浙江省22高等数学B试卷及答案

1、2007年浙江省普通高校“2 + 2”联考 高等数学 试卷和答案1 2 . 3 . 级数 的和是 4. 微分方程 的解是 5. 已知三阶矩阵 A 的特征值为 1 , 2 , 3 ； E 为三阶单位矩阵 , 则 =6. 有两个箱子, 第一个箱子中有3个新球, 2个旧球, 第二个箱子中有4个新球, 5个旧球, 现从第一个箱子中随机地取出一个球放到第二个箱子中, 再从第二个箱子中取出一个球, 若已知从第二个箱子中取出的球是新球, 则从第一个箱子中取出的是新球的概率为.得分阅卷人二选择题. 6*41函数 有 ( ) 条渐近线 . （A） 0 ； （B） 1 ； （C） 2 ； （D） 3 .2. 下列

2、级数中 ，（ ）是条件收敛级数 .（A） （B） （C） （D） .3设函数 在 0 ，1 上可导。从定性上看，下列三个图像按 ( ) 中的排序，依次分别是 、 和 的函数图像 .（A） ； （B） ；（C） ； （D） .4. 设 n 维行向量 , 矩阵 A = E + 2 , B = E , 其中 E 为 n 阶单位阵 , 则 A B = ( ) .（A）. O （B） E （C） （D） 5. 设 A B 是两个随机事件,且 0 < P ( A ) < 1 , P ( B ) > 0 , P () = P () , 必有（A） P ( A) = P () （B） P (

3、 A B ) = P ( A ) P ( B ) （C） P ( A ) = P ( B ) （D） P ( A B ) = 6. 设随机变量 X 的概率密度为对 X 独立地重复观察4次, 用 Y 表示观察值大于 的次数, 则P ( Y = 2 ) =（A） （B） （C） （D） 0 0 ln3 /2 y=x2-x+1 576 15/23 DCDBBD 三计算题 8*8得分阅卷人1 设当 时， ， 求常数 之值 . 解： 2 分 5 分 7 分 8 分2已知 ， 求 （1） ；（2） 在点 处是否连续 ？为什么 ？. 解：（1） 3 分 5 分 （2） ， 7 分 在点 处连续 . 8 分3

4、. 设 是由方程 所确定的二元函数 ；（1） 该二元函数有无极值？如有，求出极值点 ；如无 ，说明理由 .（2） 在约束条件 下，该函数是否还有极值？如有，求出极值点 ；如无 ，说明理由 .解：（1） 1 分 2 分 3 分 4 分 （2） 5 分 6 分 7 分 8 分4设函数 为连续函数. 对于任意实数，如果总成立 ，其中 为直角坐标系 中直线 和 所围的封闭区域 ； 求 的函数解析表达式 . 解： 2 分 4 分 5 分 6 分 7 分 8 分5. 设 A = , 矩阵 B 满足 B A* = A + 2 B , 其中 A* 是 A 的伴随矩阵 , 求B . 解： 2分右乘A： 4分B=

5、 8分6. 设矩阵A = ， 求常数 k 及可逆阵P ，使 PAP 为对角阵 。解： 3分当时， 5分当时，当k=0时， 7分 ， ， 8分7. 设连续型随机变量 X 的分布函数为其中 > 0 . 求(1) A 和 B ; (2) 概率密度 ; (3) >0 .解：（1） A = ，B = 4分（2） 6分 （3）P（X>0）= 8分8. 如果随机向量 的联合概率分布为 YX 1 2 3 1 1/6 1/91/18 2 1/3 若 X 与 Y 独立, 求 （1）、 ; （2）X 与 Y 的边缘分布；（3）X + Y的分布 解：(1) 4分(2) X的边缘分布为X1 2P1/3

6、 2/3Y的边缘分布为Y1 2 3P1/2 1/3 1/6 6分 (3) X+Y的概率分布X+Y2 3 4 5P1/6 4/9 5/18 1/98分得分阅卷人四应用题： 3*91试利用微分学方法 ，根据常数 的各种不同取值 ， 讨论曲线 与曲线 的交点个数情况 .解：讨论 零点的个数 1 分 2 分 3 分为极大值点 4 分 为极小值点 5 分 6 分当 或者 时只有一个交点； 7 分当 或者 时，有两个交点； 8 分当 时，有三个交点 9 分2. 问 为何值时方程组有唯一解, 无解, 有无穷多解 ? 在有无穷多解的情况下, 用基础解系表示其通解 .解： 3分1时,有唯一解;时,无解;时,有无

7、穷多解. 6分当时, 基础解系为 (1,1,0),通解为 , c为任意常数 . 9分3. 某商店以每千克200元的价格从生产厂家购进 y 千克某产品，并以每千克 260 元的价格在市场上销售。规定一周内商店售不完的产品将作为再生原料由厂家回收进行处理，回收价格为每千克180元。假定该产品每周的市场需求量 X 是服从区间 10 ，30 上均匀分布的随机变量，试确定商店的周进货量 y ，使商店获利的期望值最大。解：设每周获利为， = 2分 7分 9分五证明题： （6+5）1设函数 是 上连续函数, ；试证：必至少存在一点 ，使得 .证明 ： ； 2 分 则 3 分 4 分 由微分中值定理 5 分

