型三：双曲线中的焦点三角形例3、设是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且，求的面积。小结：题型四：综合应用例4、 已知双曲线的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为（1）求双曲线的方程；（2）直线与该双曲线交于不同的两点C、D，且C、D两点都在A为圆心的同一圆上，求m的取值范围；（3）求过双曲线左焦点F1，倾斜角为的直线被双曲线所截得的弦长小结：【巩固训练】1、双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 2、（2009安徽卷理）下列曲

4、线中离心率为的是（ ） . . . . 3、(2008海南、宁夏文)双曲线的焦距为（ ）A. 3B. 4C. 3D. 44、设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）ABCD5、已知双曲线的离心率是。则 【深化提高】1、“ab<0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的： A、必要条件但不是充分条件 B、充分条件但不是必要条件 C、充分必要条件 D、既不是充分条件，又不是必要条件2、(2011山东)已知双曲线的两条渐近线均和圆C:相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为A、 B、 C、 D、 3、(2011全国)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一

5、条对称轴垂直，l与C交于 A,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为A、 B、 C、2 D、34、(2008辽宁文) 已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则( ) A1 B2 C3 D45、(07安徽理9) 如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A、 B、 C、 D、 6、(2008重庆文)若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为 ( )A、2 B、3 C、4 D、4 7、（2011届·山东调研）方程表示焦点在y轴上的双曲线，则其半焦距c的取值范围是 （ ） A.（，+

6、） B. C.（，） D.8、双曲线的离心率为 .9、已知圆C：x2+y2-6x-4y+8=0.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 .10、过双曲线的一个焦点的直线交双曲线所得的弦长为2a，若这样的直线有且仅有两条，则离心率为 11、设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若点P在双曲线上，且=0，则|等于 .12、（1）已知双曲线的渐近线方程为y=±x,焦距为10，求双曲线方程.（2）设椭圆与双曲线有公共焦点，它们的离心率之和为2，若椭圆方程为25x2+9y2=225，求双曲线方程。1.过已知点A(0,1)且与抛物线y 2 =2x只

7、有一个公共点的直线有（ ）条A. 1 B. 2 C. 3 D. 46斜率为2的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，则 。7抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在上，则C的方程是 。8抛物线上的两点到焦点的距离和是5，则线段的中点到轴的距离是 。例3 设A、B为抛物线上的点,且(O为原点),则直线AB必过的定点坐标为_.【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置解析设直线OA方程为,由解出A点坐标为解出B点坐标为，直线AB方程为,令得，直线AB必过的定点已知抛物线C的一个焦点为F（，0），对应于这个焦点的准线方程为x=-.（1）写出抛物线C的方程；（2）过F点的直线与曲线C交于A、B两点

8、，O点为坐标原点，求AOB重心G的轨迹方程；（3）点P是抛物线C上的动点，过点P作圆（x-3）2+y2=2的切线，切点分别是M，N.当P点在何处时，|MN|的值最小？求出|MN|的最小值.解：（1）抛物线方程为：y2=2x. （4分）（2）当直线不垂直于x轴时，设方程为y=k(x-)，代入y2=2x，得：k2x2-(k2+2)x+.设A（x1，y1），B(x2，y2)，则x1+x2=，y1+y2=k(x1+x2-1)=.设AOB的重心为G（x，y）则，消去k得y2=为所求， （6分）当直线垂直于x轴时，A（，1），B（，-1）， （8分）AOB的重心G（，0）也满足上述方程.综合得，所求的轨迹

9、方程为y2=， （9分）（3）设已知圆的圆心为Q（3，0），半径r=，根据圆的性质有：|MN|=2. （11分）当|PQ|2最小时，|MN|取最小值，设P点坐标为(x0，y0)，则y=2x0.|PQ|2=（x0-3）2+ y= x-4x0+9=(x0-2)2+5，当x0=2，y0=±2时，|PQ|2取最小值5，故当P点坐标为（2，±2）时，|MN|取最小值. 48、解：（1）由已知，直线的方程为，其中 由得 ， ， 又， 而， （2）由（1）知，=，9.（2010·福建高考文科·9）已知抛物线C：过点A （1 , -2）.（I）求抛物线C 的方程，并求其

10、准线方程；（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由.【命题立意】本题考查直线、抛物线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数方程思想、数形结合思想、化归转化思想、分类与整合思想. 【思路点拨】第一步用待定系数法求出抛物线方程及其准线方程；第二步依题意假设直线l的方程为，联立直线与抛物线的方程，利用判别式限制参数t的范围，再由直线OA与直线l的距离等于列出方程，求解出t的值，注意判别式对参数t的限制. 【规范解答】（I）将代入，得，故所求的抛物线方程为，其准线方程为；（II）

11、假设存在符合题意的直线，其方程为，由得，因为直线与抛物线C有公共点，所以，解得。另一方面，由直线OA与直线的距离等于可得，由于，所以符合题意的直线存在，其方程为.【方法技巧】在求解直线与圆锥曲线的位置关系中的相交弦问题时，我们一定要注意判别式的限制.因为抛物与直线有交点，注意应用进行验证可避免增根也可以用来限制参数的范围.题号456789108910答案ADABCBACCC5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且，求此抛物线的方程解析 设点是点在准线上的射影，则，由勾股定理知，点A的横坐标为，代入方程得或4，抛物线的方程或设F1、F2分别是双曲

12、线的左、右焦点，若点P在双曲线上，且=0，则|等于 .解析：因为=0，所以PF1F2为直角三角形，所以=40,所以.答案：2、“ab<0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的： A、必要条件但不是充分条件 B、充分条件但不是必要条件 C、充分必要条件 D、既不是充分条件，又不是必要条件5. （2011届·山东调研）方程表示焦点在y轴上的双曲线，则其半焦距c的取值范围是 （ ）A.（，+） B.C.（，） D.1. (2011年高考山东卷理科8)已知双曲线的两条渐近线均和圆C:相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为(A) (B) (C) (D) (2011年高

13、考全国新课标卷理科7)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于 A,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（A） （B） （C）2 （D）310.已知圆C：x2+y2-6x-4y+8=0.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 .解析：令y=0，则方程变为x2-6x+8=0,所以x=2或x=4,所以圆与x轴的两个交点为（2，0）和（4，0）.以（4，0）为双曲线的右焦点，以（2，0）为双曲线的右顶点,所以a=2,c=4,b2=12,则满足此条件的双曲线的标准方程为：.答案：4. 过双曲线的一个焦点的直线交双曲线所得的弦

14、长为2a，若这样的直线有且仅有两条，则离心率为 11.（14分）已知双曲线的渐近线方程为y=±x,焦距为10，求双曲线方程.（1）设椭圆与双曲线有公共焦点，它们的离心率之和为2，若椭圆方程为25x2+9y2=225，求双曲线方程。53（06山东文7）在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为54.(07安徽理9) 如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D） 双曲线的离心率为 .解析：因为a2=8,b2=4，所以c2=a2+b2=12.所以.例

15、6 已知双曲线的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为（1）求双曲线的方程；（2）直线与该双曲线交于不同的两点C、D，且C、D两点都在A为圆心的同一圆上，求m的取值范围；（3）求过双曲线左焦点F1，倾斜角为的直线被双曲线所截得的弦长解：（1）由题设，得解得双曲线的方程为（2）把直线方程代入双曲线方程，并整理得：直线与双曲线交于不同两点设为C，则，设CD中点为，则，依题意，APCD，=，整理得：，将式代入式得，或又，即m的取值范围为或（3）由（1）知过F1的直线方程是，与联立消去y，得弦长(2008重庆文)若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为 (C )(

16、A)2 (B)3(C)4 (D)4 1、实轴长是2a的双曲线，其焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线同一支于A、B两点，若|AB|=m，则ABF2的周长是：（ ） A、4a B、4am C、4a+2m D、4a2m2、已知方程表示双曲线，则k的取值范围是 （ ）A.-1<k<1 B.k>0C.k0 D.k>1或k<-1解析：由题意知(1+k)(1-k)>0,解得-1<k<1.答案：A3.若双曲线的一个焦点为（2，0），则它的离心率为（ ）A. B. C. D.2解析：a2+1=4,故a=3,故e=.答案：C4.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实

17、轴长的2倍，则m等于 （ ）A.- B.-4 C.4 D.1.设a0,aR，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为 .答案 2.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为 .答案 43.抛物线y2=24ax(a0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为 .答案 y2=8x例1 已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为 【解题思路】将点P到焦点的距离转化为点P到准线的距离解析过点P作准线的垂线交准线于点R，由抛物线的定义知，当P点为抛物线与垂线的交点时，取得最小值，最小值为点Q到准线的距离 ,因准

18、线方程为x=-1,故最小值为3【名师指引】灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关【新题导练】1.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、成等差数列， 则有 （）A B C D. 解析C 由抛物线定义，即： 2. 已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时, M点坐标是 ( )A. B. C. D. 解析 设M到准线的距离为,则，当最小时，M点坐标是，选C考点2 抛物线的标准方程题型:求抛物线的标准方程例2 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线上【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论.解析 (1)设所求的抛物线的方程为或, 过点(-3,2) 抛物线方程为或,前者的准线方程是后者的准线方程为 (2)令得，令得， 抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时, ，此时抛物线方程;焦点为(0,-2)时 ，此时抛物线方程. 所求抛物线方程为或,对应的准线方程分别是.【名师指引】对开口方向要特别小心，考虑问题要全面【