8、6 分2. 设 A 是 n ( n 2 ) 阶方阵且 A 的元素全都是 1 , E 是 n 阶单位阵, 证明： .证：令 ， 2分 5分2008年浙江省普通高校“2 + 2”联考 高等数学 试卷和答案得分阅卷人一、填空题：6*4，共24分1 = 2 =3 . 已知 ， 则 = 4. 已知 为二维列向量, 矩阵A = (), B = (), 若行列式, 则 5若矩阵A = , E为二阶单位阵,矩阵B满足, 则B = ( ) .6. 将3个乒乓球随机地放入4个杯子中去, 杯子中乒乓球的最大数为2的概率为 12 4 得分阅卷人二选择题.5*4共20分1函数 在区间 -1 ， a 上的平均值是1 ,

9、则 a = ( )（A） -1 （B） 0 （C） 1 （D） 22. 点 是 二元函数 的 ( ) .（A） 极小值点 ； （B）极大值点 ；（C） 驻点，但一定不是极值点 ； （D）驻点，但无法确定是否是极值点.3函数（ ）是函数 的一个原函数 .（A） ； （B） ；（C） ； （D） .4. 设 是四元非齐次线性方程组 的三个解向量,且秩 r(A) = 3 , c 表示任意常数, 则线性方程组 的通解 X = ( ) .(A) (B) (C) (D) 5. 若 的概率密度函数为则系数 ( )(A) 1 (B) (C) (D) D C D B D得分阅卷人三计算题：（7*9 共63分）1

10、. 计算 .解： . 2分 . 7分 . 9分2 广义积分 是否收敛？如收敛，计算其值；如不收敛，说明理由。解： 收敛 . 1 分 3 分 . 6 分.7 分 .8 分.9 分3. 已知一元函数 可导，二元函数 可微； ， ， ；设 ， 求 。解：.3 分.7 分 . 8 分 . 9 分4（1）利用正项级数判敛方法说明级数 是收敛的；（ 2 分 ）（2）求出上面收敛级数的和。（ 7 分 ）. (1) ; . 1 分 收敛 . 2 分(2) 考虑幂级数 它的收敛区间是 ；. 1 分和函数 ，.2 分 , 其中 . .3 分 ；.4 分 5 分.；. 6 分 7 分5设 , A = , E 为三阶

11、单位阵 , 求 .解: . 2分, 4分, . 6分. . 9分6. . 已知在10个产品中有2个次品, 现在其中任取两次,每次任取一只, 作不放回抽样,求下列事件的概率 : (1) 两只都是次品事件 ; (2) 第二次取出的是次品事件.解: 设 为事件“第 次取出的是正品”，则（1） . 2分 4分（2） . 7分 . 9分7. 设 是两个相互独立的随机变量， 在（0，1）上服从均匀分布， 的概率密度为 ;求：（1） 和 的联合概率密度；（2）关于 的二次方程 有实根的概率 (已知 .解: (1) . 1分 由于 和 相互独立, 因此 和 的联合概率密度为 . 3分(2) 方程 有实根的充要

12、条件为 , 即 .4分 所以方程有实根的概率为 . 6分 . 9分得分阅卷人四应用题： （3*10，共30分）1 一帐篷，下部为圆柱形，上部覆以圆锥形的蓬顶（如图所示）。设帐篷的容积规定必须是 立方米，试设计出篷布用料最小的方案及求出此时的蓬布用料数。 （扇形面积计算公式是 ，其中 是扇形半径， 是扇形弧长） 设圆柱高为 H , 圆锥高为 h , 圆柱底半径为 R ; 帐篷的容积 . 约束条件 ;1 分.篷布用料 . 2 分.令 4 分求 的驻点：. 5 分由（1）得 ；由（3）得 （5）由（2）得 . 8 分.代入约束条件：米 ； 米 ； 米 ;因为驻点唯一，且由实际问题意义知 必有最小值，

13、 故篷布用料最小的方案是 米 ； 米 ； 米 ；. 9 分 平方米 . 10 分.2. 设矩阵 A = , 其行列式 , 又 A 的伴随矩阵 有一个特征值 , 属于 的一个特征向量为 求 和 的值.解: . 1分, . 3分 . 5分 . 6分(1)+(3)得 =1 , 代入(2) , (3) 得 , . 8分所以 . 10分3. 一工厂生产的某种设备的寿命 ( 以年计 ) 服从指数分布, 概率密度为 .工厂规定, 出售的设备若在一年之内损坏可予以调换. 若工厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费300元. 试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.解: 出售的设备在一年之内调换的概率为 :不需调换的概率为 : . 4分记为工厂出售一台设备的净赢利, 则, , . 7分 . 10分得分阅卷人五证明题： （ 6+7共13分）1 设函数 在 上连续 ， ； 在 内可导，且导数值处处大于零 。试证：在曲线 上存在某一种点 ，该种点在 x 轴上的投影将会平分 x 轴上的线段 AB ； 其中 A 是曲线 上过 P 点的切线与 x 轴的交点，B 是 x 轴上的点 ( 1 , 0 ) 。证：过 P 点的切线方程是 1